CHỦ ĐỀ 5: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

man 1. Mat ptiftnft

2. KHOẢNG CACH DẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LlfiN QU AN

Cho điểm M(xm, yM, ZM) vả mãt phăng (P): Ax+By+Cz+D=0. Khoảng đ.ại số

từ M đến (P) được tính bởi công thức:

t _ Ax0 + By0 ♦ Cy() + p

>/a 2 + b 2 + c 2

•



Gọi n là vtpt của (P), ta có nhận xét sau:

- Nêu t>0 Axo+Byo+Cyo+D^ => vectơ n và điểm M cùng phía với

m ặt phăng (P).

- Nếu t<0 o Ax0+By0+Cy0+D <0

m ặt phăng (P).



•



vectơ n và điém M khác phía với



Cho hai điểm M|(X|, y,) và M:(x2, y:), ta có nhận xét sau:

Nếu (Ax1-»*By1-»'Q(Ax2-»-By2-»'C)>0 => Mj và M: cùng phía với (P).

Nêu (Ax1+Byl+C)(Ax2+By2+C)<0 => M| và M2 khác phía với (P).



Nhận xét trén cho phép ta giải được m ột lớp bàitoán sau:

Bài toán 2: Cho rrát phảng (F): Ax+By+Cz+EM) và điểm

yơz^g(fy Vỉêt phuohg tiĩình

mặt phăng cádì môtprapg (F) một khoang hồngh và (hoả màn:

a. Thuộc phần r»kikhôr^ gian g tt h ại bởi (I^kỈTÔiTgchOÈiN^.

h ThiẠrỊÌiầnnikkhỗnggiangiớihạnbầỢ^điú&M).

a.



PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Gọi (Pj) là m ặt phăng thoả mần điều kiện đầu bài.

Khi đó, điểm M(x, y, z)€(Pj)

°



ÍM & M0 khacphiavoi (P)

Ịd(M ,(P))=h

(Ax + By + Cz + D)(Ax0 + By0 + Cz0 4- D) < 0

I Ax + By + Cz + D Ị _ k

fA2 + B2 + C2



(I)



=



Từ hệ (I) ta có được phương trình m ặt phăng (Pj).

b.



Gọi (P2) là m ăt phăng thoả màn điều kiện đầu bài.

Khi đó, điểm M(x, y, z)€(P 2)

o



{



M k M0 cung phia voi (P)

d(M,(P)) = h



0

I Ax + By + Cz + D I _ J

Va * + Bj + C2

Từ hệ (II) ta có được phương trình m ăt phăng (Pj).



50



(II)



C hù dft 5: K hoáng cách từ niỏt itiòm riOn iĩVH m at pht’ini!



Ví dụ 2 : Chí) m ăt phăng (P): 3x+4y+z+l:a:0 và điểm M0(l, 2, 0). Viết phương

trình màt phăng cách mặt phănẹ (P) một khoảng bằng 4 và thoả mân:

a. TỈÌUỘI phần nửa m ăt phăng giới hạn bởi (P) không chứa M().

b. Thuộí plìần nửa m ăt phăng giới hạn bời (P) chứa M0.

G iải.

a. Gọi (P,) ]à m ặt p h c í n g thoà màn điểu kiện đáu bài.

Khi lí ó, điểm M(x, y, z)e(Pj)

f(3x + 4y + / + 1)(3.1 + 4.2 + 1) < 0

Ị M Ắc M0 khacphiavoi (P)

3x + 4y + z + 1 1

~ jti(M ,(P )) = 4

- r ■•

'

- 4

7 7 7 7 7 ?



o i



Í3x + 4y + z + 1 < 0



_



[I 3x + 4y + z + 1 1= 4V26



c=> 3x+4y+z+l+4 V26 =0.



Đó chính là phương trình tông quát của m ặt phăng (dị),

b.



T ư ơng tư, td có: (p,): 3x+ 4y + z+ l-4 >/26 =0.



Bài toán 3 : ƠIO hai măt phăng (Pị): Apc+B1y+C1=0/ (R): Aọc+B>y+0=0 cắt nhau và điản

y(>AÌ khôiìg thưộc (Pị) và (P). Viêt p huủlìg trình một phảng phân giác của góc tao bởi (PJ,

(P) chúa điẽm N^)hoăc của góc đổi đỉnh với ITÓ.

