CHỦ ĐỀ 5: HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Phần 11: D ư ớ iụ ’ th in g tro n g kh ổn g gian



Ví dụ 1: Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thăng (d|) và (d2), cho bởi;

X = 2t - 3

'4x + y - 19 = 0

a. (dị): y = 3 t - 2 , ( d 3):

X- z +15 = 0

z = 6 + 4t

v

b.



(d,):



2x+y + 1 = 0

(1 )

id V <í 3 x + y - * + 3 “ °

. iUii:

x - y + z - l = 0 (2 ) ' 2 ‘ [2 x - y + l = 0

(4)



Giải.

a. Thay X, y, z ở phương trình của (d|) vào (d:), ta được:

j4(-3 + 2t) + (-2 + 3t)-19 = 0

|(-3 + 2 t)-(6 + 4t) + 15 = 0 ^

Thay t=3 vào phương trình (d|), ta được 1(3, 4,18).

Vậy (d O n íc y -ip , 4,18).

b. Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (4), ta được :

x=- -1 , y= 0 , z=* —3 .



2



2



Thay vào (3) thấy luôn đủng.

Vậy (d ,)n (c ụ )= I(-ỉ,0 , | ) .

Bài toán2Qx> hai duờr^gdiăng phân biệt(d,) và (d) đổng phăng. VìÊtphumg trình mặtphăiig

(F) chúa hai đưòng thăng (d,) và (cy.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta biết rằng hai đường thăng (d,),(d 2) đồng phăng

o



■ (d,)//(d2)

( d ,) n ( d í )= M -



Vậy, đê’ xác định (P) chứa hai đường thăng (d|) và (d->) ta lựa chọn m ột

trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn hai điểm A, B theo thứ tự thuộc (d|), (dọ).

B ư ớ c2: Tìm m ột vtcp ã| của (dị). Khi đó:

/



x s ' (di) (d 2



qua A

(P):



hai vtcp ã| & AB



Từ đó ta có được phương trình tham số của m ặt phăng (P).

Đặc biệt: (
Bước 1: Xác định vtcp ã | , ã 2 của (d|) và (đ,)

B ư ớc2: Phương trình (P) được xác định bởi:

(P)



'qua M

■{;hai vtcp ã, & i ,



/



^

M



Từ đó ta có được phương trình tham sốcủa m ặt phăng (P).



84



Ch 11 l ị ọI I<ỊJỊ J iftMiK thAiH’ itó n }’, pliant' v.t CcjC N il toain Iti n I|n


Cách 2: T hực hiện theo các bưoi

Bước ĩ: C h ọ n điểm A tlniiV (ti,) Viì không thuội (J )

Bước 2; Xác định rnặt phciFij' (p) thuộc chum tcio h>ì trục (đ :) va đi q u a

điỏnì A.

C hú ý . N ế u (dị) và (d:) đổng phãng (thuộc nic'U pkVi

h ìn h chiếu so ng song của (dị) ih ro phương ( đ ,) U".\ 11 ..

giao tuyến của hai m ặt phăng (P) Vả (Q).



thì p h ư ơ n g trình

’háng (Q) chính là



V í d ụ 2: C h o hai đ ư ờ n g thăng (dị). (d :) có phươ ng trinh

x=U 2l

Ịx = 6 + 3tị

(d ,):< y = 7 + » , (d:): jy =-1 -2»,



[* = - 2 + t,



/ = 3 -t- 41

a.



(t, t,eR).



C h ứ n g tỏ rằng hai đư ờ n g thăng (đj), (cK) cắt nhau.



b. Viết phương trình mặt phang chứa (dị) và (đ:).

Giải.

a* Gọi ả ị , ã 2 theo thứ tự là vtcp của (dị) và (đ2), ta cỏ:

a, (2, 1,4) va a 2 (3, -2, 1 ).

LâV A (l, 7, 3)e(dị) và B(6 , -1, -2)e(d2) (lưu ý A*B), suy raAB (5, -8 , -5).

Xét tích hỗn tạp của ba vectơ ă j , ã2/ AB là:

2



1 4



1 =0

D ( ẳ j , ã 2, AB)= 3 - 2

5-8-5

Suy ra, (dị) và (đ:) đồng phăng.

M ặt khác: ã, không cùng phương với ã 2.

Vậy (dị) và (đ2) cắt nhau,

b. Viết phương trình mặt phăng chứa (dj) và (d2).

