CHỦ ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Phần 11: Pườnvi thảng tron^i khỏng gian



Xét tích hỗn tạp của ba vectơ

-2



D ( ã |, ã , , AB):



, ã 2 , AB là:



1 3



1 - 1 3 =0

-2



2 -6



Vậy, hai đường thăng (dj) và (d:) đổng phăng (và vì ẩ j , á 2 không cùrng

phương => (d|) & (d^ cắt nhau).

b.



Gọi ã !, ã ^ theo thứ tự ỉà vtcp của (dị) và (d2), ta có: ã j(2, 1, 3), ă :(1, 2, 3)..

Lấy A(l, 2, -3) g (J|) và 8(2, -3, l)€ (d 2) (lưu ý A*B), suy ra AB (1, -5, 4).

Xét tích hỗn tạp của ba vectơ ă ị , ã 2, AB là:



2 1 3

D (aj,



ữ->,



A B ) - 1 2 3 =24*0.



1 -5 4

Vậy, hai đường thăng (dj) và ( d j chéo nhau.

Bài toán 2 Xétvị trí tuclTgđổi của hai đườhg thảng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các hước:

■



Xét hệ phương trình tạo bởi (dị) & (d2). Khi đó có 3 khả năng xảy ra:



K liả năng 1. Hệ có nghiệm duy nhâ't o (dị), (d2) cắt nhau và khi đíó

nghiệm X, y, z của hệ là toạ độ giao điểm.

K hảnãng2. Hệ có vô số nghiêm o (dj)s(d2).

K hả năng 3. Hệ vô nghiệm, khi đó ta đi xác định hai vtcp ã ị , ă 2 của (djj)

và (d2). Ta có :

Nếu ă | , ã 2 cùng phương o (J ,)//(c i2).

Nếu ă | , ã 2 khỏng cùng phương o (dị) và (dn) chéo nhau.

Ví du 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thăng (dj) và (ds), cho bởi:

X = 2t



a.



+1

X=u +2

(dj): y = t + 2 ,( d 2): y = 1 + 2 u .

z =u + 1

z = 3t -1



b.



(d,):



x + y + z -3 = 0

y +7.-1 =0



(1 ) /.IV / x - 2 y - 2 z + 9 = 0 (3)

(2 ) ' ^ | y - z + l = 0

(4)



Giải.

a.



Xét hệ phương trình tạo bởi (dj) và (d-.), ta có:



2t +1 =u + 2

t + 2 = l + 2 u <=> t=u=l.

3t -1 = u + 1

Thay t= l vào phương trình của (dị), ta được 1(3, 3, 2).

78



(_h11 vli' 4 VI hi t ưnI J o r na hai itiftjng th^nr.



Vậy (d ,)n (d :)=I(3,3, 2 ).

b.



Giải hệ p h ư ơ n g trình till) bừi (1), (2), (4). tci đươi

Thav vào (4), ta đ ư Ợ i: 2-2.0-2.1+(M ) mầu thu,'in

Vậy (dị) và (d :) không I/O điì*m chun).’.



X-2. V 0, z = l.



co

I 1II 1 1 1 1



ã .(0,-1, 1)



1 0 90 1



ị



2-2

I - 1



-2



-



1

.



-



1 0 >



)



M= a :(4, 1/1)



=3 ã |, ã Ị không cùng phưòng.

Két kuận: hai đ ư ờ n g tlìcinv; (dị) \\\ (ii;) chéo nỉì.



Bái toán 3: Gìo 1vù đuờng thii dvo IIIVUI (dị)và (J J .

Viêt phublitf hình mặt y ỉtfng (P) sen NI* và a x il tVki (d j), (dj.



PHI o m ; riỉAIM III N<;



Ta thực hiện theo các bước:

Bước ỉ. Xác định ã a theo thu tư là vtcp củii (dị), (d-).

Lấy A e(đj) và Be(d>) => toạ độ trung đièm I cỉm AB.

Bước 2 Khi đó:

ị,



(P):



<*



qun 1

cap vtcp a J & a-»



Ví du 3: Cho hai đường thăng chéo nhau (dị) và (đ:), ^h° Ihỉì Vídụ l.b. Viết

phương trình m ặt phắng (P) song song và cáclì đều (cỉị), (d2).

Gicìi.

