CHỦ ĐỀ 11: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT CẦU

Phẩn IV: Mat cáu



Cách 2. Xét hệ phương trình tạo bởi (Sj) và (S2):

j x 2 + y 2 + z 2 + 2x - 6 y + 4 z - 15 = 0



j x 2 + y 2 + 7? - 2 x - 3 = 0



I X2 + y2 + /} - 2x - 3 = 0



[2x - 3y + 2/ - 6 = 0



Khi đó, khoảng cách từ 1,(1, 0, 0) tới mặt plìắng (P): 2x-3v+2z-6=0, được

cho bơi:

J.

<=> mặt phăng (P) cắt mặt cầu (S2) <=> (Sj) và (S2) cắt nhau.

1...... .................. 7.... — —..........

..— ...... —* —

—



Mătđãngphuơtig, Cho 2 mặt cấu (Sị), (Sì) không cùng tâm oó phưtiTg trình

(5 1) : x ^ y ^ z :- 2 a tx - 2 b 1y - 2 L : j Z + d 1=0



(a J



+



bỷ



+ CJ -



d ị >Ợ )



có tâmI|(akbị, Cị)vàbánkínhRj=^ãj + t + c2ị - dj .

>7



£ *):x ^ V ^ z r-2 a 2x-2hsy-2L:2z + d r O ( a í + b ị + c ị - d - y >Ợ)

o ó tâ n ìl^ ạ y b y C ^ v à b á n k íiìh R ^ ^ a ỉ + b ; + c ị - d 2 .



Khi đó tậphợp nhủhg điẩn có cùng phut*Tgtíih với hai mặt cầu (5j) và (Ss) làInăt plìãng

(P), gọi làmặtđẳngphưrtIgcủahai mặtcầu(5ị), (Ss)cópht&hgtrình:

2(ar a^)x+2(br



c^z -ùị+drO.



Ví dụ 2. Tìm mặt đăng phương của hai mặt cầu

(Si): x2+y2+z2+3x-2z=0 và (S ): x2+y2+z2-2x-2y-z+l=0

Giải.

Xét hệ phương tTÌnh tạo bởi (Sj) và (S2), ta có:

jx2 + y2+ z2+ 3x - 2z = 0

] 1

V /

[x + y? + z*> - 2x

- 2y

- z +1 =0..

Bằng cách khử X2, y2và z2 từ hệ Ợ), ta được : 5x+2y-z-l=0.

Đó chúìh là phương trình mặt đăng phương (P) của hai mặt cầu (Sj), (SẠ

2



Bài toán2 (Chùmniătcẩùị Phưtrg trìnhmặtcầuđỉ quagiaođiản củahai mặtcầu:

(Si): x^ y^ -^ -Z b ^ -iriZ + d rO (a } + bj + CJ

(Sj): xi+ y ^ -2 a 2x-2Ky-2c2z-Klf<) (a 2 + b? + CỈ -cteO),



06dạng;

X(x^-2alx-2b1y+c1)-»-|.i(x^y2-2a2x-2>jy+c^

(1)

vởiArHgRvà X^|^>0

Không mâ't tính tổng quát ta giả sử \*0. Khi đó , phương trình (1) đượíc

v iết d ư ớ i dạng:

x2*»*y:+ z2-2a1x-2b1y-2c1z + d 1+ — (x2+y2+ z2-2a^x-2tv>y-2csz+d2)s*0



Ằ



đạt m=—, ta được:

x2+ y2+ z:-2a1x-2b,y-2C|Z+d1+ m (x2+y2+ z 2-2a2x-2b2y-2c2z + d :)s*0



(2)



Chủ ỷ. khi viết phương trĩnh của một măt cầu thuộc chùm tạo bởi (Sj) và (S

ta sử d ụ n g (1) hoặc (2) (thông th ư ờ n g ta s ử d ụ n g (2)).



