CHỦ ĐỀ 4: CHÙM MẶT PHẲNG

Phần



b.

tị,



ỉ: Mat phcìng



Chuyên phương trình (Q) về dạng tông quát băng cách khử

t2 từ hệ phương trình tham số của (?) ta được x+y-4=0



các



thaim sô



Chùm m ặt phăng xác định bời (P) và (Q) có dạng:

n(x+y+z+l)+m(x+y-4)=0 <=> (n+m)x+(n+m)y+nz+n-4m=0.

Ví du 2: Lập phương trình chùm m ăt phăng có trục là đường thăng (d) biiết:



X= 2 + t



c.



(1)



(d): y = l - 2 t (2),(teR ).

z = t - 3 (3)



Giải.

a.



Chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n(2x-y+z-4)+m(x+y-3z-l)=0 o (P): (2n+m)x-(n-m)y+(n-3m)z-4n-m=0



b.



Chuyên phương trình (d) vể dạng tổng quát:



Khi đó chùm m ãt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n(x+y-2)+m(4y+z-2)s 0 <=> (P): nx+(n+4m)y+mz-2n-2m=0

c.



Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát.

■



Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2.



■



Thay giá trị của t*x-2 vào (2), (3), ta được:

2x + y - 5 = 0

x -z -5 = 0



Khi đó chùm m ặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n^x+y-SJ+m ix-z-S)^ o (P): (Zn+mJx+ny-mz-Sn-Sm^O

3.



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP



Bai toán 1 Onmnìătphỉngủxyă iránđiỀu kiện Kcho trước

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



Đê xác định môt mặt phảng của chùm cho bởi (2) hoăc (2'), ta cần xác định

giá trị tham 9Ố m dựa vào một giả thiết nào đó được thiết lập cho m ặt phăng.

Các giả thiết thường gãp:

3.1. M ăt p h ỉn g c ủ i chủm đỉ qua một điếm M cho trưởc

Khi đó, thay toạ đô của M vào (2) hoặc (2') ta nhận được m.



36



Chu lỊo 4 I hum mjjt phan}'.



Ví dụ ì: Lập phương trình niăt pỉnìiH' đi LỊUcì M(l, 0, 1) va I hứa đường tháng

(ti) cho bíỉi:

2 x - y + 7. - 4 = 0



a.



(J):



b.



(d ):2 L ll = y i l , £ l i



X+ y - 3 / - 1 = 0



- 1



1



X= 2 + t

(J):



-4

(1)



y = 1 “ 2t (2).(teR ).

/ =t-3



(3)



Giải.

a. Mảt phăng (P) chứa đường thang (d) => (?) thuộc chùm mặt phăng xác

định bởi trục (d) có dạng:

2x-y+z-4+m(x+y-3z-l)=0 o (P): (2+m)x-(l-m)y+(l-3m)z-4-m=0 (1)

Điểm M (l, 0 ,1 )€ (P) o (2+m).l-(l-m).0+(l-3m).l-4-m=0 co m=- —.

Thay m = -— vào (1), ta được (P): 5x-4v+6z-13=0.

b.



Chuyên phương trình (d) về dạng tông quát:

(d):



x+ y-2=0

4y + z - 2 = 0



Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d)

đ ịrh bởi trục (d), có dạng:



(P) thuộc chùm m ặt phăng xác



x+y-2+m(4y+z-2)=0 <=> (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0



(2)



Điểm M(l, 0, l)e(P) o l+(l+4m).0+m.l-2-2m=0 co I1Ì=-1.

Thay m =-l vào (2), ta được (P): x-3y-z=0.

c.



Chuyển phương trình (d) về dạng tỏng quát bằng cách:

- Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2.

- Thay giá trị của t=x-2 vào (2), (3), ta được :

Í2x + y - 5 = 0

Ịx - z - 5 = 0

Đó chính là phương trình tổng quát của đường thăng (đ).



Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) => (P) thuộc chùm m ặt phăng xác

đ n h bởi true (đ) có dạng:

2x+y-5+m(x-z-5)=0 CO (P): (2+m)x+y-mz-5-5m=0



(4)



Điểm M (l, 0, l)e(P ) o (2+m).l+0-m.l-5-5m=0 o ITĨ=- —.

Thay m=- — vào (4), ta được (P): 7x+5v+3z-10=0.

37



Phán I: M ot 1'ì làng



3.2. Măt phăng của chùm song song vởỉ môt măt phăng (Q) cho trưởc

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:



Bước 1: Xác định một v tp t n j(A, B, C) của (Q).

