Phƣơng trình của các đƣờng conic trong hệ tọa độ cực

Thay PF và PD vào (1) ta được :

r = e(r cosθ + p) ⇔



⇔

⇔

⇔



r=



r = er cosθ + ep



r − er cosθ = ep

r(1 − e cosθ ) = ep



ep

1− e

cosθ



Vậy phương trình cực của đường conic cần tìm là: r = ep

1− e

cosθ



(*)



Sau đây, ta xét các ví dụ minh hoạ cụ thể với kết luận trong bài tốn 1

1

=

e

,

Ví dụ 1: Viết phương trình cực của đường conic với tâm sai

3



tiêu điểm tại gốc tọa độ, và đường chuẩn x = -4.

Lời giải :

Áp dụng công thức (*) với: e =

3



1



; p = 4 ta được:



1

.4

4

r= 3

=

.

1

1−

.cosθ 3 − cosθ

3



1

Ta thấy e = < 1 nên đường cong này là elip.

3



Quan sát thấy rằng mẫu số ở đây ln khác khơng, do đó r bị chặn

với mọi θ .

Ví dụ 2: Cho conic có phương

trình:

Lời giải:



25

r=

.

4 − 5cos θ



Tìm tâm

sai, vị trí

đường

chuẩn và

nhận diện

đường

cong.

Ta bắt đầu bằng việc chia tử số và mẫu số cho 4 để đưa phương trình về

25



dạng chính xác (*):



r=



4



5

1−

cosθ

4



.



Suy

ra:



e = và e p = nên p = 5.

5

25

4



4



Đường chuẩn là đường thẳng x = -5, và đường cong là hypebol.

4

cosθ =

Nhận thấy, mẫu số bằng 0 khi

, nên r dần ra vô cùng theo hướng này.

5

Bài tốn 2: Tìm phương trình cực của phần đường cơníc với tâm sai e nếu

tiêu điểm nằm ở gốc toạ độ và đường chuẩn tương ứng x = p nằm ở bên phải

gốc tọa độ.

Lời giải:

Cách làm tương tự như bài toán 1, ta thấy rằng nếu đường chuẩn là đường

thẳng x = p nằm bên phải của gốc tọa độ như hình 2.8, thì:

PF = r

PD = FQ- FR =



p − r cosθ .



D



R



Q



r







Khi đó, phương trình PF=e.PD có dạng:

r = e( p − r cosθ ) ⇔



P



F



r = ep − er cosθ



⇔ep

r=

1+

e

cosθ



p



Hình 2.8



x=



4. Phƣơng trình cực của các đƣờng xoắn ốc

4.1. Đường cong Г với phương trình cực ốc



r = aθ ;

Asimet (Archimede)

a,θ > 0

Các đường xoắn ốc Asimet có thể xác



định như là quỹ tích của điểm P, bắt đầu từ

gốc và đi xa dần với một tốc độ đều theo một

đường kính r, góc θ quay quanh gốc



gọi là đường xoắn



theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, từ vị

trí ban đầu dọc theo trục cực, trong đó cả hai

chuyển

động bắt đầu cùng lúc. (r và θ tỉ lệ thuận với nhau)



Hình 2.9



Trong hình vẽ ta giả thiết rằng: θ bắt đầu từ 0 và tăng dần



(θ



> 0) .



Trường hợp



θ < 0 , khi đó ta có phần khác của đường xoắn ốc

mà ta



khơng vẽ nhằm giữ cho hình vẽ khơng bị rối).

4.2. Đường cong Г với phương trình cực



a

r = ; a,θ

> 0



gọi là đường xoắn



θ



ốc hypebolic



Trong hình xoắn ốc ta xét ở 2.9, r tỉ lệ thuận với θ , r = aθ .

Bây giờ ta xét trường hợp r tỉ lệ nghịch với



θ : hằng số dương.



r = hay rθ

a



θ



trong đó a là



= a



Hình 2.10

Với các giá trị dương của θ , ta có đường cong hình 2.10 .

Đường cong này gọi là đường xoắn ốc hyperbolic do sự giống nhau của

rθ với phương trình biểu diễn hyperbolic trong hệ tọa độ vng góc

= a



xy = a.

Khi θ =0, r không xác định.

Khi θ nhỏ và dương, r lớn và dương (do r và θ tỉ lệ nghịch với

nhau) và khi θ tăng đến vô cùng, r giảm tới 0.

Điều này cho ta thấy một biến đổi của điểm P trên đồ thị của đường



a



là đi từ vô cùng và cuộn quanh gốc theo chiều kim đồng hồ,

xoắn ốc r =



θ



theo một số vơ hạn vòng thắt dần khi θ tăng vô hạn.

4.3. Nhận xét

- Ở 4.1 và 4.2, nếu θ được cho giá trị âm, ta có một phần khác của

đường cong, mà ta khơng vẽ để tránh hình vẽ bị quá rối. Bản chất của

phần đường cong này có thể thấy được một cách dễ dàng bằng cách để

ý rằng: nếu r và θ được thay thế bởi - r và -θ thì phương trình các

đường xoắn ốc ở trên khơng thay đổi. Điều đó có nghĩa là với mọi

điểm (r,θ ) trên đường cong, điểm đối xứng qua trục oy: (-r,-θ ) cũng

nằm trên đường cong. Do đó, phần khác của đường cong là một đường

xoắn ốc thứ hai



quay quanh gốc theo chiều kim đồng hồ khi



θ → ∞.