C jcJi 1: Gọi (P) là mặt phăng chứa (dị) và (d2), khi đó

fX= 1 + 2t I + 3t*>

(P): \

<=> (P):
(t„ t 2<=R).

[hai vtcp ã 1 (2#l /4) & a:(3,-2,l)

z -3 + 4 t + t

[qua A( 1,7,3)



Đ ó chính là phương trình tham số của mặt phăng (p) chứa (dj) và (d2).

CJt J i 2. sử tiụng tích hỗn tạp.



D ii’m M(x, y, x)€ (P) <=> D( AM,ẩj ,ã: )=0

X- 1 y - 7 z - 3.



<0



2

3 - 2



1



4

1



=0o



1 4

4 2

2 1

(z-3)=0

(x-l)+

(y-7)+

1 3

3 -2

-2 1



-> 9x+10ỵ-7z-58=0.

'hình ỉa phương trình tổng quát của (P).



85



Phán H.



thềng trong khOnjMEido



Ví du 3: Cho hai đường thăng (dị), (d^) có phương trìrlh

/J \ x-2_ y

z+1 *, I V x -7 _ y -2 _ z

(dj): ------== —— và (d2): ------------ * ----- = — .

v 17 4

-6 - 8

v 27 - 6

9

12

a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (dj), (d2) song song.

b. Viết phương trinh m ặt phăng chứa (di) và (dj.

c. Tính khoảng cách giửa (d|) và (d2).

Giải.

a. Gọi ã j , ã 2 theo thứ tự là vtcp của (iỉị) và (d2), ta có:

ãj (4,-6,-8 ) và ã 2 (-6,9,12) => ãj / / ã 2

Mặt khác lấy A(2, 0, -l)€E(dj), nhận thây rằng Ae(cU) => (d 1)//( c l2).

b. Lấy B(7, 2,0)G(d2).

Gọi (P) là m ặt phảng ch ứa (dj) và (cU), khi đó

qua A(2,0,-l)



(P):

. . -~ L

'■ Ị hai vtcp



2 - 2tj + 5ti

......... ~ ( P ) : y = 3tj + 2 t 2

& AB(5,2,1)

'• L . ^ 4 t + t 2

X=



(t|/ t 2 e R ).



c. Vì (d j)// (1Ì 2), nên khoảitìg cách giữa (dx) vả (1Ì 2) (bằng khoảng cách từ A

đến (d^), được xác định bởi công thức:

d((d,), (đ 2))=d(A/ (d2))=



I a2 I



= JẸ*

29



VẬ dụ 4: Cho hai đường thăng; (dj) và (d^) có phương trinh là:

2 y -z + 2 = 0

( II

0



(2)



(3)



.



a. CMR (di) và (1I 2) cắt nhau. Xác định toạ độ giao điêm I của chủng.

b. Viết phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) chứa (dj) và (1Ì 2).

Giải.

a. Giải hệ phương trình tạo t>ởi (1), (2), (3), ta được : x= 1 0 , y*-l, z=0.

Thay vào (4) thấy luôn đúng.

Vậy (d 0 n < đ > I(1 0 , -1,0).

b.



Chọn A (12,1,4), nhận thâV:

ÍA *(d,)

Ị A € (d2) *

Vậy, (P) đi qua hai đường tỉhăng (dj) và (1Ì 2)

« ( P' ); : ÍA

ị (dl)f

e(P)í P ).

Đường thăng (dj)c(P) => (P) thuộc chùm m ăt phắng tạo bởi (d|) có dạng:

(P): x+3z-l0+m (y+l)=0 o (P): x+my+3z-10+m=0

(5)

Điểm A (12,1 ,4)e(P) o 12+nn.l+3.4-10+m-0 o m=-7.

Thay m=-7 vào (5) được (P): H-7y+3z-17=0.



S6



chu



5 1jLij_ị Ị ương tliAnn dong, ịjw i n£ v«ì UK bái toán ỊịOn q ih ìiì



Ví du 5. (ĐHKTQD - 97): Cho lìcìi đưỡiì^ tiling

(d,):



X



-



1



=



V+ 2

2 -1 .1



_



/ - 4



= L1



(dị) va



(d:) có phương trình là:



ỊX • 1 + 1

, (d;): Ị V = -.

. (te R).

/ = - 2 + *t



a.