Bước 2. Mặt phăng của chùm song song với mặt phăng (Q)

<=>



Aj + mA,



Bj + mB: _ C ị + mC\



A



B



từ đây ta nhận được m.

Ví du 4: Lập phương hìn h m ặt phăng chứa đường thăng (d) và soing song với

mặt phăng (Q) b iế t:

íiU . fx + y - 2 = 0

|4y + z - 2 = 0

và (Q) có phương trình:

a.



(Q): x-3y-z+2=0.

X = t J + 3N



b.



(Q): y = -tj + 2t2, (t|# t2eR).

z = t, - 12t2



Giải.

Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d)

định bởi trục (d) có dạng:



(P) thuộc chùm măt phăng xác



x+y-2+m(4y+z-2)=0 o (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0.

a.



Vì (P )//(Q ): x-3y-z+2=0 o - = Ỉ Ị Í H l = — c=> m =-l.

Thay m =-l vào (1), ta được (P): x-3y-z=0.



b.



Gọi n là vtpt của (Q). Khi đó:

-1



1



2 -12



1 1 1 -1

n = n (10,15, 5), chọn n (2, 3,1)

12 3 3 2

1

2



1 + 4m

3



m

1



Vậy không tồn tại m ặt phăng chứa (d) và song song với (Q).

3.3. Măt phăng của chùm vuông góc với môt măt phăng (Q) cho trước

Khi đó, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định một v tpt n j(A, B, C) của (Q).

Bước 2. Mặt phăng của chùm vuông góc với măt phảng (Q)

o n . f i !=() (với n là vtpt của m ặt phăng (2'))

<=> (Aj+ m AiJA+iBj+mB^B+fQ+mC^OO,

từ đây ta nhận được m.

38



(1)



C hù dé 4: C h ũ m lnflt phflng



Ví dụ 5: Lập phương trình m ặt phàng chứa đường thăng (d) và vuỏng góc với

m ặt pháng (Q) biết

(X + y - 2 = 0



(dy

v 7



[4 y + / - 2 = 0



và mạt pháng (Q) có phương tiinh:

a.



(Q): x+y-3z+2=0.

X = 1 + 11 + t



b.



(Q):



y = 2 tJ + t 2

, (tj, t: €R)

z = 1 + 3t ị + t->



Ciai.

Măt phăng (P) chứa đường thăng (d) => (P) thuộc chùm m ặt phăng xác

địiìh bdi trục (d) có dạng:

x+y-2+m(4y+z-2)=0 o (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0



( 1)



Gọi m là vtpt của (P), ta có m (1, l+4m , m).

a.



Gọi fi là vtpt của (Q), ta có n (1,1, -3).

Vì (P)l(Q ) »



m in o



m . n =0 co l.l+ (l+ 4 m ).l+ m(-3)=0 o m=-2.



Thay m=-2 vào (1), ta được (P): x-7y-2z+2=0.

b.



Gọi n là vtpt của (Q), ta có:

n=



2 3



3 1



1 2



1 1



1 1



1 1



Vì (P)l(Q ) o



=



2, -1).



m l n o 111 . fi =0 o l.(-l)+(l+4m ).2+m .(-l)=0 o m = - i .



Thay m=- — vào (1), ta được (P): 7x+3y-z-12=0.

3.4. Mặt phăng của chùm song song với một đường thăng (A) cho trước

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước h Xác định một vtcp ã (aj, a2, a5) của (A).

Bước 2. Mặt phăng của chùm song song với một đường thăng (A)

» ã . n =0 o (Aj+ mA2)a1'»-(B1+mB2)a2+(C|-*'mC2)a3=0/

từ đây ta nhận được m.

Ví d ụ 6: Lập phương trình mặt phảng chứa đường thăng (d) và song song với

đường thăng (A) biết:



m9 [4y.?y"2

+ z - 2a0

=0



v



và đường thăng (A) có phương trình:



39



Phàn



M M p h ia g



X - 2y + 3z - 4 = 0



a.



(d ):



1



, JV



X- 1 _ y + 2



(d): = — —

v 7



z +1



—



-



b.



3x + 2 y - ' 5 z - 4 = 0



3



4



3



X = -t

c.



y =



(d):



z =



2 + 2 t/ (t€R).

1 + 2t



Giải.