- Các đường xoắn ốc này khi xem xét trong hệ tọa độ cực sẽ dễ dàng nhiều

hơn trong hệ tọa độ đề các vng góc.

5. Bài tập thêm

Bài 1: Tìm phương trình cực của các đường tròn xác định bởi các điều kiện:

a, Tâm (4,



π



6



) , bán kính 3.



b, Tâm (5;0), bán kính 5.



π



c, Tâm (3, ) , bán kính 3.

2

d, Tâm nằm trên đường thẳng θ =



π

và qua các điểm (6,

3

2



π



); (0, 0) .



Bài 2: Cho một đường conic với tâm sai e, có tiêu điểm tại gốc và đường

chuẩn tương ứng y = -p dưới gốc. Chứng minh rằng phương trình cực của nó

là r

=



ep

1− e

sin θ



. Phương trình cực của nó là gì nếu đường chuẩn là đường



thẳng y = p nằm ở trên gốc tọa độ.



Bài 3: Tìm tâm sai, vị trí đường chuẩn và nhận diện các đường cong được cho

dưới đây:



a, r

=



b, r

=



6



4

r=

2 + 4cosθ



.



1−

c,

cosθ



18

r =6 + cosθ



10

.

2−

cosθ



d,



Bài 4: Một tam giác ABC, có hai điểm A, B cố định và góc A ln gấp đơi

góc B. Hãy tìm quỹ tích điểm C (dùng hệ tọa độ cực, trong đó điểm A là cực

và trục cực là AB).

Bài 5: Cho parabol có điểm tiêu F, một dây cung AB thay đổi luôn đi qua

F và FA ≥ FB . Trên tia FA lấy điểm C sao cho FC = FA - FB.

Tìm quỹ tích điểm C.

Bài 6: Một dây cung bất kì AB đi qua điểm tiêu F của một đường bậc hai.

1

1

+

Chứng minh rằng:

không phụ thuộc vào dây cung AB.

FA

FB

Bài 7: Kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp chia ba một góc AOB bằng

sử dụng đường xoắn ốc của Acsimet: r

= aθ



(hình 2.9) với 3 bước:



Bước 1, Cho OB giao với đường xoắn ốc tại P, và dựng điểm Q chia ba

đoạn OP, khi đó: OQ =



1

3



OP.



Bước 2, Dựng đường tròn tâm O và bán kính OQ. Cho đường tròn này

giao với đường xoắn ốc tại R.

Bước 3, Vẽ OR và ta thu được:



1



A OR =



A OB .

3



6. Hƣớng dẫn giải bài tập thêm

Bài 1:

a, Tâm (4,



π



6



) , bán kính 3 ⇒ b = 4,α =

6



π



,a= 3.



Áp dụng kết quả của phần 2, bài tốn 2, đường tròn khơng qua gốc:

π

2

2

2

2

3 = r + 4 - 2.4rcos(θ −

) ⇔ r = 8r

cos(θ −



π



)− 7.

6



6



b, r = 10.cosθ

c, r = 6sin θ .

d, r = 4 3 cos(θ −



π



)



3



Bài 2: Làm tương tự như bài toán 1, phần 3:

Giả sử P là một điểm bất kì trên đường conic có tọa độ cực là: (r,θ )

Và ta có các kí hiệu như hình vẽ 2.11 ( tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai ).

PF

=e

PD



hay PF=e.PD.



(1)



P



R



F





PF = r và PD=RQ =RF+FQ = r cos P FD

+p

⇔



π



A



π −θ



Dựa vào hình vẽ ta có:



p



D



PD = r



cos( − (π −θ )) + p = r

sinθ + p

2



Thay PF và PD vào (1) ta được: r =



x



y=Q



Hình 2.11



ep



.



1− e sinθ



*) Tương tự, ta có: phương trình của đường conic tâm sai e, tiêu điểm tại gốc

và đường chuẩn là đường thẳng y = p nằm trên gốc tọa độ là:



ep

r =1+ e sinθ



Bài 3:

6



a, r =



=> e=1, p= 6 => đường cong là parabol và đường chuẩn x=-6.



1− cosθ

1

b, e = , p = 10 . Đường cong là elip có đường chuẩn là đường thẳng



x = -10.

2



c, e =2, p= 1. Đường cong là hypebol có đường chuẩn là đường thẳng x = 1.

1



d, e =



; p = 18 . Đường cong là elip và đường chuẩn là đường thẳng



x= 18.



6



Bài 4:

Chon hệ trục tọa độ sao cho, trong đó A là cực,

trục cực là AB, với AB cố định.

Giả sử:



C



 AB = d



AC = r





θ

C AB = θ ⇒ CBA =

2





ACB



3θ

2π

⇒

= π −

(θ ∈(−

, 0)

2π

∪ (0,

))



2

3

3



θ

2



A



Áp dụng định lý hàm số sin trong ∆ABC ta có:

AC



θ

sin

−



θ



AB



sin 2



=



3θ

2



2



Vậy r =



)

4sin2



d

1+ 2 cos.θ



2



B x



H’



Hình 2.12

d



.

θ

AB

3−



sin



H



1



⇔

.A

3θ

AC =

B

=



sin(π



M



2



⇒

r=

3 −2

4sin



d



θ= +



θ



1 2 cos

2