CMR (dị) và (di) cắt nhau. Xác định toạ độ giao điẽni i của chủng.



b.



Viết p h ư ơ n g trình tổng quát cùa mạt phăng (P) chứa (ảị) và (cK).



Giãi

a.



Thay X, y, z từ phương trình tham số của (d :) vào phướng trìn h chính tắc



cùa (dị), ta được:

—1 + t —1



_ L _ _ ----- =

2



-t + 2 _ -2 + M - 4 _



-



— = _ L — — - ct> t= 2.

1



Vậy (d O n td ^ -A O ,-2, 4).

b. Ta có:

Cách ĩ.

Gọi ã Ị , ã 2 theo thứ tự là vtcp của (d|) và (đ2), ta có:

ẵ, (-2 ,1 ,3 ) và ẵ 2 (l,-l,3 ) .

Mặt phăng đi qua hai đường thăng (dị) và (d,), được xác định bởi:

íqua A(l,-2,4)

V



[hai vtcp ãj(-2,l,3) & a:(l,-l,3)



» ( P ):



íqua A(l,-2,4)

"



[vtpt 11(6,9,1)



o (P): 6(x-l)+9(y+2)+z-4=0 » (P): 6x+9y+z+8=0.

Đó chính là phương trình tổng qúat của mật phăng (P).

Cách 2. s ử dụng tích hỗn tạp.

Điêm M(x, y, x)e(P) <=> D( AM/ã ị/ã 2 )=0

3 -2

1 3

(x-l)+ 3 1 (y+2)+

1 3



-2



1



1 __ (z-4)=0 <=> 6x+9y+z+8=:0.



Đó chính là phương trình tổng quat của (P).

Cách 3: s ử dụng chùm m ặt plulng.

Chọn B(-l, 0, -2), nhận thấy: j B* (li 1}.

ỊBe(di)

Vậy, (P) đi qua hai đường thăng (dị) và (đ:)



(P):



1 |p ^ ^ •



C huyển phương trình {đ,) về dạng tông q u á t:

íx + 2y + 3 = 0

[3x + 2 z - l l = 0 ■



Đường thăng (dị)c(p) => (P) thuộc chùm mặt phảng tạo bởi (c^) có dạng:

(P): 3x+2z-ll+m(x+2y+3)=0 CO (P): (3+m)x+2my+2z-ll+3m=0

(1)

Điêm B(-l, 0, -2 )g(P) co (3+in)(-l)+2m.0+2(-2)-ll+3m=0 <=> m=9.

Thay 01=9 vào (1) được (P): 6x+9y+z+8=0.

87



Phàn II: Dưi


II.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bàil (ĐH5P Q ji nhat>99): Cho hai đuàng thăng (dị), (cỊị)cóphuthg tnnh

X = 3 + 2t a

X = 3 + 2t

(4): y = l - t ,(dj): y = - 3 - t , (t,t,eR).

z = 5- 1

Z= 1 - t ,

a

b.



Chứng tỏ lằng (dj), (ck) song scng.

Viêt phvrtìg trình mặt phăng dìiiì (dj), (dj).



BÀI GIẢI

a. C húìig tỏ rằng (dj), (cỤ song song

Gọi ảẢ, ã 2 theo thứ tự là vtcp của (dj) và (d2), khi đó:

ã, (2 , - 1 , - 1 ) và ă 2 (2 , - 1 , - 1 ) => s , / / i 2 .

M ặt khác hệ phương trình tạo bởi (cIị), ( d j vô nghiệm.

Vậy (dj), (lU) song song với nhau.

b. V iết p h ư ơ n g trinh m ặ t p h ă n g chứa (dj) và ( d j

Cách 1. Lấy A (3 , 1 , 5 )e(d}) và B(3, -3,1)6 (d,J.

Gọi (P) là m ặt phăng chứa (dj) và (d^, klìi đó

x = 3 + 2t|

qua A(3,l,5)

(P):

y = 1 - 1 , - 4t,

hai vtcp ã- ,(2-1,-1) & ABÍ0,-4,-4) ~ ( p):

7. = 5 - 11 - 4t,



(tj, t2


Cách 2. Lấy A (3 ,1, 5)e(d,).

