§2. Phƣơng trình cực của một đƣờng cong
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
Hình 2.1
- Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ta có:
Trong ΔOPF1 : d 2 = r 2 + a2 − 2ar cosθ .
(1)
Trong ΔOPF2 : d 2 = r 2 + a2 − 2ar
(2)
1
cos(
π −θ )
2
Từ cos(π −θ )= - cosθ
ta có thể viết phương trình (2) dưới dạng:
d2 = r + a
(3)
+
cos
θ 2ar
2
2
2
Nhân vế với vế lại với nhau ta được: d 2d 2 = (r2 + a2 )2 −(2ar
cosθ )2
1
Hay b4 = r 4 + a 4 − 2a 2r 2
(1− 2 cos2 θ )
2
4
4
⇔ b = r + a
2 2
− 2a r cos 2θ
- Trong trường hợp đặc biệt:
+, Khi b = a thì (4) trở thành r 2 =
2
2a cos2θ
4
(5): Đường cong đi qua
gốc tọa độ. Đây là phương trình lemniscate.
+, Khi b > a, đường cong bao gồm một vòng đơn.
+, Khi b < a, đường cong chia thành hai vòng tròn tách rời nhau.
Và nói chung các đường cong này được gọi là đường cong oval của
Cassini.
Hình 2.2
Ví dụ 2: Đường ốc sên Patxcan (Pascal): Cho đường tròn đường kính OA=
a và một số dương b. Giả sử M là một điểm của đường tròn và Ou là trục có
giá
là đường thẳng OM. Trên Ou lấy một điểm N sao cho ON
= OM + b
(1)
Tập hợp Γ các điểm N gọi là đường ốc sên Patxcan.
Hãy viết phương trình của đường ốc sên Patxcan đó.
Lời giải:
- Chọn điểm O là trục cực và đường thẳng OA hướng từ O đến A làm
trục cực Ox. Khi đó, nếu θ là một số đo góc
của
(Ox,
Ou)
thì OM = a
cosθ .
Đó là phương trình cực của đường tròn đường kính OA.
Nếu (r, θ ) là một cặp tọa độ cực của điểm N thì từ (1) suy ra r =
acosθ + b (2)
- Đảo lại, nếu N là một điểm của mặt phẳng có cặp tọa độ cực (r, θ
) thỏa mãn (2) thì tồn tại một trục Ou đi qua N sao cho ta có (1): ON
= OM + b , trong đó M là giao điểm thứ hai của đường thẳng ON với
đường tròn đã cho. Vậy (2) là phương trình cực của đường ốc sên Patxcan
.
M
N
O
A
x
P
Hình 2.3
Nhận xét : Ta thấy rằng, nếu viết phương trình của đường
Patxcan trong hệ trục tọa độ đề các vng góc thì sẽ rất khó và dài. Ta
chuyển sang viết phương trình của nó trong hệ tọa độ cực thì sẽ dễ dàng hơn.
Sau đây, ta sẽ xét phương trình của một số đường cong thường gặp:
2. Phƣơng trình cực của các đƣờng tròn
Bài tốn 1: Trong hệ trục tọa độ vng góc, xét đường tròn tâm tại (a,0) và
bán kính bằng a. Viết phương trình đường tròn này trong hệ tọa độ cực.
Lời giải:
Đường tròn tâm (a,0) có bán kính bằng a có phương trình trong hệ tọa
độ vng góc là: (x − a)2
2
2
+ y = a
2
2
hay x + y =
2ax
(1)
Chuyển sang hệ tọa độ cực, ta được:
(2)
2
r = 2ar
cosθ ⇔ r = 2a
cosθ
Ta có hình vẽ 2.3 và 2.4 là hình biểu diễn đường tròn trong hệ tọa độ
vng góc và hệ tọa độ cực:
P(r,θ )
P(x,
a
O
(a;
θ
A
Hình 2.3
O
2a
A
Hình 2.4
Nhận xét:
Bài tốn trên minh họa một phương pháp tìm phương trình cực của một
đường cong, cụ thể là biến đổi phương trình của nó trong hệ tọa độ vng góc
sang phương trình trong hệ tọa độ cực. Một phương pháp khác, có thể tìm
phương trình cực của đường cong bất cứ lúc nào là từ tính chất hình học đặc
trưng của đường cong.
Trong trường hợp đường tròn đã xét ở trên, ta sử dụng tính chất rằng
ΔOPA là tam giác vuông, với cạnh kề với góc nhọn θ là r, cạnh huyền
OA = 2a. Khi đó, hiển nhiên ta có: r = 2acosθ .
Như vậy, để tìm phương trình cực của đường cong, ta có thể sử dụng
phương pháp thứ hai (phương pháp hình học) .