PHƯƠNG PHÁP CIUỈNG



—



Gọi (P) là m ăt phăng thoả m ãn điều kiện đầu bài. Khi đó, M(x, y, z)e(P)

M & M0 cung pĩiia voi (P|)

o



M & M0 cungphia voi (Pt)

d(M,(P|)) = d(M,(P2))

(A jX + B ịy + C



<=>



ị



Z + D



ị



) ( A ị X 0 + B j y 0 + C ị Z() + D



ị



) > 0



(A2x + B2y + C 2z + D 2 )(A2x0 + B2y(, + C 2Z0 + D 2 ) > 0

A ịX + BịỴ + C ịZ +



D ị I _ I A 2x + B i y + C i Z +



T Ã ỊT bĩ T c f



Ự Ẵ ỊT bĨ + c I



Ị



Từ hệ trên ta có được phương trình m ăt phăng (P).

Ví dụ 3: Cho hai m ặt phăng (P|): Zx+Sy+z-Hl^O, (P2): 3x+2y-z-3*0 và điểm

Mo(0, 1, 0). Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (P,), (P2) chứa

điểm M0 hoăc của góc đối đỉnh với nó.



Giải

Gọi (P) là măt phăng thoả m àn điểu kiện đầu bài.

Khi dó, điểm M(x, y, z)€(P)

M & M0 cungphỉa voi (Pj)

(2x + 3y + z + 1)(2.0 + 3.1 + 0 +1) > 0

<=> M ổr M0 cung phia voi (P2 ) <=> < (3x + 2y - z - 3)(3.0 + 2.1 - .0 - 3) > 0

Ị 2x + 3y + z ♦ í I 13x + 2 y - z - 3 1

d(M,(P1)) = d(M/(P2))

'22 + 32 + l 2



2x + 3y + z + l >0 •

o 5x+5y-2=0.

O 43x + 2y - z - 3<0

2x + 3y + z + 1 = - ( 3 x + 2y - z - 3)

Đó chính là phương trình tổng quát của m ặt phẳng (P).

51



Phán



1: Mat phảng



Bàitaán4:Vổ]^ìiầ*ìgtjỳỉiiTổtphâng

PHƯƠNG PHÁP CHUNG



Gọi (P) là m ăt phăng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D).

Khi đó, điểm M(x, y, z)e(p)

M k A cungphia voi (BCD)

M & D cungphia voi (ABC)

d(M,(ABC)) = đ(M,(BCD))



(I)



Từ hệ (I) ta có được phương trình m ăt phăng (P).

Ví dụ 4: Trong mặt phăng toạ độ Oxyz cho tứ điện ABCD biết A(3, 1, 0);

B(l, 0, -1); C(3, -2, 0); D(0, 2, -2). Viết phương trình m ặt phăng pháìn giác của

góc nhị diện (A, BC, D).

Giải:

• Phương trình măt phăng (ABC) được xác định bởi:

[qua A(3,l,0)

[qua A(3,l,0)

(ABC):

-Z _ o (A B C ):

_1

o (ABC)i: x-2z-3=0.

[capvtcp AB & AC

[ vtpt rij(l,0#-2)

•



Phương trình mặt phăng (BCD) được xác định bởi:

íqua B(l,0,-1)

___ íqua B(l,0,-1)

ỊL _ o (BCD):

o (BCD): y+2z+2=0.

(BCD):

[capvtcpBC & BD

[ vtpt n2(0.1,2)



•



Gọi (P) là măt phăng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D). Khii đó, điêYn

M (x,y)e (P )'

M & A cungphia voi (BCD)



(y + 2z + 2)(1 + 2) > 0



M & Dcungphia voi (ABC)»

d(M,(ABC)) * d(M,(BCD))



(x - 2 z -3 )(4 -3 ) >0

I |x - 2 z - 3 | _ |y + 2z + 2|

Vi 2"+22



Vi 2 + 22



y + 2z + 2 > 0

x -2 z -3 > 0

o x-y-4z-5=0.

y + 2z + 2 * X - 2z - 3

Đó chính là phương trình tổng quát của m ặt phăng (P).

