CHỦ ĐỀ 12: TIẾP TUYẾN CỦA MẶT CẦU, TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẦU

Phổn IV: MAt câu



Ví du 2: Cho mặt cầu (S) có phương trình:

(S): x:+y +z2-2x-4y+2z-3=0.

Viết phương trình tiếp tuyến của (S) đi qua điểm A(-4,3,0) và có vtcp

ã (4,1,1).

Gnìi.



Mặt cầu (S) có tâm 1(1,2,-1) và bán kính R=3.

Đường thăng (d) có:

'x = -4 + 4t

(d):

«
Ivtcp ã(4,l,l)

2=t

Nhận xét rằng: kc(I, (d))=3=R o (d) là tiếp tuyến của (S).

1.2. TIẾP DIỆN CỦA MẶT CẨU

Cho mặt cầu (S) có phương trình :

x2+y2+z2-2ax-2by-2cx+đ=0 (a2+b2+c2-đ > 0)

hoặc (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=sR2.

tâm I(a, b, c) và bán kính R= va2 + b2 + c2 - d .

Định nghĩa 2. Măt phăng (P) ià tiếp diện của mặt cầu (S) co kc(I, (P))=R.

Bài toán: LậpphuUTgtrìnhtiếpđiệncủamặtcầutỉioảmànđiềukiệndx>trưúc.

phư ơng ph á p chưng



về phương diện toạ độ, tiếp diện của mặt cầu được xác định bới hai khà

năng:

Khả năng 1: Biết tiếp điểm M(x0/ y(), Zq), khi đó phương trình tiếp diện:

íquaM0(x0/y0,z0)

(P):{

—

[vtpt M0l(x0- a, y0 - b, z0 - c)

o (P): (x-x0)(x0-a)-t“(y-y0)(y0.b)+(z-z0)(z0-c)=0.

Khả năng 2. Biết một vtpt n (A,B,C), khi dó ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: (P) có vtpt n (A,B,C) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.

(1)

Bước 2. Mặt phăng (P) tiếp xúc (S) <=>d(I, (P))=R,

(2)

từ (2) xác định được D. Tliay vào (1) được phương trình (P).

Chú ý. Các trường hợp khác nén tìm cách đưa về một trong các khả năng

trên.

Ví du 3. Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-4y-6z+5=0.

Viết phương trình tiếp diện của (S):

a. Đi qua điểm M(l,l/1).

b. Chứa đường thẳng (đ):j 2x I Q1 = 0 •



258



( hu lit* i IV I U'P tir.V l I i U.I I



f.



V uôn g g ó c v ớ i đ ư cn g thriiìVỊ (ti):



2



i i<' tiiòn ritvl nult itMl



”= -1=



I



Chì/

McV câu (S) có tá m I(-l 23) Vđ btin kinh R=.*v

a. NI ân x«*t ràn g M ( l,l,l) e (S), vậy J>hIĨCTIìv; tnnỉì tK*Ị' dit n t ủ a (S) tại M có

dạng:

(ỉ*):



U | u a M ( U ,l)



-1

o (P): 2(x-l)-l(y-l)-2(z-l)= 0 o (P): 2x-y-2z+l=0.

Ivtpt Ml(2,-l,-2)



b. Met phiing (P) chứa đươiu; tiling (đ)

đ ịn h bơi trục (đ). Vậy (p) có dan^:



(I5) tluiỏi t h u m m ặ t phcing xác



2\-y-l+m (z-l)=0 o (P): 2x-v+mz-l-m=0.



(1)



Mậ: phang (P) tiêp xúc vòi (S) COk
c>



|2.( - l ) - 2 + m . 3 - l - m Ị



=3 o



m = _2



< ỊĨ + ( - l) : + m :



TlicWin=-2 vào (1), ta được (P): 2x-v-2z+l=0.

c.



G ạ à ỉà vtcp của (d), ta có ã (2,1,-2).



Mạ* phăng (P)l(ci) <=> (P) có vtpt là ã (24,-2), cỏ ciạng: 2\+v-2z+D=0. (2)



Mặt phăng (?) tiếp xúc với (5) <=>kc(I, (P))=R

o



I 2 .( - l) + 2 - 2 .3 + D| _ a

V '= = = = - !- =3 <=>



y Ị ĩT T T ^ ĩỷ



D = -3



D = 15 ■



■ Với D=-3 vào (2), ta được (Pị): 2x+y-2z-3=0.

