CHỦ ĐỀ 2: CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I



Phan II: P ư ờ n ^ thclng trong khỏnn nian



Bài loán 2 Qìuyổi dạng phuttTg trinh lôỉìg quát của đuờng dìiiig sang dạng phưt* )ị\ tiình

tham sốlvổc dúnh tắc.

— —



“ “



PIHJONG PHÁP CHUNG



“ “ ~



~



Giả sử đường thăng (d) có phương trình tông quát dưới dạng:

( A .x .l J .y .C y .D .- O



0 ) (J iề u k iê n A ,;B1:Cl.A ,:B ,:C !)



v } Ị a 2x + B2y + C 2Z + D: = 0 (2) v



1 1 1



2 2 27



Đê chuyến phương trình của (d) sang dạng tham số, ta lựa chọn m ột

trong ba cách sau:

Cách /. Thực hiện theo các bước:

Bước 1\ Xác định một vtcp ă của đường thăng (d).

Chọn một đếm A6(d).

Bước 2. Lập phương trình tham số hoặc chính tắc của đường thăng (d) qua

A và có vtcp ầ .

Cách 2: Chọn hai điểm khác nhau A, Be(d), từ hệ phương trình (1), (2), sau

đó viết phương trình tham sô của hoặc chính tắc của đường thăng (đ) (chính

là đường thăng qua A hoặc B có vtcp là AB).

Cách 3 (C h ỉá p dụng cho phư ơ ng trình tham sô): Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt một trong các ẩn X, y, z là t. Chăng hạn x=t.



Bước 2. Thay x*t vào (1) và (2) rồi giải hệ đó vớiẩn là y, z.

Bước 3: Tập hợp các phép biêu diên của X,y, z theo t đã tìm được chính là

phương trình tham số của (d).

Ví d u 2: Cho đường thăng (d) có phương trình:

ÍấÍV |2x + y - z - 3 = 0

|x + y + z - l = 0

H ảy viết phương trình tham sô của đường thăng đó.



Giải.

Cách ỉ\ Đặt x*2t, ta có:

í4 t + y - z - 3 = 0



j y = -3t + 2



Ị2t + y + z - l = 0 ° Ịz = t - 1

Vậy phương trình tham số của đường thăng (d) có dạng:

'x = 2t

y = -3t + 2 ,(teR ).

z=t- 1

Cách 2. Chọn hai điểm A(0, 2, -l)e(d ) và B(2, -1 ,O)e(d). Khi đó

íqua A(0,2,-l)



íqua A(0,2,-l)



Ịqua B{2(-1,0) °



Ịvtcp ÃB(2,-.\1)



Đó chính là phương trình tham số của đường thăng (d)

60



= 2t

y = 2 -3 t,(te R ) .

z = -1 + 1



Chu dj$ 2: (T n iyõn lỉ.n i^ p h ư n n ^ trin h i1ư<*n^ tlìAnvi



V



1



l i u 3: Cho đường thăng (li) l ò phương trinh tỏng quát:

I X + y - 1 —0

ì 4 V + /. + 1 =0



1lôy viét p h ư ơ n g trình ch ính tắc c ủa đ ư ờ n g th i n g đó.



Chù

Cđi/i Ị Chọn điếm A (l, 0, - l)e (d ).

Gọi ii là một vtcp của (cl), ta có:

10



a=



4 1



0 1 1



1



1 on 0 4



= à ( 1 , - 1 , 4).



Khi đỏ phướng trình chính tác của đường tlìăng (d) được xác định bởi:

(d):



Ịqua A(l,0,-1)

X - 1 _ V _ 7. + 1

<=> ((.I): — — = ^ - = — .

Ịvtcp ỏ ( l , - l , 4 )



1



-1



4



Đó chính là phương hình chính tắc cùa đường tilling (li).

Cách 2. Chọn hai điểm A(l, 0, -l)e(d ) và B(0,1, -5)e(d). Khi đó:

, 1% [qua A(l,0,-1)



(d ): <Ị



.



Ịqua B(0,l,-5)



o(d):



, 14 (qua A(l,0,-1)



<=> ((.1): \



—



Ịvtcp AB(-l,1,-4)



x-l_yz+l

-1

1 -4



Đó chính là phương trình chính tắc của đường thăng (đ).



