Đổi biến trong tích phân kép
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
cận r, θ với D là
miền
2
2
x + y ≤ 2x
Lời giải:
D là miền phía trong của đường tròn x 2 + y 2 = 2x ⇔ (x
2
2
−1) + y = 1
Cách 1: Dùng tọa độ cực thơng thường:
Chuyển phương trình đường tròn sang hệ tọa độ cực
thì r2 = 2r cosθ ⇒ r = 2 cosθ
Vậy cận của r là r1=0 và r2= 2 cosθ .
Miền D ứng với θ biến
thiên từ
−
O
π
1
O’(1;
x
→
π .
2
2
π
Vậy:
2cos
θ
2
I=
dθ
∫ ∫
f (rcosθ , r sinθ
).rdr
Hình
0
π
−2
Cách 2: Dùng hệ tọa độ cực suy rộng:
x = 1+ r
cosθ ,
2
(x −1)
2
+ y = 1
y= r
sinθ
với gốc cực là: O’(1;0). Khi đó, đường tròn
trở thành r 2
nên cận của r là từ 0 đến 1, do gốc
hay r
= 1 = 1
cực là: O’(1,0) nên miền D ứng với θ biến thiên từ 0 → 2π . Do
đó:
2π
I=
0
1
∫ dθ ∫ f (1+ rcosθ , r sinθ ).rdr .
0
Ví dụ 2:
Tính
I=
∫∫ (12 −
3x
lấy theo miền D được xác định bởi
2
− 4 y)dxdy
D
2
2
x + 4y ≤ 4
Lời giải: D là miền
elip
x2
4
2
+ y ≤ 1
- Số hạng 4y lẻ đối với y và miền D đối xứng theo biến y nên tích phân số
hạng này bằng khơng.
- Số hạng 12 − 3x 2
ta có: I =
∫∫ (12 −
chẵn với x và miền D cũng đối xứng theo biến x nên
3x2 )dxdy với D+ là nửa bên phải của elip x ≥ 0 )
(ứng với
D+
Dùng hệ tọa độ cực suy rộng x = 2r cosθ , y = r sinθ , phương
trình elip
2
trở thành r =1 =>r=1, cận của θ ứng với miền − π → π ,
+
D từ
Jacobi là 2r.
2
2
π
π
1
2
1
2
I = ∫ dθ ∫ (12 − 3.4r cos θ ).2rdr = 48
2
2
∫ dθ ∫ (1− r cos θ ).rdr
2
π
π
0
−
2
−
2
π
2
= 48 ∫ (
π
−
2
2
π
r2 1 −r 2 cos2
1
2 0
0
θ
4
0
)
d
θ
= 18π
2
1
= 48 1 −
∫( 2 4
π
cos2θ )dθ
−
2
2. Độ dài cung trong hệ tọa độ cực
2.1. Định lý
Như ta đã biết, trong hệ toạ độ vng góc độ dài của một cung là:
y = y ( x), a
≤x≤ b
bằng L
1+ y '(x)dx . Nếu đường cong cho dưới dạng
= ∫ tham
số bởi các phương trình: x = x(t), y = y(t), (t0 ≤ t ≤ t1 x(t), y(t)
∈ C
) . Ở đây
t1
thì độ dài một cung của đường cong L bằng: L =
'2
(1)
[t0 , t1 ]
'2
x (t) + y (t).dt
∫
t0
Bây giờ từ định nghĩa và cơng thức tính độ dài của cung với biểu diễn
tham số, ta dễ dàng tính được độ dài của cung với phương trình cho trong hệ
toạ độ cực.
Định lý : Giả sử Γ là một cung với phương
trình cực
r = r(θ ) , trong
đó r
là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α , β ] . Khi đó độ dài
cung của
đoạn đường cong tương ứng sẽ bằng :
r 2 (θ ) + r '2
L = (θ ).dθ
β
(*)
∫
α
Chứng m inh: Như ta đã
biết,
x = r(θ ).cosθ , y =
r(θ ).sinθ
theo θ theo quy tắc đạo hàm của tích ta được:
x '(θ ) = −r(θ ).sin θ + r '(θ ).cosθ
y '(θ )
= r(θ ).cosθ + r
'(θ ).sin θ
, θ ∈[ α , β ]
lấy đạo hàm
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
