Độ dài cung trong hệ tọa độ cực
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
đoạn đường cong tương ứng sẽ bằng :
r 2 (θ ) + r '2
L = (θ ).dθ
β
(*)
∫
α
Chứng m inh: Như ta đã
biết,
x = r(θ ).cosθ , y =
r(θ ).sinθ
theo θ theo quy tắc đạo hàm của tích ta được:
x '(θ ) = −r(θ ).sin θ + r '(θ ).cosθ
y '(θ )
= r(θ ).cosθ + r
'(θ ).sin θ
, θ ∈[ α , β ]
lấy đạo hàm
[−r(θ ).sinθ +
'(θ ).sinθ ]2
⇒ x '(θ ) + y ' (θ ) =
2
+ [ r(θ ).cosθ + r
r '(θ ).cosθ ]2
= r (θ ).sin θ + r ' (θ ).cos θ − 2r(θ ).r
'(θ ).sinθ.cosθ
2
2
2
2
+ r (θ ).cos θ + r ' (θ ).sin θ + 2r(θ ).r
'(θ ).sinθ.cosθ
2
2
2
= r 2 (θ ) + r '2 (θ )
2
,
θ ∈[ α , β ]
Vì x '(θ ) y
đều liên tục trên [α , β ] nên độ dài của Γ là:
và
'(θ
)
β
L=
∫
α
x ' (θ ) + y '
(θ ).dθ .
2
x '(θ ) + y '2 (θ ) = r 2
(θ ) + r '2 (θ )
2
với mọi
Mà:
Từ đó suy ra cơng thức:
β
L=
θ ∈[ α ,
β ]
r 2 (θ ) + r '2 (θ ).dθ
∫
2.2. Áp dụng
α
Ví dụ 1: Tính độ dài cung tròn Γ có phương trình cực là:
r(θ ) = R, θ ∈[θ1,θ2 ] ⊂
[0,π ] , trong đó R là một
số dương.
Lời giải:
Áp dụng cơng thức (*) ta có độ dài cung Γ là:
θ2
L=
∫
θ1
R + 0
.dθ
2
2
= R(θ1 − θ2 )
V í d ụ 2: Tính độ dài cung Γ của đường xoắn ốc
Acsimet:
Lời giải:
Áp dụng cơng
thức (*) ta có độ
dài cung Γ là:
r(θ ) = aθ , θ ∈[0, 2π
2π
]
a
a θ + a .dθ =
θ θ 2 +1 + ln θ +
2
0
a
2
2
= . 2π . 4π +1 4π +1
L=
∫
2
2
2
(
(
+ ln 2π +
2
)
)
2π
θ +1
2
0
Ví dụ 3: Tính tổng chiều dài của đường
cardioid:
Lời giải:
r = a(1− cosθ )
θ = a.sinθ ;
Từ phương trình cực của đường cong, ta có: r '( )
r(θ ) , r
'(θ )
là tuần hoàn chu kỳ 2π .
Đường cong này khá là quen thuộc với chúng ta
r (θ ) + r ' (θ ) =
2
2
[ a(1 − cosθ )]2 +
(a sin θ )
= a (1− cosθ ) + a sin θ
2
2
2
2
= 2a (1− cosθ ) = 2a .2sin
2
2
2
=
⇒
r 2 r '2
2a.
sin
Ta có sin
≥ 0
θ
2
2
θ
2
2
= 4a .sin
2
θ
θ
2
với 0 ≤ θ ≤ 2π , vì vậy ta hồn
tồn
Hình 4.2.1
2
có thể viết:
2π
2π
L=
∫
2 dθ =
−4a.cos
r (θ ) + r '
(θ ).dθ = ∫ 2a.sin
2
2
0
2
θ
θπ
2
0
= 4a
−(−4a)
⇒
L = 8a
0
Hoặc cách khác: do đường cong này là đường cong kín, đối xứng qua
trục nằm ngang nên ta cũng có thể có được tổng chiều dài của đường cong
bằng cách lấy tích phân từ 0 đến π rồi nhân với 2:
π
θπ
θ
= 0
L = 2∫ 2a.sin dθ =
−8a.cos 2 2 0 −(−8a)
0
⇒
L = 8a
Chú ý: Ngồi ra, cơng thức (*) trong hệ toạ độ cực cũng có thể được dùng để
tính diện tích của các mặt tròn xoay.
Ta có: diện tích của mặt được tạo nên khi quay đường cong trơn AB
B
t1
quanh trục Ox là: P = 2π y.dl = 2π
∫
phân cung.
A
∫y
x ' (t) + y ' (t).dt . Ở đây dl là vi
2
2
t0
(Một phần tử của độ dài cung dl sinh ra 1 phần tử của diện tích mặt: )
L=
∫ dl;
dP
= 2π
y.dl
Mà y = r
sinθ
β
nên có :
r 2 (θ ) + r '2 (θ ).dθ
P
= 2π
∫
r.sin θ.
α
Ta làm Ví dụ áp dụng sau đây:
Ví dụ 4: Tính diện tích xung quanh của đường cong cardioid (đường hình
tim): r = a(1− cosθ ) quanh trục cực.
Lời giải: Ta có:
Một phần tử của độ dài cung dl sinh ra 1 phần tử của diện tích mặt :
dP = 2π y.dl
Trongđó: y =
r (θ ) + r ' (θ ).dθ
2
dl
=
r.sinθ ,
2
⇒ a(1− cosθ )
[
]2
dl =
2
+ (a.sinθ ) .dθ =
⇒
dP
= 2π .a
1− cosθ .
sin θ
2a 1− cosθ .dθ
1− cosθ .dθ = 2
2
2π a sinθ
2.
a
(1− cosθ ) .
dθ
3
Diện tích của mặt tròn xoay bằng 2 lần diện tích của nửa trên sinh
bởi dl chuyển động dọc theo phần của đường cardioid trong góc phần tư
thứ nhất và thứ hai tức là khi θ tăng từ 0 đến π .
π
⇒ P = 2∫ 2
2π a .sin θ
2
(1 − cosθ
3
) .dθ
0
= 4 2π a
− cosθ )
0
5
π
=
2
= 4 2π a
cosθ )
π
2
(1 −
5
2
5
0
3. Diện tích trong hệ tọa độ cực
3.1. Khái niệm hình quạt
16 2
2
π a
3
2
∫ (1 −
2
cosθ ) d (1
Γ
D
Hình 4.3.1
Giả sử Γ là một cung mà phương trình cực là r = r(θ ),
θ ∈[ α , β ] ,
trong
đó r(θ )
≥ 0
với mọi θ ∈[ α, β
]
⊂
[0, 2π ] .
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