PHƯƠNG PHÁP CHUNG



Giả sử đường thăng (đ) có phương trình tham số:



(đ):



x = x0 + ajt (1)

y = y„ + a2t (2) , (teR).

z = z0 + a,t (3)



Đe chuyến phương trình của (d) sang dạng tổng quát, ta thực hiện theo

các bước:

Bước 1: Rút t từ phương



trìn h



Bước 2. Thay giá



t vào (2), ta được (4).



trị của



(ì).



Bước 3: Thav giá trị của t vào (3), ta được (5).

Bước 4: Hệ tạo bởi (4), (5) là phương trình tổng quát của (d).

C hủ ý . Trong trường hợp đường thăng (đ) cho dưới dạng chính tắc, ta tách

phương trình đó thành hai phương trình con và hệ tạo bởi hai phương trình

đó chính là phương trình tông quát của đường tháng (d)

61



PhÀn 11: D ư ờ n ị! thảnn trone khỏnẸ }nan



Ví du 4: Cho đường thăng (d) có phương trình:

X= 2 + t



(1)



y = 1- 2t (2),(teR).

Z.I-3



(3)



Hây lập phương trình tông quát của đường thăng đó.



Giải.

Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2.

Thay giá trị của t=x-2 vào (2) và (3), ta được:

j2x + y - 5 = 0

ịx - z - 5 = 0 *



Đó chính là phương trình tông quát của đường thăng (d).

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz lập phương hình tổng quát của các giao

tuyến của m ặt phăng (P): 5x-7y+2z-3=0 với các m ặt phăng toạ độ.



Giải.

a.



Các m ăt phăng (xOv), (xOz), (yOz) lần lượt có phương trình z=0, y/=0, *=€).

Giao tuyến của (P) với (xOy) có phương trình:

Í5x - 7 y + 2 z - 3 = 0



|z = 0

b.



|5 x -7 y -3 =0



°



Giao tuyến của (P) với (xOz) có phương trình:

í5 x -7 y + 2 z - 3 = 0

ịy = o



c.



Ịz = 0

f5x + 2 z - 3 = 0



^



ịy = o



Giao tuyên của (P) với (yOz) có phương trình:

Í5x - 7 y + 2 z - 3 = 0



|x = 0



f-7y + 2 z - 3 = 0



<=>|x = 0



II.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1 Lập phuctTg trình tham sô' chính \ắc và tâng quát của đuờhg thăng (d) đi qia ú tón

va vuỡng gócvới irổt phăng (ỉ^:2x-3y+5z-H)l

b a Tg ỉ a Ĩ



Gọi n là vtpt của m ặt phăng (P), ta có n (2, -3, 5).



Vậy, đường thắng (d) thoả mãn:

.



íqua A(2,0,-3)



[qua A(2,0,-3)

° ^ ì' ịvtcp n(2,-3,5) ■



|(d)l(P)



a. Phương trình tham 5d'của đường thắng (d) là:

X = 2 + 2t



(d): y = -3t

,(te R ).

z = -3 + 5t

b. Phương trình chính tác của đường thăng (d) là :

, Jx X - 2 y

Z +3

(d):



-:



w



2 -3



—



.



5



c. Phươìig trìnỉì tông quát của đường thăng (d) là:

(d ): I ? * * 2' - 6 * 0 .

v ’ [5y + 3z + 9 = 0



62



Chù đổ 2: c huvôn



phương trinh ilưon^ thAny



Bài 2 1 IXTT^ klìồn^ ptUi CVyz lập ỊTỈiuttig trình tfiain sỏ' đìính tác và tủỉìg cỊikit của đuừn£ tìứiì^



A(2,0, -3) và s o n g



( d ) đ i L ỊI k ỉ t t ò n



s o n g V(Vi



đùHì^ t h ă i ì g (A)c ó



^ l u t * ì£ tr h ì h :



í2x + y - z - 3 = 0



X+ y + / - l =0

BÀI (ỈIAI



>



—



Gọi á là một vtcp cua đường thăng (A), ta cỏ:

\

1 -1 -1 2 2 1

= ã(2, -3,1).

a/

1 1' 1 1 /

V1 1

qua A(2,0/-3)

Ị vtcp n(2,-3,l)



a.



