CHỦ ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phần ỉ: M at phảng



đ . MỜ rộng.

(i).

Nếu ba m ặt phăng

(P1): AjX+Bjy+Qz+D^O,

(P2): A2x+B2y+C:z+D2=0,

(Pi): A^x+B3y+C3z+Dỹ=0

di qua cùng m ột đường thăng, thì:

A| B| C|

A= A 2 B: C2 = 0.

A~ b Ị c ’



(ii).



Giao điểm (nếu có, tức A*0) của ba mặt phăng

(Pj): A ^+ B jY+CjZ+D^O,

(Pn): A2x+B^y+C^z+D2=0/

(P3): A}X+B,v+C*z+D^=0

có toạ độ cho bởi:

A, B I Dj

D, B, c

A, D, c ,

1

1

x=- — D2 B2 C2

Bo

A 2 D, C, z=- —

A



D ị b, c ,



a



’ Dj" Cj'



A



A3 B, d 3



(iii).



Nếu bốn m ặt phăng

(Pj): A iX+BjY+CjZ+Di^O,

(P2): A2x+B:v+C2z+D2=0,

(P 3): AjX+Btf+Qz+Dj^O,

(P4): A4x+B4y+C4z+D4=0

đi qua cùng m ột điểm , thì:

A, B, c ,



Dị



a 2 b2 c 2 d 2

a ’ B3 c ‘ dI

a 4 b4 c 4 d 4



=0 .



C hú ý : Trong trường hợ p (P^, (P^) cho bởi:

\ = x0 -ha |t ! + bjt2

(Pt): A jX+BjY+Q z +D^O và (P2): y = y0 + *2*1 + b2*2 / ũĩ' *26 R)

z = Z.Q+ 3jt| + bjti



Đ ế xét vị trí tương đối của (Pị) và (P:) ta lựa chọn một trong haii phương

pháp sau:

P hư ơ iigplìấp 1. Thực hiện theo các bước:

Bước T. Chuyển phương trình (P2) vể dạng tổng quát.

Bước 2. Kết luận.

P hư ơ iigpháp 2. Thực hiện theo các bước:

Bước T. Thay phương trình tham số của (P2) vào (Pj), ta được:

At 1 +Bt:+C=0

(1)

Bước 2. Xét các khả năng sau:

■ Nếu A=B=C=0 o (1) luôn đúng o (Pj)=(P2).

■ Nếu A=B=0 & C^O <=> (1 ) vô nghiêm o ( P j ) / / (P2).

■ Nếu A:+B2>0 o (Pj)n(P 2)=(d).

N hân x é t: Với các bài toán chứa tham số cần giải và bện luận thông tlhường ta

chọn phương pháp 2.

32



Chù đề



Vi tri t ư ơ n g d ô i r ủ ạ hái ì m à * p h À n n



II.CÁC v í DỤ

Ví d ụ 1 Cho hai m ặt phăng:

X = 1 + t , + [ ->



(P,): x-2y+z-2=0/ (P;):



y = 2t, + t ;

/. = 1 + 3t, + t



, (t,,



t; e R )



CMR (P,)=(P,).

G iai.

Cách 1

C huyên phương trình (P;) vể dạng tống quát.

■ Gọi lĩ là vtpt của (P;), ta có:

2 3



3 1



1 2



1 1' 1 1 ' 1 1

■



- ii (-1, 2,-1).



Khi đó:

íqua A(1,0,1)



(I



vtpt n(l,-2,l)



<=> (P,): l(x-l)-2(y-0)+l(z-l)=0 c=> (P,): x-2y+z-2=0.



Vậy (p ,) * ( p j.



Cách 2. Thay phương trình tham số của (P:) vào (Pj), ta được:

( l + t | + t > ) - 2 ( 2 t 1+ t , ) + ( l + 3 t 1+ t ^ ) - 2 = 0 <=> 0 = 0 l u ô n đ ú n g .



Vậy (P,)*(PỈ.

C hú ý : Cùng có thê chứiig minh, bằng cách khăng định (Pj), (P2) có cùng một

vtpt và có một điêm chung.

Ví dụ 2: Cho hai m ăt phăng:

X = 1 + t J —t2



(P|): x-3y+2z+8=0, (P2): - y = -1 + tị + t 2 , (tj, t>eR).

z * 1 + t| + 2t2

CMR (P])/ / (P2)' tù đó xác định khoảng cách giửa (Pị) và (P2).

