Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận hai vecto u→, v→ làm vecto chỉ phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ =
[AB→, AC→]
Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có
dạng là:
x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0.
Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt
phẳng theo đoạn chắn.
* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làm
vecto chỉ phương
1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ = [u→, v→]
2. Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT
=> Phương trình mặt phẳng (P).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)
A. 9x- 3y+ 3z- 11= 0
C. 9x- y- 3z- 11=0
B. 9x+ y- 3z – 7= 0
D. 9x- y+ 3z- 10= 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→, AC→]= ( - 9; -1; 3)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có
n→ cùng phương với [AB→, AC→]
nên
Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là
9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5;
4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết
phương trình mặt phẳng (P).
A. x+ y+ z - 12 = 0
C. x- y+ z – 4= 0
B. x- y- z + 2= 0
D. x+ y- z – 6= 0
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB =
OC nên
A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0)
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1
Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:
5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 =
0
Chọn A.
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2),
C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường
thẳng CD có phương trình là:
A. x+ 4y+ z- 27= 0
B. 10x+ 9y+ 5z- 74= 0
C. 10x- 5y- 9z+ 22= 0
D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải:
Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên
ta có:
nên n→ cùng phương với [AB→, CD→].
Chọn n→ = (10;9;5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n → và đi qua điểm A(5; 1; 3)
là:
10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0
Chọn B.
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai
vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?
A. 3x+ 6y- 5z+ 1= 0
B. – 3x- 6y + 5z- 10= 0
C. 3x+ 5y- 6x+ 8= 0
D. 3x- 6y+ 5z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P)
nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n→ = [u→,v→] = (- 3; - 6; 5)
Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên
phương trình mặt phẳng ( P) là:
-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0
Chọn B.
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt
phẳng (P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?
A. 2x- 7y- 4z- 9= 0
B. 2x- 5y+ 3z – 9= 0
C. 2x+ 5y- 7z+ 10= 0
D. 2x+ 7y- 4z+ 10= 0
Hướng dẫn giải:
+ Ta có: AB→(0; 4; -7)
+ Lại có mặt phẳng ( P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương nên một
vecto pháp tuyến của mp( P) là: n→ = [u→;AB→] = (-4; 14; 8)= -2( 2; -7; -4)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A(2; -3; 4) và nhận n→ làm VTPT là:
2( x-2) – 7( y+ 3) – 4( z- 4) =0 hay 2x – 7y - 4z- 9=0
Chọn A.
Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
1. Phương pháp giải
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x o; yo; zo) và có vecto pháp
tuyến n→(A:B:C) là:
A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0
+ Cho trước hai điểm A và B. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :
• Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểm
của đoạn thẳng).
• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến
=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) . Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của AB?
A. 3x + 2y - z+ 6= 0
B. 6x- 4y + 4z+ 3= 0
C. 3x – 2y – 2z+ 4= 0
D. 6x + 4y + 4z+ 1= 0
Hướng dẫn giải:
+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.
=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ (- 6; -4; 2) làm vecto pháp tuyến. Chọn n→ ( 3; 2;
-1)
+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:
=> I( -1; - 1; 1)
+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:
3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1). Gọi M là trung điểm của
AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?
A. 2x + y +z+ 3= 0
B. 2x + y - z+ 3= 0
