Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M không thuộc d

Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vecto chỉ phương u →(2;1; 2);

AN→( - 5; 4; -2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u→; AN→] = ( - 10; -6; 13) = - (10; 6; -13)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và

chứa trục hồnh có phương trình là:

A. y= 0



B. y= 2



C. z= 2



D. x= 0



Hướng dẫn giải:

Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u →(1; 0; 0) ;

OA→(0; 0; 2)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u→; OA→] = (0; -2; 0) = -2 (0; 1;0)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 0) + 1( y-0) + 0(z - 2) = 0 hay y = 0

Chọn A.



Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua A( 1; 2; 3)



và chứa đường thẳng d:

ay+ bz+ c= 0. Tính a+ b+ c?

A. - 1



B. 3



C. 2



Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 5x+



D. 5



Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm N(1; -1; -1) và có vecto chỉ phương u →(2; 1; 3);

AN→(0; -3; -4)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u→;AN→] = ( 5; 8; -6)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x- 1)+ 8( y-2) – 6( z- 3) = 0 hay 5x+ 8y- 6z –

3= 0

=> a+ b+ c = 8+ (-6) + (-3) = - 1

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(1; 2; 1); B( 1; -2; 0) và C(2; 1; 2). Phương trình mặt phẳng ( P) có dạng : 5x+

ay+ bz+ c= 0. Tính a.b.c?

A. 10



B. – 8



C. 6



D.12



Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB→ (0; -4; -1); BC→ ( 1; 3; 2)

+ Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A; B và C nên (P) có một vecto pháp tuyến là



n→ = [AB→, BC→] = (- 5; -1; 4) = - ( 5; 1; -4)

=> Phương trình mặt phẳng (P) là:

5(x- 1) +1( y- 2) – 4( z- 1) = 0 hay 5x+ y – 4z -3= 0

=> a= 1; b= -4 và c= -3 nên a.b.c= 1.(-4).(-3) = 12

Chọn D.

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d và

d’

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; u2→]

• Lấy 1 điểm M trên d

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp

tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa hai đường

thẳng



có phương trình là

A. (P): x+ y- z+ 2= 0

C. (P) : x- z+ 2= 0

Hướng dẫn giải:



B. (P) : x- y- z+ 2= 0



D. Không tồn tại.



Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u2→ (1; -1; 2)

Ta có: [u1→,u2→] = ( 3; -3; -3); MN1→ (1; 1;0)

Do MN→ . [u1→,u2→] = 3. 1+ (- 3).1+ (- 3). 0 = 0 nên đường thẳng d1 và d2 cắt

nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u1→,u2→] = (3; -3; -3) = 3( 1; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x+ 2) – 1( y+ 1) - 1( z- 1) = 0 hay x- y - z + 2= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) chứa hai



đường thẳng

ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+ c?

A. 10



B. -11



C. 11



có dạng 6x+



D. 8



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 12) và có vecto chỉ phương u1→ (1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương u2→ (-1; 2; 0)

Ta có: [u1→, u1→]= ( 6; 3; 1); MN→ ( 0; 3; -9)

Do MN→. [u1→, u1→] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.



Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháp tuyến

là

n→ = [u1→, u2→] = (6; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

6( x- 1)+ 3( y – 2) + 1( z- 3) =0 hay 6x + 3y + z – 15= 0

=> a= 3; b= 1; c= -15 nên a+ b+ c= 3+ 1+ (-15) = -11.

Chọn B

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường



thẳng

có dạng 6x+ ay+

bz+c= 0. Tính a+ b+ c?. Gọi mặt phẳng (P) chứa d 1 và d2. Tính khoảng cách từ

điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P)?



có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0. Tính a+ b+

c?

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M(0; -2; 3) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; 3)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(2; -3; 3) và có vecto chỉ phương u2→ (2; -1; 0)



Ta có: [u1→, u2→] =( 3; 6; -4); MN→ ( 2; -1; 0)

Do MN→.[u1→, u2→] = 3.2+ 6.(-1) + (-4). 0 = 0 nên đường thẳng d 1 và d2 cắt

nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 cắt nhau nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u1→, u1→] = ( 3; 6; -4)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

3( x-0) + 6( y+2) – 4( z-3) = 0 hay 3x+ 6y – 4z+ 24= 0

Khoảng cách từ điểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P) là:

Chọn D.