254



(



h i I J (• 1 I _v J t ! I I I I CM nr. đ ô i Q u a h t i i m j U I Á U



A p dun%.

Tcì ó thê d u n g p h ư ơng trinh I hum mật râu cI«11 ìv; tn ’ii đô giai các bài toán

cỏ dụnt: " ViOỈ phươìig trìiĩỉì lĩhlt (iìti i/iLì *;/
(S t) i L ì lio \'cì d ìíìo m ã n m ộ t Lticu kuhì ỈUÌO đo, I /ìiìiìi; /ìiỉíì i t i i/Híì m ộ t d iê m ,

Vi/. VỚI Ì ì ì ộ t m ặ t p h đ n q , i í i ỉ ứ m ; th i ỉ m ; , »<> tiỉiìì tỉii/ô i m ộ t d ư ờ i ì í Ị t/ì<ĩníỊ



tiế p



khcii . :

Ví d u 3 C ho lìc\i m ặ t cầu (S|): \ :+Y+/.:-2\-4/.+1=0 va (S ): \ :+ v:+ z :-2x-3=0.

a

CMR hcỉi m á t cáu (5j) và (S.) cắt nhau.



b



Viết phương trình mặt cầu qua giao điêm của (S|) và (S-.) và qua điếm



M(3 (l 0)



Ghi].

a.



XétQìcU t ầ u (S|), suy ra : tâm Ij(l, 0, 2) và ban kính Rj=2.

Xét n ặ t cấu (S-), suy ra : tâm 1.(1, 0, 0) Vci bán kinh R,=2.



Ta o lịI2=2, suy ra IRj-R: I=0 (Sj) ait (S^) cắt nhau theo

g ia o tu \ế n là m ột đ ư ờ n g tròn.

b.



M ă ic ầ u (S) đi qua giao tuyến cù lì hai mặt cầu (Sj) va (S:), có dạng:

(S): x2+y2+ z2-2 x-4 z+ l+ m (x :+y:+z:-2x-3)=0

(5): (l+ m )x :+ (l + m )v :+ (l + m )z:-4x-m =0



(1)



Điểm M(3, 0, 0) g (S) o (l+ m ).3 :-4.3-111=0 o m= — .



8



Tha) m= — vào (1) ta được (S): 1lx:+lly:+l lz:-32x-3=0.

8



II.CÁC 3À1 TOÁN CHỌN LỌC

BàiL (EHSP Khỏi B ,D -2000/ HVHCQG - 2ÍXX)): Tintìg klìâig gian với lìệ taạ độ till: điuâỉn

Qxyz đ o lứnh lập phưdlig ABCDAT3CƯ sao đk) A trưiig với gpc o , B(l, 0, Ợ); D(0, 1, Ợ);

A'(0,0,1. Gọi M là trưng điản AB và N là tail 1 của Ilình vuồtìg ADD A',

a

Vtó phudhg trình của irtìt cáu (5) đi lỊua ùk: ctiẩn c, D, Kị N.

b.

Tn\h bán kính đường trà i giao của (S) với Iiìặtcầu đi L|ua a v ctóìì A', B,c, D.

V

c.

T V



I



.



I



ĩ. 1



I-



'



.V



K jfiv n



BÀI C.IẢI



To.ạ Cộ các diêm c, D', M, N là:

:(1, 1, 0); D'(0,1, 1), M( ỉ , 0,0); N(0, i , Ị ).

a. Gnâ tử m.ìt cầu đi qua c ,D',M,N là

S): x:+y2+z2-2ax-2b’V-2cz+d=0 (ilk a-+b'+c2-d>0),

Từ c D 1, M, N e(S), ta cò h ệ phương trình:

2 - 2a - 2b + d = 0

2 -2 b -2 c +d = 0



a = 5 /4



- - a+d =0

4



b = 1/4

c = 5 /4



—- b - c + đ = 0

2



d =1



Vậ'y, S) có dạng: x2+y2+z:- -



X- -



y- - Z^1=0



?55



Phán IV: M at câu



b.

có



MẠt Cầu đi qua A', B, C', D chính là mặt cầu ngoại tiếp hình lạp phương,

dạm*:



(S|): (x- J ):+(y- ỳ ):+(z- J )■= J <=• (S|): x:+y:+z:-x-v-z=0.