Mặt phăng (P) chứa đường thẳng (đ)=>(P) thuộc chùm m ặt phăng xáiC đ ịn h

bởi trục (đ) có dạng:

x+y-2+m(4y+z-2)=0 <=> (P): x+(l+4m)y+mz-2-2m=0



(1)



Gọi fi là vtpt của (P), ta có n (1 ,l+4m , m).

a.



Gọi ã là một vtcp của (d), ta có:

ã =



-2

2



3

- 5



3



1



-5 3



1 -2

3



2



= ã ( 4 ,14, 8), chọn ã (2,7,4).



Vì (P)//(A ) o a l i i <=> ã . n =0 <=> 1.2+(l+4m).7+m.4*0 <=> m=- — .

Thay m = -— vào (1), được (P): 32x-4y-9z-46=0.

32



b.



Gọi ã là một vtcp của (d), ta có: ẫ (3,4, 3).

Vì (P)/ /(A) o ã l n o ã . n *0 o 1.3+(l+4m).4+m.3*0 <=> m=- — .

Thay iTi*- — vào (1), ta được (P): 19x-9y-7z-24=0.



c.



Gọi ã là một vtcp của (d), ta có: ã (-1,2, 2).

Vì (P)/ /(A) o ă l n



<=> ã . n =0 o l.(-l)+(l+4m ).2+m .2=0 o m = -— .



Thay iri* -— vào (1), ta được (P): 10x+6y-z-18=0.



*



3.5. Mặt p»hăng của chủm vuông góc vởi môt đường thăng (A) cho trưởc

Khi đó,,1 ta thực

hiện

theo các bước sau:

•

•

Bước 1: Xác định một vtcp ã (a1#a2, a 3) của (A).

Bước 2. iVlăt phăng của chùm vuông góc với đường thăng (A)



Aj + mA, _ B, + mBi __C| + mC,

o —1— 1— *- = * —*- = —

—ai



từ đây ta nhận được m.



40



a2



aí



,



( 111! ilo



4



c hum



miU plu’im:



V Í d u 7: C h o hai đ ư ờ n g th ă n g (d) và (A) có p h ư ơ n g trình:

( 3x - 2y + z - 3 = 0



2/‘J Q



(d):



|x



;( A):



y = 2 + 2t,(teR ).



[z = 1 - 5t



'



Lập phương trình mặt phăng chứa (d) và vuông góc với (A).

Giải.

Mãt plìăng (P) chứa đường thăng (đ)=>(p) thuộc ^ ù m mặt plìăng xát' định

bơi trục (d) có tlạng:

3x-2y+z-3+m(x-2z)=0 <=> (3+m )x-2y+(l-2m )z-3=0



(1)



Gọi ri ỉà vtpt của (p), ta có n (3+m, -2, l-2m),

Gọi á là một vtcp của (d), ta có: ả (-1, 2, -5).

Mặt phăng (P)l(A) c=> - —— = — = — — CC’ m=-2

Thay m=-2 vào (1), ta được (P): x-2y+5z-3=0.

3.6. M ăt phăng của chùm tao với m ột m ăt phăng (Q) môt góc a bất kỳ

Khi đó, thực hiện theo các bước sau:

Bước 1\ Xác định một vtpt n j(A, B, C) của (Q).

Bước 2. Mặt



phăng



của chùm tạo với m ặt phăng (P) một góc a

______I A(A] + n iA ;) + B(Bị + mB.Ị-t- C(C ị + mC%)|_____



J a 2 + B: + c : .^ (A ị + m A ,)2 + (Bj + m B ,): + (Cj + m C \)2



từ đây ta nhận được m.

Ví du 8: Lập phương trình m ặt phăng chứa đường thăng (li) và tạo với mặt

phăng (Q) một góc bằng 60° biết:

íx + y - 2 = 0

(d );|y + z - 2 = 0 và (Q): x+ 2y -2z+2=0



Giải.

Mặt phăng (P) chứa đường thăng (d) I^> (P) thuộc chùm mặt phăn& xác

định bời trục (d) (P) có dạng:

x+y-2+m(y+z-2)=0 <=> (P): x+(l+m)y+mz-2-2m=0

Gọi n là vtpt của (P), ta có n (1, 1+m, m),

Gọi m là vtpt của (Q), ta có fi (1, 2, -2).

Vì g((P),(Q))=60°



o



H-» + q+™)-2+™-(-2)l



=cos60°



Vl + 4 + 4>/l + (1 + m)2 + m2

^ > m. -.=---- 1 ±------.

Vd

<^=> m ^+m-l=C) c=

2



(1).



