Dựng đƣờng cong cho bởi phƣơng trình cực
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
. Nguyên
nhân là vì (0;0) cũng là một cặp tọa độ của điểm
π
(0,
2
và 0 = sin 0 .
)
2
- Nếu hàm f(θ ) là một hàm đơn giản vừa phải, đồ thị của nó khá dễ
vẽ. Ta chỉ cần chọn một dãy thuận tiện các giá trị của θ , mỗi giá trị xác định
một hướng từ gốc, và tính tốn giá trị tương ứng của r.
Sau đây ta xét những ví dụ đơn giản nhất:
Ví dụ 2: Phương trình cực θ = α , trong đó
α là hằng số, có đồ
thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ và tạo với trục dương ox một
góc α . Hình 3.1.1
O
Hình 3.1.1
Ví dụ 3: Phương trình r = a trong đó a là một hằng số dương, có đồ thị là một
đường tròn tâm tại gốc, và bán kính bằng a. Hình 3.1.2
r=
a
Hình 3.1.2
Tiếp theo ta xét một ví dụ phức tạp hơn:
r = 2 cosθ .
Ví dụ 4: Vẽ và nhận diện đồ thị của phương trình
cực:
Lời giải:
Theo bài tốn 1, mục 2, § 2, ta biết đồ thị của phương trình cực
r= 2
cosθ
là một đường tròn nhưng vẫn chưa thấy rõ ràng.
Một cách để thử hình dung đồ thị cực chưa biết là tính một bảng giá
trị chọn lọc của θ và vẽ các điểm tương ứng. Hình 3.1.3:
Bảng giá trị:
θ 0
r 2
π
π
π
π
6
4
3
2
1
0
3
2
2π
3
−1
3
5
π
π
π
4
−2
6
−3
-2
3
2
3
3
4
4
6
5
6
r= 2
1
O
2
Hình 3.1.3
- Một phương pháp tốt hơn việc tính giá trị và vẽ các điểm để vẽ
đồ thị là kết hợp tính giá trị (r,θ ) và phân tích tực tiếp như sau:
Khi θ = 0, r = 2cosθ = 2.
Khi θ tăng trong góc phần tư thứ nhất, từ 0
đến
π
thì 2cosθ giảm từ
2
2
đến 0 và ta có phần trên của đường cong được chỉ ra ở hình 3.1.3
π
đến π , thì 2cosθ giảm từ 0 đến -2
Khi θ nhận các giá trị
2
từ
và khi đó ta có phần thấp hơn của đường cong trong hình vẽ
3.1.3. (chú ý: điểm có tọa độ cực (-2,π ) trùng với điểm có tọa
độ cực (2,2 π ))
- Rõ ràng kết quả đồ thị là một loại đường ovan, có thể là một đường
tròn. Để kiểm tra rằng, đó đúng là đường tròn, ta tìm phương trình của đường
cong trong hệ toạ độ Đềcác vng góc.
Ta đã biết: r 2 = x2
+ y
2
với x = r
cosθ
và y = r sinθ
Nhân phương trình đã cho r = 2cosθ với r và sử dụng công thức này ta
được:
2
r = 2r
cosθ
2
2
⇔ x + y = 2x ⇔
2
2
−1) + y = 1
(x
Phương trình cuối cùng cho chúng ta phương trình của một đường tròn
với tâm (1,0) và bán kính bằng 1.
1.2. Nhận xét
- Vẽ một đồ thị cực bằng cách kiểm tra trực tiếp phương trình cực
r = f(θ ) rất quan trọng. Ngắn gọn các bước nghĩa là: Ta hình dung rằng
một bán kính quay quanh gốc theo chiều ngược chiều kim đồng hồ tạo với
trục cực một góc θ , và đường cong của ta được vẽ bởi tập hợp các điểm
tương ứng với góc θ dán lên bán kính quay này và có thể tự do di chuyển
về phía gốc hay ra xa gốc phù hợp với dạng điệu của hàm f(θ ).
Hàm f(θ ) biến đổi khi bán kính quay hết một vòng, tức là khi
θ tăng từ
π
π
3π
3π
, sau đó tăng
0 đến
đến π , π đến , và từ
đến 2π .
từ
2
2
2
2
- Ta nhấn mạnh sự cần thiết phải vẽ đồ thị của một phương trình cực để
có cái nhìn rõ ràng và chính xác hơn về đường cong đó.
Đối với hệ tọa độ đề các vng góc và phương trình y = f(x), ta đã quen
với quan điểm rằng điểm x chuyển động nằm ngang theo trục ox và y chuyển
động dọc theo trục thẳng đứng, hay y là khoảng cách định hướng đo xuống
hay lên tới điểm (x,y) trong mặt phẳng. Nói một cách đơn giản và dễ hiểu,
trong suy nghĩ của chúng ta là “trái - phải” và “ xuống - lên”.