■ Với D=15 vào (2), ta được (P,): 2x+y-2z+15=0.

Vộ\ tồn tại hai mặt phăng (P.) và (P:) thoá màn điều kiện đáu bài.

II.CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài 1 (DHGT-9K): Viêt phưttTg hình lììẠt phăng tiep xúc nứt cầu (S): v ^ ỵ ^ z 2-2x4y-6z-2=0 và



súngNmgvới mặt phăng(F^:4x-^3v-12z^l^O.

BÀI GIẢI



Chiyẽn phương trìnil (S) vể dang chính tắc, (S) có dạng:

(S): (x-l)2+(y-2)2+(z-3)-Vl6.

vậy, (S có tâm 1(1, 2, 3) và ban kính R=4.

Gọi(Q) mặt phăng tiếp xúc mcỊt cầu (S) và song song với (P), khi đó:

(Q) /(P) mặt phăng (Q) cỏ dang: 4x+3y-12z+đ=0

(1)

(Q)tiếp NÚCvới (S) o. kc(I, (Q))=R <=> ^



.



• Với d|=-26 thay vào (1), ta có (Pj): 4x+3y-12z-26=0.

• Với d:=78 thay vào (1), ta có (P:): 4x+3y-12z+78=0.

V'ậ\ có hai một phăng (Pj), (P.) thoa mãn điểu kiện đầu bài.

259



Phân IV M at cnu



Bài2(Đề 60 Ị HVQY - 95): Lập phưtlTg binh n\ìt Ị.TỈ kii>; tiêp xúc với n\)tcáu (S) v à Si ing scầ Ig



* vớihaiđuờngtiTăng(d^,(đJ,btó

(5): >r*ý^z2-l(K-H2y^3Fiz-113=0/

/J\ x + 5

y -1

z + 13 , /1V X +

= — ——

và (đu: — 3

(dj):

——

= ----V I/

2

_ 3

2



7 _ y + 1 _ / - 8



-2



BÀI GIẢI



Gọi ã |, ã theo thứ tự là vtcp của (dị), (d2), ta có: ã| (2, -3, 2), ã (3, -2, 0).

Gọi I, R theo thứ tự là tâm và bán kính mặt cầu (S), ta cò:

1(5, -1,-13) và R=V3Õ8 .

Gọi (P) là mặt phăng có vtpt n, song song với hai đường tháng (dj), (đ2)

và tiếp xúc với mặt cầu (S). Ta có:

2



2



-3



2



-2 0



o fi (4, 6, 5)

Khi đó phương trình mặt phăng (P) có dạng:

(P): 4x+6y+5z+D=0

Vì (P) tiếp xúc với (S) <=>kc(I, (P))=R

D, = -103

<=> 4.5 +6.(-l) + 5.(-»)+ D |_

D, = 205

V4: +6: +52

■ Với D,=-103, ta có (P,): 4x+6y+5z-103=0.

» Vòi D^=205, ta có (P-.): 4x+6y+5z+205=0.

Vậy có hai mặt phăng (P|), (P->) thoà mãn điều kiện đáu bài.

Bài 3. (E)ề 99/Va - ĐHNT- 99): Lậpphưtttgtrìnhmặtplvỉiigchúađường tivíng(d) 'Và tiêpxúc

với mộtcầu(S)cóphitttigtrìnhđio bởi:

Í 8 x - l l y + 8 z - 30 = 0



(d): r _ y . /=

2



, _ 1C^



xV ^ 2x-fSy+4z-15==0



0



BÀI GIÃI



Chuyên phương trình (S) vê dạng chính tắc, (S) có dạng:

(x+l)2+(y-3)2+(z+2)2=29

vậy, (S) có tâm I(-l, 3, -2) và bán kính R= >/29 .

Gọi (P) là mặt phăng thoả mãn điểu kiện đầu bài.

Vì (P) chứa đường thăng (d) => (P) Ệhuộc chùm

tạo bởi (d), có dạng:

8x-lly+8z-30+m(x-y-2z)=0

» (P): (8+m)x*(ll+m)y+2(4-m)z-30=0

Vì (P) tiếp xúc với (S) <=>kc(I, (P))=R

c=> I (8 + mX- Ị ) -(11



+m



I ” J = V29 « n r+ m -2 = 0 «



7 ( 8 4 m ) 2 + (1 1 4- m ) 2 + 4 ( 4 - m ) 2



■ Với m=l thay vào (1), ta có

(Pj): 9x-12y+6z-30=0 <=> (Pj): 3x-4y+2z-10=0.