Phán I: M at phtinn



■



Với m,, thay vào (1), ta được (Pi): x^(l+ m l)y+iìì1z-2-2ml=0.



■



Với m=-2, thay vào (1), ta được (P:): x+(l + m:)y+in:z-2-2m>=G).



Kết luận: tồn tại hai m ặt phăng (Pị) và (P2) till điều kiện đầu bài.

3.7. Măt phăng của chùm tạo với môt đường thiing (A) iriôt góc a bỉất kỷ

Khi cịó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước ĩ: Xác định một vtcp ă (aj, a:, a^) của (A).

Bước 2. Mặt phăng lẾa chùm tạo với đường thăng (A) một góc a

sina =



I(AJ + mA^aj +(Bj -I- mB^a-i + (C, + mC‘i)a:tt|

Ja] + aTT



-^(Aỵ + mAì)2 + (B| + inB,): + (Cị + im


từ đây ta nhận được m.

Ví dụ 9: Lập phương trình m ặt phăng chứa đường thăng (d) và tạo wới đường

thăng (A) một góc băng 60° b iế t:

/I \



í* + y - 2 = 0



X



2_ y- 3



z



+



5



(d): <

^

và (A) : —— = ----- = —■

—

v ; Ịy + z - 2 = 0

w

2

1

- 1

Giải.



Mặt phảng (P) chứa đường thăng (d)=> (P) thuộc chùm m ặt piháng xác

định bởi trục (d) có dạng:

x+y-2+m(y+z-2)=0 c=> (P): x+(l+m)y+mz-2-2m=0

(1)

Gọi fi là vtpt của (P), ta có fi (1 ,1+m, m),

Gọi a là vtcp của (A), ta có a (2, 1, -1).

Vì g((A),(P))=60°



•

m).l + =m . (JLL

- l ) | c____,

___n

_ r m = ~1

<_=> sin6ơ

= .■■!|2.1+(l

— - +J==L=

=>nr+m

=0 co

VĨTTTTVl + (1 + m)2 + m2

Lm = 0

■



Với m =-l, thay vào (1), ta được (Pj): x-z=0.



■ Với m=0, thay vào (1), ta được (P2): x+y-2=0.

Kết luận: tồn tại hai m ặt phăng (Pj) và (P:) tni điều kiện đầu bài.

Bm toán 2 ChứTgnÚTh( hoặc tìm điều kiện cỉtt

phăng (PJ cho trước

PHƯONG PHÁP CHUNG



mặt

—



Giả sử:

(P): Ax+By+Cz+D=0 và (Pm): A(m)x+B(m)y+C(m)z+D(m)=*0.

1.



Với bài toán chứng m inh (P)c(Pm), xét hệ phương trình:

A(m) = A

A(m) = -A

B(m) = -B

B(m) = B

hoặc

C(m) = -C

C(m) = c

D(m) = D

D(m) = -D

=> nghiệm n v

Vậy, (P) thuộc m ột chùm m ặt phảng (Pm) ứng với m=mo.



42



( h u đõ 4: O u jm mjU pht^nn



2..



Với bcìi toán tìm điều kiên t ủíi tluun sô d i’ (p)c (Pm), tci tlìực h i ệ n theo các



bươc:

Bước 1. Xác định phương tnnh ciia trục (li).

Lấy hai điẽm phân biệt A, Be(J)

Bước 2. Đe (P)cz(Pm) co A, Be(p) ==>gia trị aiti tinim sổ.

V í dụ 10: Ơ ÌO chùm mặt piling (P,n): (m +2)x +(m+l)y +(m-l)z-3m-l=0.

a. Chứng minh răng mát phảng (P ): y+3z-5=0 thuộc chùm (Pm).

b. Xác định a, p để mãt piling (Q) : otx+Py-(«+ l)z+2=0 thuộc chùm (Pm).

Gùìi.

a. Xét hệ phươiìg trình:

m +2 = 0

m +1= 1

m - 1= 3



=> vỏ nglìiệm.



- 3m - 1 = 2



m +2 =0

m +1 = -1

m - 1 = -3



=> nghiệm m=-2.



- 3m - 1 = - 2



Vậy, (P) thuộc một chùm mặt phăng (Pm) ứng với m=-2

b. Viết lại phương trình chùm (Pm) dưới dạng:

2x+y-z-3+m(x+y+z-l=0.

Vậy, chùm mặt phăng (Pm) dược tạo bởi trục (d) có phương trình:



Lây hai điểm phân biệt A(0, 2, -1), B(2, -1, 0)€(J).

