Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Đềcác vuông góc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
Oi
j
Đối với mỗi điểm M bất kì, ta gọi
(r,θ )
là toạ độ cực của nó, còn (x, y) là toạ
độ đêcác vng góc của điểm M. Khi đó:
OM = (x, y) ;
j
i
=
(0;1)
= (1;0
) ;
và θ là góc định hướng giữa cặp
véctơ: i
và OM .
M
y
r
j
i
O
x
Hình 1.5
Ta có: r2 = x2 + y 2 .
1, Nếu M = O thì r và θ là một số thực bất kì.
2, Nếu M ≠ thì r
O
=
- Nếu r
=
x2 y 2 hoặc r = x2 + y 2
−
x2 y 2 thì θ được xác định bởi công thức:
cosθ =
x
x2 y 2 ;
y
x2 y 2
sin θ =
- Nếu r = x 2 + thì θ được xác định bởi cơng thức:
−
y
2
cosθ
=−
Vậy:
+) r,θ đã biết
thì:
x
;
x2
2
+ y
x = r
cosθ
y= r
sin θ
r 2 =
x2
2
+ y
sinθ
=−
y
x2 + y 2
cho ta cách tìm x, y.
+) x, y đã biết thì:
y
tanθ
=
x
cho phép ta có thể tìm được r,θ .
Chú ý:
- Khi sử dụng các phương trình này, ta cần phải cẩn thận xác định chính xác
dấu của r và chọn θ thích hợp với góc phần tư mà (x, y) nằm trong đó.
r,θ theo cơng thức:
- Đơi khi ta đổi biến x,y sang hai biến mới
x = x0 + r cosθ
(tọa độ cực tịnh tiến).
y
=
y
0
+ r sinθ
(tọa độ cực co dãn).
Hay cũng có thể là: x = ar
cos θ
y = br
sin θ
(gọi chung là tọa độ cực suy rộng).
Ví dụ 1: Tọa độ vng góc của điểm M là (−1; 3) . Hãy tìm tọa độ cực
của điểm M.
Lời giải:
Từ giả thiết M (-1;
3 ) suy ra x = -1; y = 3
nên
và tan θ y
=
x
r = 12
± +
2
3 =
±2
=3 = − 3.
−1
Vì điểm này nằm trong góc phần tư thứ hai, nên sử dụng kiến thức về
2π
hình học ta có: r =2 và θ =
. Do đó, tọa độ cực của điểm M này là
2π
(2;
).
3
3
M (−1, 3)
3
2π
13
O
− 3
M (1, − 3)
Hình 1.6
Một tọa độ cực khác của điểm M cũng thỏa mãn là: (-2;
−
π
)
3
Ví dụ 2: Tìm tọa độ đề các vng góc của các điểm cho bởi các toạ độ cực
sau:
π
π
a, (2; )
4
c, (0; )
2
π
d, (0; −π )
b, (2; − )
2
Lời giải :
a, Giả sử: điểm M có tọa độ cực (2;
π
4
) => r= 2; θ =
4
π
suy ra tọa độ đề các vng góc (x,y) của điểm M là:
x = r
cosθ
x 2=
2 cos ⇔
π
=
2
4
⇔
y
= r
sin θ
x
y= 2
π
sin
M ( 2; 2)
y
=
4
Vậy điểm M ( 2; 2)
Làm tương tự, ta có kết quả:
b, M(0,-2).
y
2
x
O
Hình 1.7
c, Tia oy.
d, Tia đối tia ox.
Ví dụ 3: Cho a là một số dương và giả sử có các điểm F=(a,0) và F’=(-a,0).
2
Tập hợp tất cả các điểm P sao cho tích khoảng cách PF và PF’ bằng a : được
gọi là đường lemniscate.
a, Hãy tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ tọa độ
Đềcác vng góc.
b, Tìm phương trình của đường cong lemniscate trong hệ toạ độ cực.