II. CÁC BÀI T O Á N C H Ọ N LỌC

Bài 1 (ĐHD99* Cho Hnh tứ cbỄn ABCD biỂt toạ độ các J k h A £ 3,1); B(4, X -2);; C(6,3,7ị

D(A4,^T&iid)tlađuờngcaohìrhtứđiỀnxuătpháttừD.

BÀI GIẢI

Phương trình tổng quát của (ABC) cho bởi:

(ABQ:



qua A(2,3,l)

hai vtcp AB(2,-2,-3) & AC(4,0,6)



1vtpt n ( - 1.2,-24,8)



(ABC): -3(x-2)-6(y-3)+2(z-l)=0 c* (ABC): 3x+6y-2z-22=0.

Độ đài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D chính là kc(D, (ABC)), ta có:

J-d (D . (A B Q ).

>/3ỉ +(-6)J +22

52



^ -11.

7



C hu đổ 5: K hoáng a w h tu m òt iliftm divn mót mat plì^nr.



------.-------



—



-----------



------------- — -------



------------ ---------------------—



------ ■ —



— —



—



<1



Bài X. (I )HQG/B-yK): Tim g khỏtìg £kHì với Ịìệ tnạ eiộ trự: thuan Oxyz. Xft tem giá: đều OAB



tronm IIứt pỉứn£ (x<^>y')cóauìlì hầiiga, Iìứt pỉứiì£ AB SCIT£Sdìg với trục CV, ctòiì A thua; $óc

pliầr \ tư duiiìlùt eủd nứt ỊÌứng (xOy). Xét đìan 5(0,0, —).

a



Mày XcìL' độ ill tnạ độ của các ttiêỉn A, B và trưng đÌLỶn E c u ~V\m OA, sau đo viêt

plufclTg trình của niặt ptáng (H đ ú ii SE và sang SGIT£vớìG h



K Tnìlì klxvìi Tgc á d ì từO dái (ĩ^ tư đo suy ra khoàiyaÍLÌ 1 giùa Ox va SE



I



BÀI GIẢI

a. Xác định toạ độ điêm A, B:

•



T ừ giả thiết: AOAB đều, AB/ /O y, điểm A thuộc góc phần tư thứ nhất của

m ặ t p h ă n g (xOy). Suy ra:

x a = x b=



O M = O A . cos A O M = —



.



yB=y x=ON=OA.sinAOM =a/2.

zA=zB=0.

Vậy, A ( ^ , | , 0 ) và B ( ^ ĩ , - | , 0 ) .

•



Điểm E là ữung điểm OA, vậy: E(



, 0).



>



M ặt phăng (P) chứa SE và song song với Ox, ta có:

q uaS (0 ,0 ,-)

(P):



3



______. » ( P ) :



/T



hai vtcp SE(—

4



4



3



qua S(0,0,—)

3



0x(l,0,0)



o (P): 4y+3z-a=0.



b.



Khoảng cách từ o đến (P) được xác định bởi:



+ « p .< n r 1g



- - i



Từ đó suy ra khoảng cách giừa hai m ăt phăng Ox và SE bằng —

III. BÀI TẬP ĐỀ NG H Ị

Bài tập 1. Tính khoảng cách từ điểm M(2, 2, 1) đến mặt phăng (P) trong các

trường hợp sau:

a.



(P): 2x+y-3z+3=0.

X = 4 + 3t I + to



b.



(P):
z = “5 - t J + t



53



Ehấnii MMjibing

Bải tập 2. Trong không gian với hệ toạ độ trực chuân O xyz, cho tứ diện có

bốn đính A(54,3); B(l,6,2); C(5,0,4) và D(4,0,6).

a.



Lập phương trình tổng quát m ặt phăng (ABC).



b.



Tính chiều dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy ra thể

tích của tứ diện.



c.



Viết phương trình mặt phăng phân giác của góc nhị điện (A, BC, D).



Bài tâp 3. Trong không gian với hệ toạ độ trực chuân Oxyz, cho tứ diện có

bốn đính A (l, 1,1); B(-2, 0, 2); C(0,1, -3) vả D(4, -1,0).