G iải

Cách 1. Chuyên phương trình (P2) vể dạng tông quát.

• Gọi n là vtpt của (Po), ta có:

11 1 1 1 1

«(1,-3, 2).

1 2 2 - 1 -1 1

■



Khi đó:

(qua A (l,-l,l)

(P ^ 1

-V

<=> (p2): x-l-3(y+l)+2(z-l)«0 o (P:): x-3y+2z-6=0.

[vtpt n(l,-3,2)



V ây (P ,)//(P ;).

Khi đó khoảng cách giửa (Pj) và (P2) được cho bởi:



d— — i i l Ị Ị —



-V ĩ4 .



ự l 2 + (-3)2 + 22



Cách 2. Thay phương trình tham sô' của (P2) vào (P,), ta được:

(l+ t1-t2)-3(-l+t1+t>)+2(l+t|+2t.)+8=0 o 14=0 m âu thuẫn.

Vậy ( P , ) / / ^ :

33



Phân



1: Mat phảnị!



Khi đó khoang cách giừa (Pj) và (P2) được cho bởi:

d«d(A, (P,))«



=V ũ.

^1



+(-3)



+2



Ví dụ 3: Cho hai m ăt phăng:

X = 1 —2t I + 3 u



(P|): x-2y+z-2=0, (P:): • y = 3 + 2 t ,- 3 t : ,



t; eR).



z = 2 + t J + 2 t,



CMR (Pj) và (P->) cắt nhau, từ đó xác định góc giữa (Pj) và (P2).

Giải.

Chuyển phương trình (P->) vể dạng tổng quát, ta được: x+y-4=0.

Vậy (P,)n(P,)=(d).

Khi đó số đo góc a (0
theo công thức:

cosa =



| l . l + (-2 ).l + 1.0|



1



' = —p r .

Vl + 4 + l.Vl + l

2V3

Ví dụ 4: Cho hai m ăt phăng:

x = l + tj+t->

(Pj): rrrx+my-z+2=0, (P2): y » - 3 - t 2 , (tị, t: eR).

z = -t,



Biện luận theo m vị trí tương đối giửa (Pị) và (P-»).

Giải.

Thay phương trình tham số của (P2) vào (Pj), ta được:

m2(l+ t|+ t:)+m(-3-t2)-(-tl)+2=0 o (nr-l)t|+ (rrr-m )t2+nr-3rn+2-0

Ta đi xét ba khả năng sau:

■ N ếu m 2- l s O o i ĩ i a t l .

Với m =l, khi đó : (1) luôn đúng o (Pi)s(P:).

Với m *-l, khi đó : (1) » 2t2+6=0 o (P ị) và (P2) cắt nhau.

■ Nếu m2-l*0 o m *±l o (Pj) và (P2) cắt nhau.

Vậy:

- V ớ im -M P X P * ).

Với m *l, (Pj) và (P2) cắt nhau.



III.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tâp 1.



Xét vị trí tương đối của các cặp m ặt phăng sau:

X = 3 + 2t|



(1)



CHƯ ĐẺ 4



•p



CHÙM MẶT PHẢNG

1. C H ÌJM M Ậ T P H A N G

1 DỊNII NGHĨA

c h u /m i íìỉclt p h ă n g (Pị) vả ( P J Ccìt n/iciu t/ic(> í^iiìo tuvt'ii (d). Tập h ợ p t í t I\ì

các mẠt pluĩng cùng di lịiuì lĩ ườn tỉ tlh)n£ (J) ÍỊỌÌ Lì một chùm mặt phàng,

dường tỉhhig (d) gọi !à true i ùcì chùm, Í CÌL lìiủt pĩhỉniỊ (Pị) Vcì (PJ gọi Lì htìi



nụỉt pitting cơ SỜ củd chùm.

2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA CHÙM MẶT P I \ A N c

Già sử ta có p h ư ơ n g trình tổng q u á t cùcì (Pị) va (I\) trong k h ô n g gian Oxyz

(P 1):A ,x + B ịy + C ịZ + D 1=0/



(p:): A:x+B:y+C2z+D:=0 với Aj:B,:C| *

Khi đó phương trình :

X (A lx + B 1v +C 1z+ D ị)+ n (A :x+B:y+ C :z+D :)=0



(1)



với X:+Ị.r>0, biểu diễn mọi mặt phăng của chùm tạo bời (Pị) và (P2).