Gọi ã !, ã 2 theo thứ tự là vtcp của (dị) và (d2), ta co: á ị(2, 1 , 3),ã2(1, 2, 3).

Lấy A(l, 2, -3) g (cỉj) và B(2, -3, l)e (d :).

Goi I là điểm I của AB



I(-



2



—,- 1 )



2



Khi đỏ:

X = V 2 + 2t| + ỉ 2



qua I



(



cap vtcp aj & a 2



y = - 1 / 2 f t| + 2 t 2 , (t„ t2 €R).

/ = —1 -f 311 + 31•)



Bải toán 4’ Qio toi đirèng thẩiig SInig sm (đj)và (ci).

VtípầutìTghừihđuàĩìgtív^^(ci)soi^st)iì^rád\t1ổu (il|),(d) va thuộc mặt prang chúa hai

PIIIĨONC. PIIẢPCIItiNíỉ

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định ti là vtcp của (d,), (d:).

Lây A e (d |) và Be(d:) => toạ độ trung diem I của AB.

Bước 2. Khi đó:

[qua I

vtcp a



79



Phàn 11: PirơnẸ thán£ tron n khổng gian



Ví dụ 4: Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đểu (di|), (đ->) và

thuộc mặt phàng chứa hai đường thăng (dị), (d2) có phương trình chơ bởi:

(dị):



3



-1



4



l-n i-* ± L .

3 - 1

4



Giài.

Gọi ă là vtcp của (d|), ta có: ã (3, -1,4).

Lấy A(-2, 5 ,9)e(d|) và B(0, -3, -7)e(d:)

=> trung điểm của AB là I(-l, 1 ,1).

Khi đó:

X = - 1 + 3t

qun I

,(teR ).

7 - « (J ): y = l - t

7. = 1 + 4t

vtcp a



{



PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định tạo độ giao điêm I của (d|) và ( J 2).

Lấy A e(dj) (A*I).

Bước 2 Gọi Bg(cU) thoả màn AI=BI => toạ độ hai điểm Bj, B2.

Bước 3: Ta có:

■ Với Bj => toạ độ trung điểm Ij của ABj.

Klìi đó phương trình đường phân giác thứ nhất được xác đ ịn h bởi:



XV



qua ỉ



Í

■



Với B2 => toạ độ trung điêm ĩ> của AB:.

Khi đó phương trình đường phân giác thứ hai được xác định lbởi:

qua ỉ

(A;):

vtcp II2



Lưu ỷ.

1. Để giảm độ phức tạp cho bài toán, tốt nhâ't nên chọn (d2) cho dưới

dạng phương trình tham số.

2. Ta

có kết quả:

a.

b.



Nếu IA.IBị >0 thì (Aj) và (A:) theo thứ tự là phương trình đường

phân giác góc nhọn, góc tù của góc tạo bởi (dị), (d-,).

Nếu IA.IBj <0 thì (Aj) và (A2) theo thứ tự là phương trình đường



phân giác góc tù, góc nhọn của góc tạo bởi (dj), (d->).

3. Nếu bài toán yêu cầu lâp phương trình mặt phăng phân giác (P) của

góc tạo bởi (dj), ((J2), ta có:



c hu ito ị Vt tn tưộny ±u I Vùa h«M ri ườn K thăn^Ị



v í du 5: Cho hai đường tliăni’ (li ) và (il;), t ho hời.

X = 0

[ x , 22uu - 22

ỊX

(d,): y = l

, (tfc R)v.i (d:) ' V = 1 , (ueR).

z = 1 I

/ ()

a CMR(d,) v à (d 2) căt nhau. Xác định toa độ giao điêin của chúng,

b Viết phương trình đường phân giác của (dị), (đ2).

G iai

a. Xét hệ phương trình tạo bởi (cl() và (đ:), ta có:

Í0 = 2 u - 2

1=1

<=> t=u=l.

1 - t =0

Thay t= l váo phương trình của (đ|), ta được 1(0 , 1 , 0 ).

Vậy

b.



Lấy A (0 ,1, 2)6 (đj), (A*I).

Gọi B(2u-2, 1 , 0)e(đ:) thoả màn:

AI=BI <=> AI2*BI2 co 4=(2u-2): <^> u=0 V 11=2.

Vậy tồn tại hai điểm : Bị(-2, 1, 0) & B:(2, 1, 0) thoá mãn.