S4



a.



(ĐHL/D-96): Tính chiểu dài đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện đó.



b.



Viết phương trình m ăt phăng phân giác của góc nhị diện (A, BC, D).



PHẨN II



ĐƯỜNG TllẲNG IR O ^ti KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỂ 1



PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG T H \N G

I.KIẾN THỨC C ơ BẢN

1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA DƯỜNG THẢNG

Đ ịn h nghĩa: Vectd ã là vtcp của đường thăng (d)



° IỊã//(d)

s'0..N hận xét: ã là vtcp của đường thảng (d) thì mọi vectơ k ả với k*0 đểu là vtcp

của đường thăng đó.

2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA DƯỜNG THẢNG

2.1. Phương trình tống quát của đường thăng

Vì đường thăng (d) trong không gian có thể xem la giao tuyến của hai mặt

phăng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình tông quát của (d) có dạng:

A2lX

f '2Z

z ++ r*1

v ' íỊ A

x+

+ Riy

B2y *+ C

C

D2 -= n

0 n

(2)\ với



J 1 1 Av.Bv.C2.

2 2 2



trong đỏ (1), (2) theo thứ tự là phương trình của mặt phăng (P), (Q).

2.2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thăng



PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Đường thăng (đ) đi qua điểm Mo(xt)/ y(VZu), nhận ã (aj, a2/ a3) làm vtcp.



a.



Phương trình vectơcủa dường thắng:

M € ( d ) o 3 te R : M0M = tă



b.



(1)



Phương trình tham sô của dường thảng

k u a M (x0, y „ Zl) o

Ivtcp ă(a,,a2,aj)



X



= x0 + a!t



y = y0 + a 2t ,( t € R ) .

z = z0 + a 3t



(2)



Ngược lại: nếu (d) có ph ư ơ ng trình (2), ta có nhận xét:

Đường thăng (d) đi q u a điểm M0(x0/ y0, z0) .

Đường thăng (d) có v tc p ã (aj, a 2/ a 3).

Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phương phãp" Lây hoc trò lảm trung tâm "

Dướ sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Ljè Hổng DÚI’ vả Nhà giáo U\1 tú Đào Thiộn Khải phụ trách.



55



Phần II: PvrttpẸ tháng tronn khỏng gian



c.



Phương trùứi chính tắc cùa dư ờng thđng

ịq u a



M 0( x 0 , y 0 , z 0 )



^



X - Xọ _



‘ |vtcpã(aj,a2,a 3)



y - y Q _



a,



z - z 0



a2



a3



Ngược lại: nếu (d) có phương trình (3), ta có nhận xét:

Đường thăng (d) đi qua điểm MoÍXo, Ỵo, Zo).

Đường thăng (đ) có vtcp ã (aj,



a%

).



Ví dụ 1. Lập phương trình đường thăng (d) đi qua điểm M0(l, 1„ 1), nhận

ã (1, 2,3) làm vtcp.

Giải.

Ta có:

1



íqua M0(l,l,l)

Ịvtcp ã(l,2,3)



Phương trình vectơ: Điểm M e(d) <=> 3t€R: M0M = tã

Phương trình tham s ố cò dạng

X= 1 + t



(d): y = 1 2 t , (teR).

z = 1 + 3t



Phương trình chính tắc có dạng



(d): —

=ỵ^l=

ĩ-l

3

1

ILCÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1 (ĐHI5/B Phân bar>98): Viêt phiấtTg trình chính tắc của đràng thăng qua điỂ!niM(l, 1,2)

và 90ng90Hgvới đưòng thăng (d) biêt

3x - y + 2z - 7 * 0

X+3y - 2z + 3 = 0

BÀI GỈẢI



N hận xét rằng điểm M g(d).

Gọi ã là một vtcp của (d), được:

-1



2



3 -2



2 3

-2



1



3



-1



1 3



= ă(-4, 8,10) chọn ã (-2, 4,5).



Gọi (A). là đường thẳng qua điểm M và song song với đường thămg (d). Ta

có:

qua M



vtcp ã



56



X —1



1



Z -2