Xét hệ phương trình tạo bởi (S) và (Sj):

2

*> 2 5

1

5

X + V + Z - — X - — y — z + 1 =0

7

2

2y 2

co



X2 + y2 +z2- x - y - z = ()



+ y + z - X - y - z =0

3x - y + 3 / - 2 = 0

X



Khi đó,), khoảng cách từ Ij( -ỉ-, —, —) tới

tới (P): 3x-v+3z-2=0/

3x-y+3z-I

đươc cho bởi:

I 3 .1 - 1. - + 3. ì - 2 Ị



d=

=



2

?2

ự32+(-l)2 + 32



1



=T ^ f
2v19



<=> (Sj)n(S)=(C) là đường tròn có bán kính bằng ^Rị - d2 s= /—

V19

Nhận xét rằng: hình chiếu của thiết diện xuống mặt phăng (ABCD) là



c.



/Y*



1 %•



«A i



1



O I • •’ Ì



ìA ế -



.



1



ì A # *%



V/ • 1



/> X ị



t-s K X



/



À



D /



hình thang AMCD có diện tích băng —.

4

Vậy, gọi a là góc tạo bởi (CMN) và (ABCD) thì:

W d =^ _

S



u



_



COS a



4 cos a



Ta có:

■ Phương trình (CMN) cho bởi:

qua €(1,1.0)

(CMN): hai V.CP MỘO / 2.1.0)* « (CMN):

NC(1,1 / 2,-1 / 2)



o (CMN): 2x-y+3z-l=0.

■ Côsin của góc a được cho bởi:

12.0-1.0 + 3.11 _ 3

cosa= ■'....— —•= -7=7 •

V2= + (-l)2 + 32VĨT



•



(2



VĨ4



Thay (2) vào (1) ta được: Shl= - ì - = — .



4\ ầ



4



III.BÀI TẬP DỀ NGHỊ

Bài tâp 1. Cho hai mặt cầu (S|): x2+y:+z2-2x-2y-7=0 và (S-,): x2+y:fz2-2x=0.

a CMR hai mặt cầu (Sị) và (SJ cắt nhau,

b Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (Sj) và (S ) va

Qua điểm M(2, 0,1).

Tiếp xúc với măt phăng (Q): 2x-y-z+2=0.

Bài tâp 2. Cho hai mặt cầu (Sị): x:+y:+z2=9 và (S:): x:+y2+z2-2x-2y-2z-6=0.

a CMR hai mặt cầu (Sj) và (S:) cắt nhau.

b Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (Sj) và (S->) /à qua đièm

M(-2,1, -1).

2



( H U D Í; 12



T IẾ P TUYẾN CỦA MẶT C Ẩ ư,

TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẨU

I.KIÊN THỨC C ơ BẢN

1.1. TIẾP T U Y Ế N C Ủ A M Ặ Ỉ ( ẨU

Cho m ặt cầu (S) có p h ư ơ n g trinh :



x2+v2+z2-2ax-2by-2cx+ii=ơ (tr+b:+
hơcV (x-đ):+ (y-b):+ (z-c):=R:.



tâm I(a, b, c) và bán kính R= yfĩr + b: 4 t': - tl

Đ ịn h n g h ĩa 1 Đ ường th ả n g (d) la tiếp tuyên cua Iììật a iu (S) <=> kc(I, (d))=R.

Trong trư ờ n g h ợ p biết tiếp điếm A, thì điều kiện là tì 1 1A (trong đ ó ẩ là m ộ t

v tc p cùa (đ)).



Ví du 1: Cho mặt cầu (S) có phương trình:

(S): x:+y:+z2-4x-2y-6z+5=0.