Ta có:

■ Với Bj(-2,1, 0) => toạ độ trung điểm I| của ABị là: I|(-l, 1,1).

Khi đó phương trình đường phân giác thứ nhất được xác định bởi:

X=



■



Với B'»(2/ 1, 0)

toạ độ trung điếm Ị>của AB: là: I:(l, 1 , 1 ).

Khi đó phương trình đường phân giác thư hai được xác định bởi:



II.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bảỉ tâp 1 . sử dụng tích hỏn tạp xác định vị trí tương đối của hai đường

thăng (dj) và ( d j có phương trình cho bởi:

X = - 3 + 2t



X = 2t + 1



b.



(dj):
z = 3t-3



X=u + 2



= -3 + 2u .

z = 3u + 1



|y



81



Phàn 11: D ư ờ n ^ thàng tro n g kh ftn g g ian



Bài tập z

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thăng (dị), (d2) có phươtng

trình cho bởi:

X = 3 + 2t ị

x - 5 + 2t

(d.): y = l - t , (d,): y = - 3 - t , ( t t,eR).

z = 1 - tị

z = 5- 1

a.

b.



Chứng tỏ rằng hai đường thăng (dj), (d2) song song với nhau.

Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đêu (dj), (đi) và

thuộc m ặt phăng chứa ^d,), (đ^.

Bài tập 3. Cho hai đường thăng (đ|), (d2) có phương trình cho bởi:

/J \ x +7 _ y - 5 _ z - 9

X V + 4 Z + 18

(dị): —-— =1---- * ----- , (đ2): - = — = ——— .

v 17 3

-1

4

3

-1

4

a. Chứng tỏ rằng hai đường thắng (dj), (d:) song song với nhau.

b. Viết phương trình đường thăng (d) song song, cách đểu (dị), ( d j và

thuộc măt phăng chứa (d|), ( d j.

Bài tập 4. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (dị), (đ:) có phươíng

trình cho bởi:

x = -3 + 2t

,

Í4x + V —19 = 0

(d j: , . - 2 * * . ( u R ) .( d j :

z = 6 + 4t

1

a. Chứng tỏ ràng hai đường thăng (dj), ( d j cắt nhau.

b. Viết phương trình đường phân giác của (dị), (d^).

Bài tâp 5. Trong khổng gian Oxyz, cho hai đường thẳng (dj), (d2) có phươíng

trình cho bởi:

x- 1



ỵ +2



<«*!>: - 2



1



z- 4



X = -1 + t



y = -t

z * -2



, (teR).

+ 3t



a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (c^), (d2) cắt nlìau.

b. Viết phương trình đường phân giác của (d,), (ck).

Bài tập 6 . Trong không gian Oxyz, cho hai đường thãng (dj), (dj) có:

X= 1 - 1

x = 2t|

, (dj): y = l + t,

(t,t,eR ).

(d,)- y = t

z

=

t

Z- - 1

a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (đ,), (d2) chéo nhau.

b. Viết phương trình m ặt phầng (P) song song và cách đểu (dị), (đj).

Bài tập 7. Trong khổng gian O xyz, cho hai đường thăng (dj), (dj) có:

fx 8 z 23«0

fx -2 z -3 0

| y - 4 z + 10 = 0

y + 2z+2 = 0'

/ 1



V



+



+



=



a. Chứng tỏ răng hai dường thăng (d|), (d2) chéo nhau.

b. Viết phưdng trình m ặt phảng (P) song song và cách đểu (dị), (d,).

Bải tâp 8 . Trong khổng gian Oxyz , cho hai đường thăng (dị), (d2) có:

X + 2y - z = 0

x- 1

y -2 2 - 3

(dí): 2 x -y + 3 z -5 = 0

(d.):

2 " 3

a. Chứng tỏ rằng hai đường thăng (d|), (đj) chéo nhau.

b. Viết phương trình m ãt ph4ng (P) song song và cách đểu (d,), (d2)

82



CHƯ ĐE 5



HAI ĐƯỜNG THẲNG Đ ồNG



phang



VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I.KIẾN THỨC C ơ BẢN

Hai đường thăng (d|) và (ti-) líóntỊ phăng khi xảy ra một trong các trường

h ợ p sau:



1 (đ|) và (d2) cắt nhau

2 (
Bài toán 1: Xác định toạ độ giao điủỉn của hai đường dicing.