N hặn xét:

|>1* 0 , (1) chính là phương trình măt phăng (P2).



Nếu x=0

Nếu ^1==0 =>

Nếu



(1) chính là phương trình mặt plìăng (Pị).



và Ị.1^0, (1) cho phương trình của một mặt phăng khác hai mặt



phảng (Pị) và (P-,). Trong trường hợp nàv, có thể đạt m = ~ và (1) trở

thành: AjX+Djy+CjZ+Dj* m(A2x+B:y+C2Z+D2)=0

hoặc (Aị+ mA‘»)x+(Bl+mB«.)v+(C|+mC2)z+(D|+mD-,)=0



(2)

(2 )



Khi đó ta có vtpt n (Aj+ m A :, Bj+mB:, C ẳ+niC2).

Chú ý . N hư vậy để xác định phương trình của chùm mặt phảng xác định bởi:

a.



Hai m ặt phăng cơ sở (Pj) và (P:), thì nhât tlìiêt phái đưa phương trình

của (P,) và (P^) vể dạng tổng quát.



b.



Trục (d), thì nhất thiết phải đưa phương trình của (đ) vể dạng tổng

quát.



Ví dụ 1: Lâp phương trình chùm mặt phăng xác định bởi (P), (Q) biết:

\. (P): 2x+y+z+4=0 và (Q): x-y+3z-l=0.

X = 1 - 2t ị + 3 t 2

b.



(P): x+y+z+l=0 và (Q):< y = 3 + 2tị - 3 t 2 .

7. =



2 + 11 + 2 t :



C iii.

a. C hùm mặt phăng xác định bởi hai mặt phăng (P) và (Q) có dạng:

n(2x+y+z+4)+m(x-y+3z-l)=0

o (P): (?.n+m)x+(n-m)y+(n+3m)z+4n-m=0

Cái Em h
Ditfi su hồ tnf cùa Nhóm Cự Món di) Ths Lỏ Hổng Dúc và Nhà giáo ưu tú Dào Thiỏn Khài phu bách



35



Phần



b.

tị,



ỉ: Mat phcìng



Chuyên phương trình (Q) về dạng tông quát băng cách khử

t2 từ hệ phương trình tham số của (?) ta được x+y-4=0



các



thaim sô



Chùm m ặt phăng xác định bời (P) và (Q) có dạng:

n(x+y+z+l)+m(x+y-4)=0 <=> (n+m)x+(n+m)y+nz+n-4m=0.

Ví du 2: Lập phương trình chùm m ăt phăng có trục là đường thăng (d) biiết:



X= 2 + t



c.



(1)



(d): y = l - 2 t (2),(teR ).

z = t - 3 (3)



Giải.

a.



Chùm mặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n(2x-y+z-4)+m(x+y-3z-l)=0 o (P): (2n+m)x-(n-m)y+(n-3m)z-4n-m=0



b.



Chuyên phương trình (d) vể dạng tổng quát:



Khi đó chùm m ãt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n(x+y-2)+m(4y+z-2)s 0 <=> (P): nx+(n+4m)y+mz-2n-2m=0

c.



Chuyển phương trình (d) về dạng tổng quát.

■



Rút t từ phương trình (1), ta được t=x-2.



■



Thay giá trị của t*x-2 vào (2), (3), ta được:

2x + y - 5 = 0

x -z -5 = 0



Khi đó chùm m ặt phăng xác định bởi trục (d) có dạng:

n^x+y-SJ+m ix-z-S)^ o (P): (Zn+mJx+ny-mz-Sn-Sm^O

3.



CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP



Bai toán 1 Onmnìătphỉngủxyă iránđiỀu kiện Kcho trước

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



Đê xác định môt mặt phảng của chùm cho bởi (2) hoăc (2'), ta cần xác định

giá trị tham 9Ố m dựa vào một giả thiết nào đó được thiết lập cho m ặt phăng.

Các giả thiết thường gãp:

3.1. M ăt p h ỉn g c ủ i chủm đỉ qua một điếm M cho trưởc

Khi đó, thay toạ đô của M vào (2) hoặc (2') ta nhận được m.



36