Đê (Q )c (P J o A, Be(Q), ta dược:

ía.o + p.2 - (a +1).(—1) = 0



íu = -1



ịa.2 + p .(-l)-(a + l).0 = 0 ^ |(U 0

Vậy với a= -l vả p=0 ta được (Ọ)c(Pm).



II. C Á C BÀI TOÁN C H Ọ N LỌC

Bài 1 (ĐHKT-97): Chođiểm A(l, 2, 1) va duờng thăng (đ): —= V-~ - =z+3.

3



&

b.

a.



4



Viêtphutrgtrìnhmặtphăiig điqucì Avdđiúađuừngthăiig(đ).

Tnih khoảng cáđì từAđên đuờng tJTẩng (tỉ).



BÀI GIẢI

Gọi ã là một vtcp của (d), ta có ẵ (3, 4, 1). Lây điểm B (0,1, -3)e(d).



Cách 1: Theo giả thiết, ta có

x = l + 3tj + t 2



cc> (p); , t|, t-íẽR.

BA(1,1,4)



ỉ



» + t, + 4to



43



'han 1: M at phAntt



Cách 2. sử dụng tích hỏn tạp:

M(x, y, x)e(P) o D( AM, BA,a )=0

X- 1 y - 2 z - 1

1 4

(x-l)

= 0 o

cc> 1

1

4

4 1



3



4



+



4



1



1 3



1 1



•(y - 2) +



3 4



. ( Z - 1 ) = (0



1



o -15x+lly+z-5=0.

Cách 3: Chuyên phương trình (đ) về dạng tổng quát

Từ phương trình (d) suy ra:

Í4 x-3y + 3 = 0



|x - 3z - 9 = 0

Gọi (P) là m ặt phăng qua A và chứa (d)

(P) thuộc chùm tạo bcởi (d) có

dạng:

(P): 4x-3y+3+m(x-3z-9)=0 <=> (P): (4+m)x-3y-3mz+3-9m=0

(1)

Điểm Ae(P) o (4+m)-3.2-3m+3-9m=0 <=> m= — .

Thay m= — vào (1) ta được (P): 15x-lly-z+8=0.

b.



Khoảng cách từ A đến (đ) được cho bời:

-*

2-1



d(A, (d))=



4



1+3

1



+



1+ 3 1

1



3



+



12- 1

3



4



=



ylĩ- + 4 + 1



V 26



Bài 2 (ĐHCS^T): Cho điản M(l, 0,5) và hai mặt phăng (Pị:2x-y+3z+l=Q; (Q): x+y-z+5=
&



TÌQThMìaảngGkhtừMđấi(F).



b.



Viêt phuttTg trình mặt phàng di qua giao tuyên (d) của (1^ và (Q) ctông tiìời viu&Tg góc

với mặt plứng 3x~y+l=Ò.

BÀI GIẢI



a.



Khoảng cách từ M đến (P) được cho bởi:



b.



Phương trình giao tuyến (d) của (P) và (Q), có dạng:

Í 2x- y + 3z + l = 0

Ịx + y - z + 5 = 0



Gọi (R) là mặt phăng cần tìm. Ta có:

■ (R) chứa (d)

(R) thuộc chùm m ãt phăng xác định bơi (d), có dlạng:

(R): 2x-y+3z+l+m(x+y-z+5)=0 <=> (2+m)x-(l-m)y+(3-m)z+l+5nn=0 (1)

■



Khi đó (R) có vtpt fi (2+m, -1+m, 3-m).



■



Vì (R) vuông góc m ặt phăng 3x-y+l=0

o (2+m).3 +(-l+m ).(-l)+(3-m ).0 =0 o m = - - .



Thay m=- — vào (1), ta được (R): 3x+9y-13z+33=0.

44



O iu do 4j C hum mjU phAn^:



Bài3(l )HNN ỉ-%):Qiohũđi lừng tikin^ (dj)và (dJcophuUi^tiTiili la:



a



Với adX) tnitV, XÁ' đhìỉi phutlig tiinh mặt pháng (T^chiii (đ|) và song smg với (dj.



h



Với a d k) trut*;, XcVctịiilì phuttTg till ill m ặt phảng (T^ đ ìiii (d j Vci v u â



góc với (d).



BÀKỈIẢI

Gọi â là một vtcp củd (tin), khi đó ã (a, 2, -3).