■ Với m*-2 thay vào (1), ta có

(P2): 6x-9v+ 12z-30=0 c* (P2): 2x-3y+4z-10=0.

Vậy có hai mặt phăng (Pị), (P-*) thoả mãn điều kiện đầu bài

260



m=1

m = -2



C h



li



2 .



tó



lé p



tu y v n



q u i



m A i Ị «ni



1 Ị r ị 2 ilH - H O jjQ m j i ì A i l



Bài4(l-)F 1MLX -99)1 1k >niạtGìu (C), đuùng ỉvìi^ (đ) Vcìiiứt^ìăíigỢ^cú^uiUìghìiilì:



(( ): x^Y^z~-2x-4v-6z-67=Q;M(ci):

ỉ^

N

ỉ H v_ y +



a

•



' [ ~ ; (Q): 5x+2y+2z-7=0.



3 = 0



d.



ViH ÌUUIg trh ìlì tít ca uíc Iiìột ỊÌ vii ự dìứu (d) và tiì*p xúc với (C).



h



} L.IVvití Ịi ìưUìg tillủ 112ill d lieúVIK1lg ftóc(dj)all (d) fai (Q-



BÀIiỉIẢI

M j 1 ICÌU (S) có tâm 1(1. 2, 3) ' WKin kính R -9 .

C oi (P) la m ặ t p h ă n g thoti nu : Jii't! kiện đ â u bài.

Vì (I*) chứii đ ư ờ n g thã:u; (d) : (í’) th u ộc ch ù m (đ), i-A- 'lam;:

(P) 3x-2y+z-8+m 2\-Y + ^)=u : : (p): (3+2m)x-(2+m)y+z-8+3m=0

Vi (P) ti(‘pI xúc với\(S)/ c=> d(I. (1>))—IVcr> m, := —- ■



V ớ i



I



n i| =



- 37 -f 3 ^ 3

— —



22



.



(P,): (8+6 s

■



-



3 7



- V

3



.



t h a v



I



.



. .



,



( 1) đ ư ợ c



)x+(7-3



.



3



. Veto



22



(1)



)v-22z+287+9 V3 =0.



,



*



V ớ i m 2= ------- — - th a v v à o ế l được:

22



(P2): (8-6 s )x+(7+3 y7 )y-22z+287-9 Vã =0.

V ậy có hai m ặ t p h ă n g (Pi), (p2) thoc m à n điều kiện đ â u bài.

b.



G ọi

là v tp t của (P), ta có 11 (5, 2 2).

G ọ i (R) là m ặ t p h ă n g chứa (d) và vuông góc với (Q)

(R) chứa đ ư ờ n g th ă n g (đ) => (R) thuộc c h ù m tạo bởi (d), có dạng:



(R): (3+2m)x-(2+m)y+z-8+3m=0

khi đỏ (R) cỏ một vtpt m (3+2m, 1).



(2)



2 -1 1 1



( R ) l( Q ) <=> n _L rh o



Thav



111



=-



8



n . m =0 co m=- — .



8



vảo (2), ta được (R): lx+ 3y-8z+103=0.



H ìn h chiếu v u ổ n g góc (tlị) của (d)lèii (P) chính là giao tu y ế n của hai m ặ t

p h ă n g (Q) và (R), có d ạ n g :

J5x + 2y + 2z - 7 = 0

[2x + 3 y - 8 z + 103 = 0'



Bii &(HVQV-97): Cho4 điản A(l, 0,2), B(l, 1J),(C(0,0,1), DỢ, 1,1).

a\ Tỉnhthểtkiì tứđiện ABCD.

b Viêt phttongtrìnỉì đuởngeao DHcủaứdiệnABCD.

c Viá phưttigtiinihmặt [Thăngbêpxúc/ới mặtcầungoai tiêptứđiện tạiđỉnhA.

BÀ1GĨẢI



a. Ta có:

v = 4 I [ A B , A C ]. AD | = -( đ v t) .