Lời giải:
P(r,) =(x,y
d2
d1
r
O
F’(-
F(a,0)
Hình 1.8
a,
a>0, F(a,0), F’(-a,0)
Giả sử P(x,y) là tọa độ vng góc của điểm P nằm trên đường cong
lemniscate. Ta đặt d1= PF, d2= PF’
Theo dữ kiện đầu bài: d = a2 ⇔
d
1 2
Mặt khác, d1 2 = (x
2
= a
4
2
và d 2 = (x + a)2 + y2
2
− a) + y
2
1
2
d d
2
2
2
2
2
2
⇒ d1 d2 = (x + y
(x
− a)
+ a)
2
2
+ y
2
2
2
2
2
4
4
⇔
(x − a) (x + a) + (x − a) y + (x + a) y + y = a
⇔
4
= a
x − 2a x + a + y (x − 2x + a + x + 2ax + a ) + y
⇔
x + 2x y + y − 2a x − 2a y = 0
4
2
2
4
4
2
2
4
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⇔ (x + y ) = 2a (x − y ) : Đây phương trình đường
lemniscate trong hệ tọa độ vng góc.
b, Chuyển phương trình (x2 + y2 )2 = 2a2 sang dạng cực, ta có:
2
2
(x − y )
(r 2 )2 = 2a2 (r2cos2θ − r2sin2θ ) ⇔
⇔
độ cực.
r 4 = 2a2r2cos2θ
r = 2a cos2θ : Đây là phương trình lemniscate trong hệ tọa
2
2
4
4. Bài tập thêm
Bài 1: Một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính r =1 có một
đỉnh nằm trên trục dương x. Tìm tọa độ cực tất cả các đỉnh của ngũ giác đó.
Bài 2: Cho đường cong r = 4sin θ . Hãy chuyển phương trình này
sang
phương trình tương đương trong hệ tọa vng góc, và chứng minh nó là
phương trình đường tròn.
Bài 3: Biến đổi các phương trình vng góc đã cho sau đây thành phương
trình cực tương đương:
a, x = 5
y= x
d,
2
2 2 + x
y = x (
)
2− x
b, y = -3
2
c, x + y
= 9
2
e,
2
f, y2 = x(x2 − y2 )
Bài 4: Biến đổi các phương trình cực đã cho sau đây thành các phương trình
vng góc tương đương:
2
2
e, r = 2a cos 2θ : ptr
a, r = 2
lemniscate
b, θ
=
π
f, r = a sin 2θ : ptr cánh hoa
hồng
4
c, rcosθ = 3
g,
r = tanθ
d, r=a(1+2cosθ ): ptr limacon
h,
r = cos4θ
Bài 5: Sử dụng cơng thức y = r
sinθ
2
để tìm giá trị lớn nhất của y trên:
a, Đường hình tim cardioid: r = 2(1+ cosθ )
b, Đường lemniscate: r2 = 8 cos 2θ
Bài 6: Sử dụng công thức x =
rcosθ
để tìm tọa độ cực của các điểm trên
đường hình tim cardioid:
r = 2(1+ cosθ ) có tọa độ x nhỏ nhất. Tọa độ
của x là bao nhiêu?
nhỏ nhất
5. Hƣớng dẫn giải bài tập thêm
B
Bài 1:
C
Giả sử ta có ngũ giác đều
O
ABCDE nội tiếp trong đường tròn (0;1)
A thuộc truc dương ox, (như hình vẽ 1.9),
A
Khi đó:
D
OA=OB= OC= OD= OE= r= 1,
E
AOB = BOC = COD = DOE = EOA = 2π
Hình 1.9
5
2π
4π
6π
8π
Như vậy, A(1;0), B(1;
), C(1;
5
), D(1;
5
), E(1;
5
).
5
Bài 2: r = 4sinθ .
x = r
cosθ
Đổi sang hệ tọa độ đề các vng góc :
y
= r
sin θ
x = 4 sin θ cosθ
⇔
y = 4 sin θ sin θ
⇒ x + y = 4 sin θ (cos θ + sin θ ) ⇔ x
2
+ y = 4.4sinθ sinθ
2
⇔
2
2
2
2
2
2
x + y = 4y⇔
2
2
x + ( y − 2) = 0
Đây là phương trình của đường tròn (0;2), bán kính r = 2.
Bài 3:
a, r cosθ = 5 ⇒ r = 5secθ
b, r sinθ = −3 ⇒ r = −3cscθ
c, r = 3.
d, r = sinθ (1+ tan2 θ )
sin θ
2
e, r
=
cosθ cos2θ
f, r =
2
2
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
