Hƣớng dẫn giải bài tập thêm Bài 1, 2:
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (657.01 KB, 110 trang )
Bài 3:
r = aθ , (θ > 0) . Áp dụng
cơng thức (1):
Vậy khi θ =1(rad) thì
tanψ
tan
ψ
=
=1
=
⇔
45 .
ψ
r(θ )
⇒ tanψ =
aθ
= θ
r′(θ )
θ
Khi đường xoắn ốc quấn quanh gốc theo chiều ngược chiều kim đồng
hồ nghĩa là θ tăng dần (vì chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng
hồ), thì tanψ tăng, suy ra ψ → 90
Bài 4: a, Gọi P là giao điểm của hai đường cong, khi đó theo giả thiết: P (r,θ )
và ψ1 lần lượt là các góc từ vectơ bán kính đến đường thẳng tiếp tuyến
,ψ
2
của hai đường cong Γ1 và Γ2 tại điểm P.
2
1
2
1
P(r, )
r
O
Nhìn vào hình vẽ ta có:
γ = ψ 2 −ψ1
tan γ
=
tan(
ψ
nên
2
−ψ
1) =
tanψ 2 −
tanψ 2
1+ tanψ 2 .
tanψ 2
Hai đường cong này trực giao khi góc tạo bởi giữa hai tiếp tuyến này
bằng 90
1
)
b, Dựa vào kết quả ý a, ta có:
⇒
r = 2a sinθ , r
tan ψ = 2a
= 2b cosθ
sin
1
θ
2a =
cosθ
tanθ ,
tanψ
2
2b
= −cot θ
=
cosθ
−2b
sinθ
tanψ1 tanψ 2 = tanθ.(−cotθ ) = −1 ⇒ tan γ
=||⇒ γ = 90
Vậy hai đường cong này trực giao.
Làm tương tự ta cũng có các đường cong ở các ý 2 ) và 3 ) cũng trực
giao với nhau.
Bài 5:
r1 = r =
θ ,
Suy
ra
1
θ
2
′
′
1
r1 (θ ) = 1
và r2 (θ ) = −
⇒ tanψ1
⇒ tanψ
= θ
θ
2
2
= −θ
−θ −θ
−2θ
2
tan γ =
1+ (−θ )(θ ) =1− θ .
Để hai đường cong r = r = 1 trực giao thì:
1
θ , 2 θ
1+ tanψ 2 . tanψ 22 = 0
= 0 ⇔ 1− θ ⇔
θ
= ±1
Vậy hai đường cong này có trực giao tại điểm θ = 1
Bài 6: Giao điểm của hai đường cong này là nghiệm của phương trình
2
2
2a cos 2θ = a => đường lemniscate giao với đường
1
⇔ cos2θ =
⇔
tròn theo góc 60
a
r
=
Bài 7:
1−
cosθ
r′(θ
)=
θ =
2
π
3
−sin 2
θ
a sinθ
= − tan
⇒ r = 1−
θ
2
(1−
′
cosθ r
=
⇒ψ
tan
ψ
2sin
cosθ )2
θ
θ = π − 1θ
=
sinθ
cos
2
2
2
2
Từ phương trình r = a
⇒ e = 1 : suy ra đường cong là
1−
cosθ parabol.
Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì trên parabol tại các góc bằng nhau
với đường nằm ngang qua điểm đó và đường nối từ gốc tới điểm đó.
§4. Một vài ứng dụng của hệ tọa độ cực
1. Đổi biến trong tích phân kép
Tọa độ cực có tác dụng rất hữu ích trong việc đổi biến số. Nhiều trường
hợp tích phân kép
tính theo biến x, y khơng thuận lợi, khi đó ta
∫∫ f (x,
y)dxdy
D
đổi sang hệ tọa độ cực:
- Trường hợp x, y đươc chuyển sang hai biến mới r, θ theo
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f [r
công thức: x = rcosθ , y = rsinθ thì : I =
cosθ , r sinθ ].r.drdθ
D
D
(ta thường dùng hệ tọa độ cực khi phương trình biên của miền D có chứa biểu
2
2
2
2
2
thức x + y , khi đó thay x + y = r sẽ được phương trình đơn giản hơn theo
r,θ ).
- Trường hợp x, y được chuyển sang tọa độ cực suy rộng:
x = x + r cosθ
0
( tọa độ cực tịnh tiến) thì:
y = y0 + r sin θ
+,
I=
D
+,
∫∫
f (x, y)dxdy =
D
x = ar cosθ
θ
y = br sin
I=
D
∫∫
∫∫ f [x
0
+ r cosθ , y0 + r sinθ ].r.drdθ
(tọa độ cực co dãn) thì:
f (x, y)dxdy =
D
∫∫ f [ar cosθ ,br sinθ ].r.drdθ
(ta thường dùng khi D là miền elip)
Ví dụ 1: Chuyển tích
phân
I = f (x, y)dxdy sang hệ tọa độ cực, xác định
∫∫
D
cận r, θ với D là
miền
2
2
x + y ≤ 2x
Lời giải:
D là miền phía trong của đường tròn x 2 + y 2 = 2x ⇔ (x
2
2
−1) + y = 1
![[123doc.vn] - van mau 7694](https://media.store123doc.com/images/document/2014_08/20/medium_rvv1408510718.jpg)