C huyên phương trình (d->) về dạng tông quát:

X+ 2y + 3 = 0



(Ạ):



y- z+4=0



Gọi (P) ỉà m ặt phảng chứa (dj) và (d2) => (P) thuộc chùm m ăt p h ăn g tạo bởi

(đ2), có dạng:

(P): y-z+4+m(x+2y+3)=0 o (P): mx+(l+2m)y-z+3m+4=0

(1)

Điểm A (3 ,1 ,5)e(P) => 3m+(l+2m)-5+3m+4=0 o m=0.

Thay m=0 vào (1), được (P): y-z+4=0.

Bài2(ĐHKT-96): Cho hai đường thăng sang sang (dj,(d)aópht**ig trình

/ J \ x + 7 _ y - 5 _ z - 9 ... x _ y + 4 _ z + 18

(■A): —-— = - ---- =------ ,(<ỊJ: —= — — =■■ — .

3

-1

4 V J 3 -1

4

a.



ViỄtphuttTg trinh irổ t phăng chúa (dj) vả (li).



b.



TnỶilđwảngcáchgiũâ(đ|)và(d^.

”



a.



BÀI GIẢI



U 'y A(-7, 5 ,9)e (d,) và B(0, -4, -18)e(di).

Gọi ẵ là m ột vtcp >của (dí) và (dj), ta có ã (3, -1,4)

Gọi (P) là m ặt phiỉng chứa (dj) và (cy, khi đó:



c hu «1c_5 1kn ituòng ill t.tỏtụ’ p lỊ(} n J• V'ị\ r


b.



Tính kh o àn g cách giud ( d ị) và (ti,): VI ( t l ị ) / / ( d :)' n i‘n khoảng cách giữa



(tlị) và (đ2) băng khoảng <\H lì từ điêm A đến (d ), được xác định bởi cổng

thức:

J ( ( J |) .



(Jĩ))-J(A. (d;)) = 1 1 5 ^ 1 ! =25.

la , ỉ



Bài 3 (PVBC ổr TT-98): Cho lvii đuờng thàiìg (Jị) va (dj aSpluittìgtmihla:

v Ư [ x -y + /~ I =0 !(2) . w l Ị2x - y + 1 = 0,

a

h



’S

(4)-



CMR hú đuờng tỉiăng đó cắt ììliaiL Xác định trụ độ giao điẩn Icủa chúng,

Viêt phutng trình tôiìg lỊuát của mặt phăng (P) di LỊikì ỉvu đuởng thăng (dị) vá (cỊ>)

BÀI GIẢI



a.



Ví dụ 1 .b, ta có: (d |)n (d :)=I(- - , 0 , - )



b Ta có:

Cách ì. Chọn A (0 ,1, 4), nhận thây:

ÍA «(d,)

| a e (d 2)

Vậy, (P) đi qua hai đường thăng (dị) và (d:)

« ( P ) : (d l)C (P ).

v ' l A e (P)



Đường thăng (dj)c(P)

(P) thuộc chùm mật phăng tạo bởi (d) có dạng:

(P): 2x+y+l+m(x-y+z-l)=0

« (P): (2 +m )x+(l-m)y+mz+l-m =0

Điém A(0, 1 , 4)e(P) o (2+m).0+(l-m).l+m.4+l-m =0

Thay m =-l vào (5) được (P): x+2v-z+2=0.



(5)

m =-l.



Cách 2 (Sử dụng tích hỗn tạp)

Gọi a , , ã 2 theo thứ tự ia vtí p của (dị) va (dì), ta có:



1 0 0 2 2 1 \

= àj (1 , -2, -3) chọn «1 , (-1, 2, 3);

- 1 1 91 1 / 1 - 1 /

1 - 1 -1 3 3 1 \

= ả: (-1, -2, -5) chọn â 2 (1 , 2, 5).

1 0 0 2 2 -1 /

Điêm M(x, y, x)g(P) o D( lM/â j/ã: )=0

x + 1/2 y Z - 3 /2

co



-1



2



3



1



2



5



1

-1 2

3 -1

1

(x + ị ) +

•y+

1 2

2 5

5

1

2 3



=0 co



.(z-— ) = ()



Cz> x+ 2 y-z+ 2=0

Đ ó chính là phương trình tổng quát của (P).