Phường trình tham .sôcủa đường thảng (d) là:

2 + 2t



X =



(d): • V = -3t



, (teR).



Ị/ = -3 + t



b.



Phương till'd ì chúứt tít'c ủ a đường thăng (d) là:



c.



(d :2 L z !« X -iL ± 2 .

v

2

-3

1

Phương trìiih tông q u á t của đường thăng (d) là:

(d):



3x + 2y - 6 = 0

y + 3z + 9 = 0



Bài 3 Lập phi&iig trình tỉiam sô' dhính tắc và lâng quát của đuờng tiiảng (cỉ) đi qua điêm

A(£0,-3) và vuông góc với hai dutftTg thăng

(A v l x + y - 1 =0 ÍẩịlVl 3x - y + 4z +1 = 0

° [4y + /. + 1=0 J [2x + 3y + z + 7 = 0 *

BÀI GIẢI

Gọi ã , ã J, ã3 theo thứ tự là vtcp của các đường thăng (d), (d,), (d2), ta có:

10 0 1 1 1

4 1 1 01 0 4

a,



ãj (1,-1,4);



-1 4 4 3 3 -1

3 1 1 2 2 3



=ã2 (-13,5,11)



K ii đó :



ím a ,)

|(ci)X(d2)



o



aJLai

^



«♦



a la :



c=> ã =



-1 4 4 1

1 -1

5 11 11-13 - 1 3 5



ã ( - 3 1 , - 6 3 , -8 ).



\ ây, đường thăng (d) thoả mãn:

Ịqua A(2,0,-3)

Ịvtcp



ã(-31,-63,-8)

63



Phân jjh D ư ờ n g thăng trone khỏnt! gian



a.



Phương trìiiỉi thanì sd của đườny; thăng (ủ) là:

X = 2 - 311

y = -6 3 t



(d)



, (teR).



z = -3 - 8t

b.



Phương trhĩh chính tăccủở đường thăng (d) là:

=



(d):

-31



c.



-63



-8



Phương trình tổng quát của đường thăng (d) là:

6 3 x -3 1 y -126 = 0

(d):

8 y -6 3 z - 189 = 0



Bài 4 (Đề 55-Va): Vìêt phudìg trình đìính tắccủa đưởlìg thăng (đ) biêt:

Jx - 2v + 3 z - 4 = 0

[3x + 2y - 5z - 4 = 0

BÀI GIẢI



Lấy điểm M(2, -1, 0 )€(d).

Gọi ã là một vtcp của (d) ta có:

-2 3 3 1 1 - 2

= ă ( 4 ,14, 8 ).

ã=

2 -5 -5 3 3 2

Từ đó



(d):|qua M

(2'~1,0)o (d):

ĩzl-nl.ỉ.

ă(2,7,4)

w

2

7

4



v ’ Ivtcp



III.TổNG KẾT PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG

THĂNG TRONG KHÔNG GIAN

Bàifcoán4^pphưtlTgtrìrhđiJÈrigứTăngtrũngkiìồnggiaii

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



a. Đê xắc dinh p hư ơ iig trình tham sô ' hoặc phư ơ n g trìn h chinh tắc cùa

dư ờng thăng (d) thực hiện theo các bước sau:

Bước h Xác định một điểm M()(x0/ Ỵo, Zo)e(d).

Bước 2. Xác định vtcp ã (aj,

a3) của (d).

Bước 3: Khi đó:

■



Phương trình tham sd của (d) có dạng:

X = x0 + ajt



(d): y = yo+ a :t,(te R ),

z = z0 + a3t

•



Phương trinJi chính tít’của (d) có dạng:

X-Xọ - y -y ọ - z - * 0



64



c h u lie 2 C h u y c n



b.



pinion^: trinh đưÙ ỊU liI)i?ILC



Dc Xiìi ctịnh phương trình tỏng í/Ufit cùcì ít ườn í,; thăng (d) ta có thỏ lưa



c h ọ n m ó t t r o n g b a c á c h sau:



Cách I. Coi (d) la giao tuyến của hai măt phàng (P) và (Q).Ta đi xác định

phương trình tông quát của (P) và (Q).

c 'Àclì 2: Thực hiện theo các bước

Bước /: Xác định phướng trình tham số của (đ).

