Định nghĩa hệ toạ độ cực
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
b
O
Hình 1.2
B
Khố luận tốt nghiệp
ta xác định được một góc định
Với mỗi vectơ đầu a , vectơ cuối
b
( ) với số đo: ( a,b ) =sđ ( OA,OB ) .
hướng, kí hiệu a,b
b, Nhận xét:
- Gọi α là giá trị đầu thu được khi quay a theo góc hình học bé nhất
quanh O tới trùng b thì a,b = α + k 2π , k ∈Z .
và thì giá trị này là âm
- Góc θ là góc định hướng giữa cặp
b
vectơ a
hay dương tuỳ theo khi ta quay a quanh O tới b theo chiều âm hay dương
( )
của mặt phẳng.
Ta thường quy ước:
+, góc θ
nếu a quay quanh O tới b theo chiều ngược chiều kim
>
0
đồng hồ.
+,
đồng hồ.
góc
nếu a quay quanh O tới b theo chiều cùng chiều kim
θ
<
0
(như trong lượng giác)
2.1.3. Hệ toạ độ
cực
- Giả sử mặt phẳng của ta đã được định hướng. Chọn một điểm O cố định
và một trục Ox nào đó với vectơ chỉ phương đơn vị là i . Khi đó, ta có hệ toạ
độ cực Oi , và điểm O được gọi là gốc cực (cực) của hệ toạ độ.
Với mỗi điểm M bất kì trong mặt phẳng, ta đặt:
• Khoảng cách được tính bởi khoảng cách định hướng r đo bởi gốc
cực O tới điểm cuối M gọi là bán kính:
r = OM
Khố luận tốt nghiệp
• Góc θ gọi là góc định hướng giữa cặp và
.
i
vectơ
O
M
Khi đó, cặp số
được gọi là toạ độ cực của điểm M đối với hệ toạ
(r,θ )
độ cực
Oi
đã chọn.
Khoá luận tốt nghiệp
- Toạ độ cực (r,θ ) của mỗi điểm M khác với điểm O không duy nhất.
Nếu (r,
θ )
là một toạ độ cực của điểm M thì (r,θ + 2kπ ) cũng là toạ
, (k ∈ Z)
độ cực của điểm M, hay nói cách khác: Mỗi điểm của mặt phẳng đều có nhiều
tọa độ cực.
- Thuật ngữ “khoảng cách định hướng” là để nói lên rằng ta thường gặp những
tình huống trong đó r là số âm. Trong trường hợp này thường được hiểu:
thay vì di chuyển từ gốc theo hướng đã xác định bằng hướng cuối của
θ , ta chuyển qua gốc O một khoảng theo hướng ngược lại.
(−r)
- Giá trị
r = chính là gốc cực, khơng cần đến giá trị của θ .
0
Chẳng hạn, các cặp (0; 0) ; (0;
của điểm
π
) ; (0; −
6
π
) ;…đều là các toạ độ cực
4
gốc cực O.
2.2. Ví Dụ
π
Ví dụ 1: Cho điểm P có tọa độ cực (2;
) . Vẽ hình minh hoạ và xác định
một
4
vài toạ độ cực khác của điểm P.
Lời giải:
P
2
O
4
x
P
-
Hình 1.3
Khố luận tốt nghiệp
Điểm P trong hình vẽ 1.3 có toạ độ cực là: (2;
Nhưng nó cũng có toạ độ cực là: (2;
4
π
4
π
).
+ 2π ) ; (2;
4
π
− 4π ) ; …
Ngoài ra, một toạ độ cực khác của P trong hình vẽ 1.3 là: (−2; 5π ) .
M (2,
Ví dụ 2: Cho tọa độ cực của hai
điểm
π
π
P(3,
) và
6
4
) . Tìm tọa độ
cực
3
khác của hai điểm này với r có dấu ngược nhau.
Lời giải:
Tọa độ của một điểm trong Hệ tọa độ cực có dấu của r ngược nhau là
những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O
P(3,
π
)
3
M (2,
π
)
6
N (−2,
7π
O
)
6
Q(−3,
4π
)
3
Hình 1.4
Nhìn vào hình 1.4 ta có hai điểm
P(3,
và Q(−3,
π
) 4π
)
3
3
M (2,
π
) và
6
N (−2,
6
7π
),
là những điểm đối xứng nhau qua gốc cực O.
3. Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vng góc
Giả sử có hệ toạ độ cực Oi . Ta chọn vectơ đơn vị j vng góc với
vectơ i sao cho hệ toạ độ
là hệ tọa độ đêcác vng góc thuận.
Oi
j
Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi
(r,θ )
là toạ độ cực của nó, còn (x, y) là toạ
độ đêcác vng góc của điểm M. Khi đó:
OM = (x, y) ;
j
i
=
(0;1)
= (1;0
) ;
và θ là góc định hướng giữa cặp
véctơ: i
và OM .
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