89



_



>



Phàn 11: DươnẸ thflnft trong khổntt nian



Bài 4 (ĐHĨ5/ A-98): Cho hai đut* TgthăiTg (dị) và (dj) có phưttg trình

3



+ 2t



|4x + v - 1 9 = 0



H zr-2!3

*'(teW1 * - - 1 5 = 0

= 6 + 4t

~

a.



a

h

"



•



OvlRhaiđư^thăngdócắtiiìauXảcđịrh

Vìêt phuttTg trinh lồng quát của mặt phăng (F) di qua hai đuờhg thăng (dị) và (dj).

™ — — —— ™

BÀI GIẢI~



Thay X, y, z ở phương trình của (dj) vào (d2), ta được:

Í4(-3 + 2t) + (-2 ♦ 3t) -19 = 0

j(-3 + 2 t)-(6 + 4t)+15 = 0 ^



Thay t=3 vào phương trình (dị), ta được 1(3, 7,18).

Vậy (d,)n(d2)=l(\ 7,18).

b. Chọn A(-3, -2, 6 ), nhận thây:

ÍA*(d2)

\A e (á ì )'



Vậy, (P) đi qua hai dường thăng (dj) và (d2)

'(d 2 )c (P )

o (P ):

A 6 (P)

Vì (d,)c(P) => (P) thuộc chùm m ặt phăng tạo bởi (d) có dạng:

(P): 4x+y-19+m(x-z+15)*=0

o (P): (4+m)x+y-mz-19+15m=0



(1)



Điểm A(-3, -2 , 6 )e(P) <=> (4+m)(-3)-2-m.6-19+15m =0 o m - — .

Thay m = — vào (1) đưỢc(P): 19x+y-llz+123=0.

C hú ý . Bạn đọc nén thực hiện thêm cách viết phương trình tổng q u á t của (P)

bằng phương pháp tích hỗn tạp, theo các bước sau:

Bước 1: Xác định các vtcp ă | , 32 theo thứ tự của (dj) và (cU).

B ước2. Điểm M(x, y, x)e(P) » D(IM/ầ j/ã 2 )=0.

Từ đỏ suy ra phương trinh tổng quát của (P).

Bài5(EHIGX3D^:Chohaiđườt^thài)g(d1)và(đ 2)o6phưtíTgtiTỉiỉi

X = -1 + t



y = -t

,(teR).

z = -2 + 3t

a. CMR hai đường thăng đố cắt nhau. Xác đpỶi tnạ độ giao điẩn Icủa chúng.

b. VÊtphưciỊg trinh \ả?g quát của mặt phảng ợ^điquahaiđuờngứìàiìg (dị) và (á).

~ ~ ~

“

“

" BÀI GIẢI

~

— — -- —

a.



90



Thay X, y, z ở phương trình của (d2) vào (dj), ta được:

-1 +-----t - l =_ —

-—

t—

+ 2=_------2 + 3t

- 4 =o t= 20.

—

—----2

1

3

Thay t=2 vào phương trình (đ2), ta được 1(1, -2,4).

Vậy (dx)n (d2)=ỉ(l, -2, 4).



Q ju



K



đ ôn ^ phalli*- V<Ịj W bậị toán hôn lịuan



1«' > í lai li ựúnr



Ta có:



Cách 1.

Gọi â ị, ti ■>theo thứ tư là vtcp I 111) (dị) và (đ,), ta



co



ã ,(-2 ,1 ,3 ), ã :(l',-l,3 ).

Gọi ri là một vtpt của măt [dicing (P), khi đó:

3 - 2 ị ị- 2 1

= 11 (6,9, 1 ).

3 1 I>I 1 1



n-Lã|

n-Là:



Vậy phương trình mặt p h ăn g (P) được XiK định bời:

[qua 1(1,-2,4)



(P ):|



;



o(P):6(x-l)+9(v+2)+l(z-4)=0»(P):6x+9y+z+8»0.



Đó chính là phương trình tổng quát của (p).



Chú ỷ. Thay v ì phải trình bàv như cách 1, ta có thế sư dụng ngay tích hỗn tạp

đê có được phương trình tông quát của (p), như sau:

Điểm M(x, y, x)€(P) <=> D( ỈM, ã ã 2 )=0

ị ,



X—1 y + 2 7 -4

<=> - 2

1

3 =0 co

1 -1 3



(x -1)



1 -2

3



1



(y + 2 ) +



1-2 1

(z - 4) =0

i 1 -1



c=> (P): 6x+9y+z+8=0

Đò chính là phương trình tông quát của (P).