Bước 2. Khử t giữa X, V, z của phương trình tham sô suy ra phương trinh

tỏng quát.

Cách 3: Thực hiện theo các bước

Bước /: Xác định phương trình chính tắc của (đ).

Bước 2. T ừ phương trình chính tắc suy ra p h ướ n g trình tong quát.

C hú ý. Một đường thăng có vô sô phương trình tham số, phướng trình chính

tắc và phương trình tông quát.

IV.BÀI T Ậ P ĐỀ



nghị



Bài tâp 1 . Tìm vtcp của các đường thăng sau:

/IX x---- l =_ iy _+ =

2 —L_

z+l

a. (d):

3



b.



(d):



Bài tâp 2.



4



3



x - y + 4z + 10 = 0

2 x - 4 y - z + 6 = 0



Cho đường thăng (d) có phương trình:

ị X- y + 4z + 10 = 0

[2x - 4y - z + 6 = 0



Hãy viết phươiìg trình tham sô của đường thăng đó.

Bài tâp 3. Cho đường thăng (đ) có phương trình:

íx - y + 4z + 10 = 0

[2x - 4y - z + 6 = 0 ■

Hây viết phương trình chính tắc của đường thăng đó.

Bài tâp 4. Cho đường thăng (d) có phương trình:

X= -t




z = 1 + 2t

Hày viết phương trình tông quát của đường thăng đó.

Bài tâp 5. Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường

thẳng (li) đi qua điểm A(2, 1, 3) và vuông góc với m ặt phăng (P) trong các

trường hợp sau:

a. (P): x+2y+3z-4=0

X = 4 + 3t I + t«>



b.



(P): ]y = 4 + t, - 2 t 2 , (tj, t 2 eR).

z = - 5 - tj + t 2

X= -1 + t J



c.



(P): ]y = 2 + t 2 ,(t„ t 2eR).

/ = 3 - t-,



65



Phán 11: Dườny thiipA tronil khòng gian



Bài tầp 6 . Lập phương trình tham số, chính tắc và tông quát của đường

thăng (d) đi qua điểm A (l, 2, 3) và song song với đường thăng (A) cho bởi:

x * 2 + 2t



a.



(A):
z = -3 + t

+ y - 1*0

W ; * „ . o

X



b



Bàỉ tập 7.Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng

quát của đường

thăng (d) đi qua điểm A (l, 2, 3) và vuông góc với hai đường thăng:

J2x + y 2 = 0

^ ^ [2x + z - 3 = 0

(AY



/.I V



j x y + 4 / + 10 = 0

[2x - 4y - z + 6 = 0



Bài tập 8 . Trong khổng gian Oxyz lập phương trình tham số, chính tắc và

tông quát của dường thăng (d) đi qua điểm A(3, 2, 1 ), song song với m ặt

phăng (P) và vuông góc với đường thăng (A) biết:

J x + y -l=0

(P): x+y+z-2=0 và (A):

[4 y+ Z + 1 = 0



CH U ĐE 3



VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

CÚA ĐƯỜNG THANG v à m ặ t p h a n g

I.KIẾN THỨC C ơ BẢN



1 . VỊ TRÍ TƯƠNG DỐI c ú A DƯỜNG TI IANG v ả m ặ t p h a n g

CTho đường thàng (d) có một vk p á va mặt phăng (P) có một vtpt iĩ và cặp

vtcp ã ị , ã: .

Cần cử vào sô điểm chung của (d) và (P) ta cỏ ba trường hợp sau đây:

a.



Đ ường thăng (ti) và m ặ tp h ã n g (P) không có diêm chung, ta nói (đ )//(P ).

Vậy (ci)//(P) khi một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(i).



Hệ phương trình tạo bởi đường thăng và mặt phăng vô nghiệm.



(ii)



ã l n & tồn tại một điểm Ae(đ) nhưng Ag(P).