Tuy nhiên, đối với hệ tọa độ cực và r = f
(θ )
ta phải nghĩ rằng góc θ
quay quanh trục như là một chiếc kim đồng hồ quay ngược chiều. Với mỗi
θ
ta đo độ rời khỏi tâm bằng độ dài định hướng f (θ ) , và các điểm di chuyển
ra
xa hơn hay gần hơn tùy theo
f (θ )
là lớn hơn hay nhỏ hơn. Trong
suy nghĩ của
chúng ta là “quay và quay”, “vào và ra”.
Ví dụ 1: Vẽ đường ốcsên Patxcan Г có phương trình cực:
r = a cosθ + b, a > 0, b > 0 .
Lời giải:
M
là điểm có tọa độ cực (a
Gọi (θ ) cosθ + b,θ )
thuộc đường cong Г.
Vì M (θ + 2π ) = M (θ ) nên chỉ cần cho
θ biến thiên từ −π
đến π ta
được
toàn bộ đường cong Г .
Vì r(−θ )
= r(θ )
nên hai điểm M (−θ M đối xứng nhau qua trục ox.
(θ )
) và
Do đó, ta chỉ cần dựng một nửa đường cong Г ứng với khoảng biến thiên
[0;π ]của θ . Sau đó, lấy đối xứng cung nhận được qua trục ox.
Ta có: r(θ ) = a
cosθ + b
nên r′(θ ) = −a
sinθ ≤ 0
trên đoạn [0;π ] , a>0,
b>0
nên r( giảm dần trên đoạn [0;π ] .
θ)
Bảng biến thiên:
θ
r
0
a+b
π
2
π
b
b-a
Ta có: a>0, b>0 nên a+b>0; b-a có thể nhận các giá trị âm, dương hoặc bằng
khơng nên ta có đường ốc sên sẽ có những hình dạng sau:
TH1: b
π
θ
0
r
a+b
π
2
b
0
b-a<0
Hình 3.1.4
TH2: b= a
θ 0
r
π
π
2
a+b
b
0
TH3: a
Hình 3.1.6
Hình 3.1.5
TH4: b ≥ 2a
Hình 3.1.7
2. Tiếp tuyến của đƣờng cong cho bởi phƣơng trình cực
- Cho đường cong Γ có phương trình y = f(x) đối với hệ tọa độ đề các
vng góc, M(x,y) là một điểm bất kì thuộc Γ. Gọi M(θ ) là điểm với cặp tọa
O
độ cực (r, θ ) tương ứng trong hệ tọa độ cực
. Đường thẳng đi qua M và
tiếp xúc với đường cong Г tại M được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại M.
- Khi làm việc với hệ tọa độ đề các vng góc, ta xác định hướng của
một đường cong y = f(x) tại một điểm M bởi một góc α từ hướng dương trục
x tới đường tiếp tuyến MT. Tuy nhiên, trong trường hợp đường cong cực
r = f(θ ), có thể làm việc dễ dàng hơn với góc ψ từ vectơ bán
kính Ou
đường thẳng tiếp tuyến MT, như ta thấy trong hình vẽ 3.2.1
tới
T
Г
u
ψ
M (θ
α
θ
O
)
x
Hình 3.2.1
Từ hình vẽ ta thấy: α = θ +ψ .
Vì vậy
ψ
=
α
−θ
và từ tanα
=
và
dy
tanθ =
dx
y
x
Sử dụng cơng thức hiệu cho góc ở tiếp tuyến, ta có:
dy
tanψ
Vậy
tanψ
−
y
tan dx
xdy − ydx
= tan(α − θ ) =
=
α − tan θ
=
x
1+ tan α tanθ
dy y xdx +
1+
.
ydy dx x
xdy − .
=
ydx xdx
+ ydy
(1)
Lý do tại sao ψ là một góc rất thuận tiện dụng trong hệ tọa độ
cực ở chỗ (1) có thể được dùng ở dạng rất đơn giản. Đó là, dựa vào công
thức biểu thị mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ vng góc.
2
2
2
Đầu tiên, từ x + y = r cho ta xdx+ ydy = rdr
(*)
Tiếp theo, từ x = rcosθ và y = rsinθ , lấy đạo hàm theo θ theo quy tắc
đạo
hàm của tích ta được:
dx
=dr−r sinθ +
cosθ
dθ
dθ
= rcosθ + sinθ
và dy
dθ
d
dr
θ
hay tương đương, theo kí hiệu các vi phân:
dx = −r
sinθ dθ +
cosθ dθ
và dy
= rcosθ dθ +
sinθ dr
(2)
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