Cách 2. Chuyển phương trình (d|) về dạng tổng quát, ta có:

X - 1 ỹ+ 2

_2 ” ĩ

íx + 2y + 3 = 0

x-1



Z-4



[3x + 2 z - l l = 0



-2

3

Đo chính là phương trình tông quát của đường thăng (dị).

Chọn A(-l, 0, -2), nhận thây:

ÍA í(d ()

1 A € (d; )

■



Vậy, (P) đi qua hai đường thăng (il|) và (il:)

o (P ):



(d .)c(P )

A e (P )



Đường thăng (d|)c(P)

(P) thuội chùm mặt phăng tao bởi (đ) có dạng:

(P): x+2y+3+m(3x+2z-ll)=0

<=> (P): (l+3m)x+2y+2mz+3-llm =0

(1)

Điểm A(-l, 0, -2)6(P) -o (l+3m)(-1)+2.0+2m(-2)+3-llm=0 <=> m = ỉ .

Thay m = — vào (1 ) được (P): 6x+9y+z+8=0.



91



%



*



Phân 11: PườnỊi thanp trong không gịan



III.BÀI T Ậ P ĐỂ N G H Ị

Bài tập 1 . (ĐHBK TP.HCM - 93): Viết phương trình m ặt phàng (P) chứa (
và (di), biết:

( d ,) :^ = I z l . l z l ' M :

\ ĩ/ 3

2

-2 v



* = y Z ± =L ±



1



1



2



Bài lâp 2. (ĐHSP II - 2000): Cho điém A (l, -1, 1) và hai đường thăng (
(đ->) có phương trình là:

í \ \ J 3x - y - z + 3=- 0



ÍẵÍ V



yx == t- 1 - 2 t , (teR).

' (dĩ):

Z = -3t



[2 x - y + 1 = 0



CMR (dj), (đ^) và điểm A cùng tlìuộc một m ặt phảng.

Bài tập 3. Cho hai đường thăng (dj) và (d2) có phương trình là:

2x + y +l =0

3x + y - z + 3 = 0

(dt): x - y + z - l = 0 (d2): 2 x ~ y - 1 = 0

,



a.



LCMR

M K nai

hai uđường

ư ơ n g tnang

thăng UO

đó cat

cắt nnau.

nhau.



b. Viết phương trình tống quát của m ặt phăng (P) chứa (dị) và (đ^

c. Viết phương trình đường phân giác của (đ|), (d2).

Bàỉ tập 4. Cho hai đường thăng (dj) và (d2) có phương trình là:

fx ==2 t + 1

X- 2

y - 1_ z -1

y = t + 2 , (t€R).

,(d

2

1

z = 3t -1

a. CMR (đ|) và (d-*) cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.

b. Viết phương trình tổng quát của m ặt phăng (P) chứa (dj) vả (d2).

c. Viết phương trình đường phân giác của (đ|), (dn).

Bài tâp 5. Cho hai đường thăng (dj) và (d2) có phương trìnlì là:

\.x~”3 y +1 z 2 fA |4 x - y - 2 = 0

(di ): 1

4

J ' ( d l) :Ì 3 x - z .Õ

•

a. CMR (d,) và ( d j song song với nhau

b. Viết phương trình tổng quát của m ặt phăng (p) chứa (dj) và (d2).

c. Viết phương trình đường thăng (đ) trong (P) song song và cách đều

(d ,),(d ;).



92



CHỎ ĐỂ 6



HAI ĐƯỜNG THẢNG CHÉO NHAU

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

I.KIẾN THỨC C ơ BẢN



1 . H A I DƯỜNG THĂNG CHÉO NHAU

Ta biết rằng trong không gitUi licii đường thàng chéo nhtiu la hai đường

thăng khổng cùng năm trong một một phăng.

Ị~llài toán rc h t) hãi đường thăiì^ (d j)và (Jj. cMR (đj) và (d) đxÁ>ììhìiL

PỈ11 ()N(. PIỈÁPÍ m \<;



— —



T a lựa chọn m ột h o n g hai cách sau:



Ccich 1. s ử dụng tích hỗn tạp

CĂch 2. Thực hiện theo hai bước

B ước 1. Chứng minh hẹ phương trình tạo bởi hai đường thăng đó vô

nghiệm.

B ư ớ c2. Chứng minh hai vtcp cua (dj) và (d:) không cùng phương.