Viết phương trình tiếp tuyên của (S) tại điem A((),0,5) và biết lằng tiếp

tuyến:

a. Có vtcp ã (1/2,2).

b. Vuông góc với mặt phăng (P): 3x-2y+2z+3=0.

Giải.

Măt cầu (S) có tâm 1(2,1,3) và bán kính R=3.

Nhận xét rằng A(0,0,5)€(S).

a. Đường thăng (d) có:

( d ) : K A ỉ «
v ; Ịvtcp i(l,2,2)

/ - 5 f 2t

Nhân



xét ràng:

ã . IA 5Kl . ( - 2 ) + 2 . ( - l ) + 2 . 2 = 0 <=>



à1



1A o



(d) là tiếp tuyến của (S).



>



b. Đường thăng (d) có:

íưua A



í (.1ua A((),0,5)



X = M



(d): ;; „ o(d'):

o(d): y = ~2t , (teR).

v ' Ị(d)±(P)

v Ịvtcpă(3,-2,2)

v }

z = 5 + 2t



Nhận xét rằng:

ã . IA =3.(-2)-2.(-l)+2.2=0



o



ã 1 IA



o (d) là tiếp tuyến của (S).



Các Em hoc sinh hảy tham gia học tâp theo phưiín^ Ị.'4'uíp" Lầy hoc trò lảm trunẹ tâm"

Dư^i sưhỏ trơ cua Nhóm Cư Mổn do Ths \Ã' Hõn^ DiH' và Nlhcì £iáo líu tií Dào ThiỌn Khài phu trách.



2^



Phổn IV: MAt câu



Ví du 2: Cho mặt cầu (S) có phương trình:

(S): x:+y +z2-2x-4y+2z-3=0.

Viết phương trình tiếp tuyến của (S) đi qua điểm A(-4,3,0) và có vtcp

ã (4,1,1).

Gnìi.



Mặt cầu (S) có tâm 1(1,2,-1) và bán kính R=3.

Đường thăng (d) có:

'x = -4 + 4t

(d):

«
Ivtcp ã(4,l,l)

2=t

Nhận xét rằng: kc(I, (d))=3=R o (d) là tiếp tuyến của (S).

1.2. TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẨU

Cho mặt cầu (S) có phương trình :

x2+y2+z2-2ax-2by-2cx+đ=0 (a2+b2+c2-đ > 0)

hoặc (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=sR2.

tâm I(a, b, c) và bán kính R= va2 + b2 + c2 - d .

Định nghĩa 2. Măt phăng (P) ià tiếp diện của mặt cầu (S) co kc(I, (P))=R.

Bài toán: LậpphuUTgtrìnhtiếpđiệncủamặtcầutỉioảmànđiềukiệndx>trưúc.

phư ơng ph á p chưng



về phương diện toạ độ, tiếp diện của mặt cầu được xác định bới hai khà

năng:

Khả năng 1: Biết tiếp điểm M(x0/ y(), Zq), khi đó phương trình tiếp diện:

íquaM0(x0/y0,z0)

(P):{

—

[vtpt M0l(x0- a, y0 - b, z0 - c)

o (P): (x-x0)(x0-a)-t“(y-y0)(y0.b)+(z-z0)(z0-c)=0.

Khả năng 2. Biết một vtpt n (A,B,C), khi dó ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: (P) có vtpt n (A,B,C) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.

(1)

Bước 2. Mặt phăng (P) tiếp xúc (S) <=>d(I, (P))=R,

(2)

từ (2) xác định được D. Tliay vào (1) được phương trình (P).

Chú ý. Các trường hợp khác nén tìm cách đưa về một trong các khả năng

trên.

Ví du 3. Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-4y-6z+5=0.

Viết phương trình tiếp diện của (S):

a. Đi qua điểm M(l,l/1).

b. Chứa đường thẳng (đ):j 2x I Q1 = 0 •



258