(P) chửa (dị) => (P) thuộc chùm mặt phảng xác định bởi (đ|), có dạng:

(P): x+2y-3z+l+m(2x-3y+z+l)=0

(P): (l+2m)x+(2-3m)y+(m-3)z+l+m=0

Khi đó (P)

a.



có



(1)



vtpt ri |(l+2m, 2-3m, m-3).



Vì ( P ) / / ( d ; ) « íì , l ã



Thay 111= —— vào (1), ta được (P): 35x-(ll+7đ)v+7(a-2)z+22-a=0.

9 —2h

b. Vì (P)X(d-.) o n , và ả cộng tuyến

1 + 2m _ 2 - 3m _ m - 3

___ A

c o —— — = ------— = —------m = 0 .



a

2

-3

Thay 111=0 vào (1), ta được (P): x+2y-3z+l=0.

Bài 4 (DHTLrW): Viêt phufchg trình mặt phảng dìikì đuờng thang (đ) và voicing gpc với mặt

phăng ( Q l t ó



BÀI GIẢI

Gọi (P) là mặt phăng cần xác định, ta có:

í(d)c(P)

Ị(P)1(Q) •

(P) chứa (đ) => (P) thuộc chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

3x-2y+z-3+m(x-2y)=0 o (3+m)x-(2+2m)y+z-3=0



( 1)



Khi đó (P) có vtpt n (3+m, -2-2m, 1).

Gọi n ị là một vtpt của (Q), khi đó n j(l, -2, 1).

Mặt phăng (P)l(Q) o



n . n 1=0



o (3+m).l+(-2-2m)(-2)+l.l =0 o . m = - ị .

Thay m =-— vào (1) được (P): 7x+6y+5z-15=0.

45



Phần 1: Mat phàng

Bái 5 (ĐHBK -95): Cho họ mặt pỉìăiig (P J:2x+y+z-l +ni(x+yf Z+1 )=0, I1Ì Lì tham Hố.

a ClVlRvới mọi n\ mặt phcíng (Pni) luồn đi qua mộtđilờhg tháng (ci)oốđịnk

h Tuiì mặt rliăiig (PJ vưủng gpc với niặt phảng (P(). Tình khoảng cáđì từ gộc tr.*i độ liên

_______ duửiTK thang (d).



a.



BÀI GIẢI

Gọi (d) là đường thắng có phương trình:

(!): | 2x + y + z - 1 - 0



'' Ịx + y + z + l= 0



Dẻ thấy, mặt phăng (Pm) thuộc chùm mặt phàng tạo bởi trục (d).

Vậy (Pm) luôn đi qua một đường thăng (d) cố định.

b. Mãt phẲng (P0): 2x+y+z-l=0 có một vtpt n0 (2, 1, 1).

Chuyển phương trình (Pm) về dạng:

(Pm): (2+m )x+(l+m )y+(l+m )z-l+m =0

Khi đó (Pm) có một vtpt n m (2+m, 1+m, 1+m).



( 1)



Vì (Pm)l(P 0) <=> fim . fi0 =0 c=> 2(2+m )+l+m +l+m =0 o m=- —.

Thay m=- — vào (1), ta được ( p ^ ): x-y-z-5=0.

■



T/iiỉì khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thăng (d).

Gọi ã là một vtcp của (d), ta có:

\

1 1 1 2 2 1

ã=

-5 (0 , -1,1).

/

/

1 í 1 1 1 1/

V

/



được cho bởi:

*>



*»

0 - 3



-1



1



-3 2



+



1 0



+



2 0



0 -1



MA, (d))-



2



Vh ): + ! :



Bài6(ĐHIOT-95):XácđỊrứìgiátrịcửacáctỉìanìsố n, m đê nìăt phăng (Ị*): 5xtny+v4z+m=0

thuộc chùm mặt phăng (Q^: o(3x-7y+zr3)+p(x-9y-2z+5)=0.

—~



B



À



I



GIẢI



Chùm m ăt phăng (Qap) được tạo bởi trục (d) có phương trình:

MV f3x- 7y + z - 3 * °

' } Ịx - 9y - 2z + 5 = 0

Lấy hai điểm phân biệt A( — , — , 0), B( —, 0, — )€ (d).

Đê (P)c(Qup) o A, Be(P), ta được:

^1

9



5.— + n.— + 4.0 + m = 0

r___ 11

10

10

o^ J
U5.-T

1 + n.0n + 4.—

^ 18 + m = 0 |n = -51



<



7



7



Vậv với m = -ll và n=-5 ta được (P)c(Qa(i).



46