(iii).



ã là một vtcp của (P) & tồn tại một điểm Ae(đ) nhưng A ể (P)..



Khi đó: khoảng cách từ mặt phăng (P) đến đường thăng (d) bàng khoàng

cách từ điểm A e(d) đến (P).

b. Đ ường thăng (d) và m ặ t phăng (P) có hai diêm chung phân b iệt ta nói

(d)c:(P) (hoặc măt phăng (P) chứa đường thăng (d)). Vậy (P) ZD (d) khi một

trong các điều kiện sau được thoá mãn:

(i).

Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và măt phăng vổ số nghiêm.

(ii).



(P) đi qua hai điểm phân biệt A, B thuộc (d).



(iii).



(P) đi qua điểm A thuộc (d) và nhận ã làm một vtpt.



Đ ường thăng (d) vả m ặ t phăng (P) có 1 điếm chung A: ta nói (d)n(P)={AỊ.

Vậy (d) n(P) =|A | Hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) có nghiệm duy

nhâ't.

Trường hợp đặc biệt: (d)l(P)



c.



fã //n



(1)



BàitoảnlVịtótưtt^dCỉcủađilờngthăiT^ và mătpỈYỈng,

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta chia làm hai trường hợp cơ bản sau:

Trường hợ p 1: Đường thăng có phương trình tham số, mặt phăng có phương

trình tổng 4 uát. Khi đó ta thưc hiện theo các bước sau:

Bước T. Thay (x, y, z) từ phương trình tham số của (d) vào phương trình

tổng quát của (P), ta được phương trình: At+B=0.

(1)

Các Em học sinh hăy tham gia học tập theo phương pháp" Ư vhoc trò làm trunẹ tJm "

Dưới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths Lổ Hổng Dứt' và Nhà giáo ưu tú Dào Thiện Khài phụ trách.



Phan 11: D irờ n^ thAn^i trone kh ốn g Ilian



Bước 2 Biện luận.

■



Nếu (1) vô nghiệm, khi đó (d)n(P)= 0 o (ti)//(P ).



■



Nếu (1 ) có nghiệm duy n h ấ t , khi đó (d)n(P)=(AỊ có toạ độ

băng cách thay t vào phương trình tham sô của (d)



■



Nếu (1 ) có vô sô nghiệm, khi đó (d)c(P).



Trường h ợ p 2. Đường thăng, m àt phăng đều có phương h ình tỏng quát. Khi

đó ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét hệ phương trình tạo bời (d) và (P) theo các ẩn X, y, z.

Bước 2. Biện luận:

■



Nếu hệ vô nghiệm , khi đó (d)n(P)= 0 o (đ )//(P ).



■



Nếu hệ có nghiệm duy n h ấ t, khi đó (d)n(P)={A| có toạ độ là

nghiệm của hệ



■



Nếu hệ có vô số nghiệm , khi đỏ (d)c(P).



Chủ ỷ.

a.



Các trường hợp khác nên đưa vể một trong hai trường lìỢp trên.



b.



Với bài toán chứa tham số cần giải và biện luận, nên đưa về trường

hợp 1 .



c.



Cũng có thê tuân thủ theo nguyên tắc:



Bước í: (P) có vtpt n (A, B, C).

Chuyển phương trình đường thăng (đ) về dạng tham số:

X = x 0 + a 11



(d): y = y<) + a2 t , te R => vtcp a (a„ a2, a3) và điểm M(x()/ y0, Zo)e(d).

z = Zo + a^l

B ước2. Tuỳ thuộc yêu cầu của bài toán

■



Đế chứng minh (d )//(P ) ta khăng định

fa in



Ị m *(P)’

■



Để chứng minh (đ)c(P) ta khăng định

f a i n



Ị m €(P)’

■



Đe chứng minh (d )l(P ) ta khăng định a và n cùng phương.



■



Đê chứng tỏ (d)n(P)={ AỊ, ta /hay (x, V, z) từ phương trình của (đ) vào

phương trình (P), ta được

Et+F=0 => t

Thay t vào phương trình tham số của (d) ta được toạ độ của điểm A



68