Phƣơng trình cực của các đƣờng tròn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
OA = 2a. Khi đó, hiển nhiên ta có: r = 2acosθ .
Như vậy, để tìm phương trình cực của đường cong, ta có thể sử dụng
phương pháp thứ hai (phương pháp hình học) .
Xét bài tốn mở rộng của bài tốn 1 như sau:
Bài tốn 2: Tìm phương trình cực của đường tròn với bán kính bằng a và tâm
tại C có tọa độ cực là: (b;α ), trong đó giả sử b là số dương.
Lời giải:
P(r,θ )
- Lấy P=(r, θ ) là một điểm tùy ý trên đường tròn.
y
Xét Δ OPC, áp dụng định lý cosin trong tam
2
giác ta có:
2
a=r
2
+ b - 2brcos(θ − α )
C(b,α )
r
α
(3)
b
θ
x
Đây là phương trình cực của đường tròn cần
Hình 2.5
tìm.
- Đối với đường tròn đi qua gốc tọa độ ta có
y
O
b = a, và nó có thể viết thành:
r=2acos(θ − α ).
- Đặc biệt, khi α =0 thì: (3) quy về (2) và khi
π
α =
2
thì cos(θ − α ) = ) = sinθ
π .
cos(θ −
P(r,θ )
2
2
Khi đó, (3) trở thành r = 2asinθ
(4).
Hoặc bằng phương pháp hình học trực tiếp
ta có thể thu được (4):
: ΔPOA vng tại P
với α
=
π
2
O
Hình 2.6
có r là cạnh đối diện với góc nhọn θ , cạnh huyền OA = 2a nên ta có:
r = 2asinθ
3. Phƣơng trình của các đƣờng conic trong hệ tọa độ cực
Ta đã biết phương trình các đường cơníc trong Hệ tọa độ Đềcác vng
góc và đường cơníc là elip, parabol hay hypebol tuỳ thuộc vào e < 1, e = 1
hay e > 1. Bây giờ chúng ta đi tìm phương trình của nó trong Hệ toạ độ cực
bằng cách xét bài tốn cụ thể sau:
Bài tốn 1: Tìm phương trình cực của phần đường conic với tâm sai e nếu
tiêu điểm tại gốc tọa độ và đường chuẩn tương ứng là đường thẳng x = -p nằm
ở bên trái gốc tọa độ.
Lời giải:
Giả sử P là một điểm bất kì trên đường cơníc có tọa độ cực là (r;θ )
Và ta có các kí hiệu như hình 2.7 ( tiêu điểm, đường chuẩn, tâm sai ).
Ta biết rằng: đường conic ở trên là tập hợp các điểm P mà tỉ số khoảng
cách từ P đến tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng bằng e, tức là:
PF
=e
PD
hay PF = e.PD.
y
(1)
P
D
r
Q
p
OF
R
x
x=-p
Hình 2.7
Ở bài này, giả thiết đầu bài cho đường chuẩn x = -p nằm ở bên trái gốc
tọa độ, dựa vào hình vẽ ta có: PF = r và PD = RQ = RF+FQ =
r cosθ + p
.
Thay PF và PD vào (1) ta được :
r = e(r cosθ + p) ⇔
⇔
⇔
⇔
r=
r = er cosθ + ep
r − er cosθ = ep
r(1 − e cosθ ) = ep
ep
1− e
cosθ
Vậy phương trình cực của đường conic cần tìm là: r = ep
1− e
cosθ
(*)
Sau đây, ta xét các ví dụ minh hoạ cụ thể với kết luận trong bài tốn 1
1
=
e
,
Ví dụ 1: Viết phương trình cực của đường conic với tâm sai
3
tiêu điểm tại gốc tọa độ, và đường chuẩn x = -4.
Lời giải :
Áp dụng công thức (*) với: e =
3
1
; p = 4 ta được:
1
.4
4
r= 3
=
.
1
1−
.cosθ 3 − cosθ
3
1
Ta thấy e = < 1 nên đường cong này là elip.
3
Quan sát thấy rằng mẫu số ở đây luôn khác không, do đó r bị chặn
với mọi θ .
Ví dụ 2: Cho conic có phương
trình:
Lời giải:
25
r=
.
4 − 5cos θ
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