V í d u 1: Cho hai đư ờn g thăng (dị), (d:) có phương trình

X = 6 + 3t

= 1 + 2t

,( đ 2): y = - l - 2 t,

(Ji): y = 2 t

/ =t

I/. = - 2 + t J

X



(t, t,eR).



C hứiìg tỏ rằng hai đường tháng (dj), (d:) chéo nhau.

Giảá.

G ọi â j , ã 2 theo thứ tự là vtcp (d|) và (đ2), tci được

í , (2, 1,4), ă 2 (3, -2,1).

CcicJi 1. sử dung tích hỗn tạp

Lấy A (l, 0 ,0 )G(dj) và B (fvl,-2)e(d:) (lưu ý A*B), suy ra AB (5,-1,-2)

Xét tích hồn tạp của ba vectơ ã | , a 2 , AB là:



2



1 4



D ( a , , ã 2, ÃB) 3 - 2



1 *0



5 -1 -2

co (dị) và (cK) chéo nhau.

Cắcdì 2. Thiêt lập hệ phưctng trình tạo bởi (d,) và (d2), ta có:

1 + 2t ==6+ 3tj

2t = —1 —2t J



(*)



t = -2 + tj



H ệ (*) vô nghiệm (dị) và (d2) không có điém chung.

M ặ t khác ã Ị, ã không cùng phương.

V ây (di) vả (cjU) chéo nhau._____________________________

Cac Him học siiìh hãy tham gia học tập theo phưitiy, phap" U y hoe trò làm trung tâm "

Dưới ĩ sự hỗ trợ cùa Nhóm Cự Môn do Ths. ư* Hổng Dưc và Nhà giáo ưii tu Đào Thiện Khài phu trách



93



Phàn ỊL D ư ở n u tháng tro n g kh ổn g uian



)



Ví du 2: Cho hai đường thăng (d|), (d2) có phương trình :

x + y + z - 3 = 0 (1)

X - 2y - 2/ + 9 = 0 (3)

(d.): y + z - 1 = 0

(2 )

y - z+1 = 0

(4 )

CMR (d|) và (d->) chéo nhau.



Giải’

Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (4), ta được : x=2, y=0, Z-1.

Thay X, y, z vào (4), ta được:

2-2.0-2.1+9=0 mẫu thuẫn.

Vây (dj) và (CÌ2) không có diêm chung.

Gọi a ã 2 theo thứ tự là một vtcp của đường thăng (dị) và (d j, ta có :



1 1 1 1 1 1

« ẵ , ( 0 , -1 , 1 )

9

1 1 1 0/0 1

-2 -2

/



1 -1



-2 1 1 -2 \

ã :(4 ,1,1)

-1 0/ 0 1 /



=> ã 1, ã <>không cùng phương.

Kết kuận: hai đường thăng (d,) và (d^) chéo nhau.



2 . ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THĂNG C H É O

NHAU

Ta biết rằng (d) là đường vuông góc chung của (d|) và (lU)

fic O n id O -A M d W d ,)

|( d ) n ( d 2) 3 B & (t1)±(đ2) *

Bài toán 2 Gx> hai đường thăng (đj) và (it) chéo nhau. Vỉôt phưcng trình đường vuông gcc

chung của hai đường đó.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta lựa chọn một trong các phương pháp sau:

P tìư ơ ìigphấp 1: Thực hiện theo các bước:

Bước ĩ: Tìm ã ị, ã 2 theo thứ tự lả m ột vtcp của đường thăng (di) và (ti2).

Gọi ã là vtcp của đường thăng (d), suy ra:



Í



ẵJLd



,



, từ đây ta xác đinh đươc ả .



â_Lâ->



B ước2. Viết phương trình măt phăng (Pj) chứa (d) và (dj).

Bước 3: Viết phương trình mặt phăng (P,) chứa (d) và (d,).

Bước 4 :Phương trình (d) chính là giao tuyến của (Pj) và (P2).

Phương p h á p 2 (Nếu (dj) và ( d j đểu cho dưới dạng tham số/. Thực hiện theo

các bước:

Bước 1: Gọi AB là đoạn vuông góc chung của (dj) và ( d j (A 6 (dj); Be(d)).

Khi đó, toạ độ của A, B theo thứ tự thoả m ãn phương trình tham

số của (dj) và (d>). Từ đó suy ra toạ độ AB.