6



6



b. T a có:



(DH):|qUaD



|D H 1 ( A B C )



o (DH):|tlia ^



_



Ịvcp DH =[AB,AC]



261



Phtin ỈV M Mjfc ík i



o(DH):



X = 1- t



|q u a D (i,U )



211



[vtcp D H (-1,2,1)



<=> (DH): i y = 1+ 2t, teR

/ = 1+ t



Giả sử mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

(S): x2+y:+z:-2ax-2by-2cz+d=0, điều kiện a2+b:+c2-d>0.

Từ các điều kiện:

• Điểm A€(S) o 2a+4c-d-5.

• Điểm Bg(S) o 2a+2b-d=2.



(1)

(2)



•



Đ ié m C e ( S ) « 2 o d = l.



(3)



•



Điểm Dg(S) co 2a+2b+2c-đ=3.



(4)



Giải hệ bởi (1), (2), (3) và (4), ta được a= - , b = - d = 0 (tmđk).

Vậy phương trinh mặt cầu (S) có ciạng:

(S): x:+y2+z2-x+y-z=0 => tâm I( —,



, - ).



Gọi (P) là mặt phăng qua A tiếp xúc với (S), ta được:

qua A(l,0,2)



(P):



f *T u i 1

v tp t A1( ^ '



2'



* * (P): x+ y + 3 z -7=0

r



III.BÀI TẬP ĐỀ N G H Ị



Bài tâp 1. Cho mặt cẩu (S): x2+y2+z2-2x-2y-4z+3=0. Viết phương trình tiếp

tuyến của (S) tại điểm A(0,0,3) và biết rằng tiếp tuyến đó:

a. Cóvtcp ã(l,-2,l).

b. Vuông góc với mặt phảng (P): x-2y+z-3=0.

Bài tâp 2. Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-2y+2z-l=0. Viết phương trình tiếp

tuyến của (S) đi qua điểm A(1,1,0) và cỏ vtcp ă (4,2,1).

Bài tập 3. Viết phương trình tiếp diện của (S): x2+y2+z2+2x-y-6z+l=0, biết:

a. Đi qua điếm M(-1,0,0).

b. Chứa đường thăng (d): I

c.



X- y - 1 = 0



X+



2z - 1 = 0



Vuông góc với đường thăng (d): —=



Bài tập 4.



•



(ĐHXD - 96): Cho mặt cầu (S) và 2 đường thăng (dj), (cU) có:

(S): x:+y2+z2-2x+2y-9=0,

,.



V



X



y +1



Z -1



» /J\



X+



1



y



z



(d,):

L—

= ----và (đ2):

= i2 = -1 .

1 =■

ì

2

V 2J ——

1

V V —



a



Lập phương trình mãt phăng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với

hai đường thăng (dj), ( Ì ).

b Lập phương trình chính tắc của đường thăng qua tâm của (S) đồng

Ihời cắt hai đường thăng (dj), (d2).

Bài tập 5. (CĐKTĐN - 2000): Cho 4 điểm A(l, 0, 2), B(l, 1, 0), C(0, 0, 1),

D(l, 1, 1).

a

Viết phương trình măt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

b Viết phương trình mặt phăng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

tại đỉnh A.

1 2



262



PHẨN V



CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

GIẢI KẲNG PIIIÍONG PHÁI*

TOẠ » ộ



' r i t o i \ o K IIO ĨM ,; O I A N

CHỦ Đ Ể 1



GIẢI BÀI TOÁN ĐỊNH LƯƠNG



TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I.KIẾNJ THỨC Cơ BẢN

Việc sử dụng phương pháp toụ độ trong không gian giải các bài toán hình

học không gian là ý tưởng hoàn toàn mới mẻ và chưa hề được trình bày một

cách chùtiêt trong các cuốn tài liệu tham khảo hiện nay. Trong phần này

chủng ta I ùng nhau xem xét cách thức sử dụng nó đê giải một vài dạng toán

cơ ben của hình học không gian, tuy nhiên cũng cần phải nhớ rằng không

phải ichi nào nó cũng tỏ ra hiệu quà.

Bải toán 1: sử đụiig phuchg pháp toạ độ trong không gian gkli các bải toán định luợng trong

hình XX khânggiarL

PHƯƠNG P H Á P CHU N G



Ti thực hiện theo các bước sau:

bfớc h Thiết lập hệ true toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các

điểm cần thiết.

Bước 2. Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường

bao gổm:

■ Khoảng cách tử điểm đến đường thăng hoặc mặt phăng.