PHI 0N<; PHÁP CHI N(;



—— —

—— — —



Đẽ xác định giao điểm của (dị) và (d:) ta chia làm ba trường hợp:



Trương hợp 1. c ả Imi phương trình ílều co LỈCÌIUỉ thíìiìì .võ'Ta thực hện theo các

bước:

#



Bước /: Viết lại phương trình của (dị) theo tham sổ tị và phương trình của

(đ2) theo tham số t:.

Bước 2. Lập hệ.

Bước 3: Thay tj (hoăc t: ) vào phương trình của (dị) (hoăc (d2)) được toạ độ

giao điếm.



Trường hợ p 2. M ột phương trình có dting t/hìm sỏ, phư ơng trình còn lạ i có

dạng tông q u ắ t Ta thực hện theo các bước:

Bước 1: Thay (x, y, z) ở dạng tham số của một đường thăng vào phương

trình tổng quát của đường thắng còn lại, ta được một hệ hai

phương trình theo t.

Bước 2. Nếu hệ có nghiệm duy nhất t thi híìi itường thảng đó có cắt nhau.

Bước 3: Thay t vào phương trình tham số rủa đường thảng ta được toạ độ

giao điểm.

Trường hợp 3: c ả h a i phư ơng trình ítểu có dẠng tông quát. Ta thực hên theo

các bước:

Bước 1: Lập hộ 3 phương trình với 3 ân X, y, z từ 4 phương trình của hai

dường thăng.

Bước 2. Nếu hệ có nghiệm duy nhất (x, V, z) thì thay chúng vào phương

trình còn lại, nếu (x, y, z) nghiệm đúng phương trình này thì

(x, y, z) là toạ độ giao điểm.

C hú ý . Nếu gãp phương trình chính tắc, ta chuvển vể dạng tham số.



Các Em học sinh hảy tham gia hiK' tâp theo phirtmg pháp" u V hoc trò tìm trung tâm "

Dưiti sư hồ trơ cùa Nhóm Cư Mỏn do Ths Lớ Hổng Đức và Nhà giáo ưu tú Dào Thiộn FChải phụ trách.



83



Phần 11: D ư ớ iụ ’ th in g tro n g kh ổn g gian



Ví dụ 1: Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thăng (d|) và (d2), cho bởi;

X = 2t - 3

'4x + y - 19 = 0

a. (dị): y = 3 t - 2 , ( d 3):

X- z +15 = 0

z = 6 + 4t

v

b.



(d,):



2x+y + 1 = 0

(1 )

id V <í 3 x + y - * + 3 “ °

. iUii:

x - y + z - l = 0 (2 ) ' 2 ‘ [2 x - y + l = 0

(4)



Giải.

a. Thay X, y, z ở phương trình của (d|) vào (d:), ta được:

j4(-3 + 2t) + (-2 + 3t)-19 = 0

|(-3 + 2 t)-(6 + 4t) + 15 = 0 ^

Thay t=3 vào phương trình (d|), ta được 1(3, 4,18).

Vậy (d O n íc y -ip , 4,18).

b. Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (4), ta được :

x=- -1 , y= 0 , z=* —3 .



2



2



Thay vào (3) thấy luôn đủng.

Vậy (d ,)n (c ụ )= I(-ỉ,0 , | ) .

Bài toán2Qx> hai duờr^gdiăng phân biệt(d,) và (d) đổng phăng. VìÊtphumg trình mặtphăiig

(F) chúa hai đưòng thăng (d,) và (cy.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta biết rằng hai đường thăng (d,),(d 2) đồng phăng

o



■ (d,)//(d2)

( d ,) n ( d í )= M -



Vậy, đê’ xác định (P) chứa hai đường thăng (d|) và (d->) ta lựa chọn m ột

trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn hai điểm A, B theo thứ tự thuộc (d|), (dọ).

B ư ớ c2: Tìm m ột vtcp ã| của (dị). Khi đó:

/



x s ' (di) (d 2



qua A

(P):



hai vtcp ã| & AB



Từ đó ta có được phương trình tham số của m ặt phăng (P).

Đặc biệt: (
Bước 1: Xác định vtcp ã | , ã 2 của (d|) và (đ,)

B ư ớc2: Phương trình (P) được xác định bởi:

(P)



'qua M

■{;hai vtcp ã, & i ,



/



^

M



Từ đó ta có được phương trình tham sốcủa m ặt phăng (P).



84