■ Góc, khoảng cách giữa hai đường thăng chéo nhau.

• Tính độ dài đoạn thăng.

Chú V. Với hình hộp chù nhât ABCDAjBjCjD, ta thường thiết lập hệ trục toạ

độ dưa trên ba cạnh AB, AD và AA| tương ứng với các trục Ox, .Oy và Oz.

Ví di 1: Cho hình lập phương ABCDAịBịCịDị cạnh bằng a.

a Tính góc và khoảing cách giữa hai đường thăng AịB và ACj.

b Gọi K là trung điểm DD|. Tính góc' và khoảng cách giữa 2 đường thăng

c k v à Ạ ,D .



c



Măt phăng (P) qua BBị và hựp với hai đường thăng BCj, BjD hai góc

bằng nhau. Tính các góc này.



Giiải

Ciọn hệ trục toạ độ Axyz với Be Ax, De Ay và AjGAz, khi đó:

A(0, 0* 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0),

A 1 (0 , 0, a), Bx(a, 0, a), Cj(a, a, a), D(0, a, a).

Các En hoc sinh hãv tham gia học tập thw phưctng pháp" Ư v hoc trò làm trune tâm "

Dưcới SI’hổ trự cùa Nhóm Cự Môn do Ths. Lé Hống Đức và Nhà giáo ưu tú Đào Thiện Khải phụ tvách.



263



Phàn V : Ci'u Kjg Unln h ìn h hoc kh ổ n e g ia n g ia i bànt; p h ư ơ n i! p há p toa đò tro n g Khỏng gian



Ta có: A]B (a, 0,



-a) & ACj (a, a, a).



Gọi a là góc tạo bởi AjB và AC„ ta có:

|Ã 7b.Ã cT|



cosa = ■:



=ả==r- =0 o



n

a= —.



|A,B|.|ACj|



2



Gọi dị là khoảng cách giữa AịB và AC|, ta có:

d _ Ị [AjB, AC1].AA1 I _ a

S '



I [A ịB , A C j ] I



Ta có: K(0, a, —), KC (a, 0, - —) & Ã^D (0, a, -a).

Gọi p là góc tạo bởi CK và AjD, ta có:

Iff-Ặập| - » ■

I

KC I. IA3D I V10

Gọi cU là khoảng cách giữa CK và AjD, ta có:

d _ Ị[Kẹj^D]/KD|, a

CQSp =



2



[Kc / a j D]



3 '



Ta có BBj là giao tuyến của hai mặt phăng (ABB,Aj) và (BCCịBị) nên:

0

_ íx - a = 0

y =0



Ị X —a



Mặt phăng (P) qua BBj có dạng:



(P): x-a+my=0 <=> (P): x+my-a=0 => vtpt n .(1, m, 0)

Vì (P) hợp với BC„ B,D (có vtcp là Uj (0,1,1) và u2 (1, -1,1)) hai góc bằng

nhau (già sử là y) nên:

siny= . ì m ^



<=> V3 Im I= -Jĩ 11-m Ị o m2+4m-2=0



V2(m2" 1) ^ m 2+l)

o m=-2± -Jổ .

Với m=-2+ -Jb ta được:

■

n/6 -2

siny= —r — — —....=

V 2 ((> /6 -2 )2 + l]



Vỏ -2

f22-8> /6



_



Vó-2



_ -Jb-2



J (4 -V 6 )2



4 -"7 ?



Vỏ-1

5



Vối m=-2- >/ó ta được:



_ -Ị——^6

siny=

r- =+ 2— II_ =^6. + 2 _ Vố +2 _ì/ô

= ^6++22 __ ^6 +1

5

yj2((-V6-2)2+l] V22+ 8-^6 V(4 + ^ ) 2 4 + ^6

L .1 .1



■■■ ■■■ 2 5



iu .



TS



—



V í dụ 2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA jBjC jD,, đường cao h. Mặt

phăng (AjBD) hợp với măt bên (ABBjAl) một góc a. Tính thể tích và diện tích

xung quanh hỉnh lăng trụ.

G ia i



Giả sử a là cạnh đáy l&ng trụ.

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với BeAx, D e Ay và A ,€ Az, khi đó:

A(Ò, 0,0), B(a, 0,0), C(a, a, 0), D(0, a, 0),

A ,(0,0, h), Bj(a, 0, h), c,(a , a, h), D(0, a, h).



264