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→;u2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; MN→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp

tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa



hai đường thẳng

A. 6x+ 3y+ z-10= 0



B. 6x+ 3y+ z- 15 = 0



C. 6x- 3y+ z- 14= 0



D . Đáp án khác



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và có vecto chỉ phương u1→(1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u2→(1; -1; -3)

Ta có: [u1→,u2→] = (0; 0; 0); MN→(0;3; -9)

Do [u1→,u1→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u1→,MN→] = (18, 9, 3) = 3( 6; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2;

3) là:

6( x – 1)+ 3(y -2) +1(z – 3) = 0 hay 6x + 3y + z - 15 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa



trục Oz và đường thẳng

A. x+ 3x= 0



B. y+ 3z= 0



C. x+ 3y= 0



D. z= 0



Hướng dẫn giải:

Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u1→(0; 0; 1).

Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và có vecto chỉ phương u2→( 0; 0; 2)



Ta có: [u1→, u1→] = (0; 0; 0); ON→ = (3; -1; 5)

Do [u1→, u2→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng Oz và d song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháp

tuyến là

n→ = [u1→, ON→] = (1; 3; 0)

Phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 3; 0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là:

x+ 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P)



đi qua A( -1; 2; 1); B( 0; 4; - 2) và chứa đường thẳng d:

A. 7x + y + 3z+ 2= 0



B. 7x - 6y+ z- 10= 0



C. 7x - y + 3z- 16= 0



D. 7x - y + z + 10= 0



Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0; 1; -1) và có vecto chỉ phương u→( 1; 2; -3).

Vecto AB→ (1; 2; -3); AM→(1; -1; -2)

+ Ta có: [AB→; u→] = (0; 0; 0)

Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa A(-1; 2; 1), nhận vecto n→ = [AM→; u→] = ( - 7; -1; -3) = ( 7; 1;3) làm VTPT

=> Phương trình mặt phẳng (P) :



7( x+ 1) + 1( y-2) + 3( z- 1)= 0 hay 7x+ y + 3z + 2= 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường



thẳng

. Gọi mặt phẳng (P)

chứa d1và d2. Biết mặt phẳng (P) có phương trình dạng: x+ ay+ bz+ c= 0. Tính

a.b.c?

A. 8



B. - 5



C. 12



D. -3



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M( 0;1;2) và có vecto chỉ phương u1→(2; -3; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N( 1;2; 0) và có vecto chỉ phương u2→(2; -3; 1)

Ta có: [u1→; u2→] =(0; 0; 0); MN→ (1; 1; -2)

Do [u1→; u2→] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên (P) có VTPT là

n→ = [u1→; u2→] = (5; 5;5) chọn ( 1; 1; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

1( x- 0) + 1( y- 1) + 1( z-2) = 0 hay x + y + z - 3= 0

=> a= 1; b= 1 và c= - 3 nên a.b.c= -3

Chọn D.

21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)



1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→, u2→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp

tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường



thẳng

Mặt phẳng (α) đi

qua A( 2; 1; 2) và đồng thời song song với cả hai đường thẳng d 1; d2 có phương

trình là

A. x+ 5y+ 2z – 10= 0



B. x- 2y+ z – 2= 0



C. x - 5y+ 2z – 1= 0



D. 2x- y + 2z – 7 = 0



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua M (1; 0; -2) và có vecto chỉ phương u1→( 3; 1;1)

Đường thẳng d’ đi qua N (0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u2→(-1; 1; 3)

Ta có: [u1→, u2→] = (2; -10; 4)

Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với d 1 và



d2 nên



nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]



Chọn n→( 1; -5; 2) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:



1.( x – 2) – 5 ( y – 1) + 2(z- 2) =0 hay x- 5y + 2z – 1 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm B(1; -3; 2) và song song với trục Ox, Oy

A. x= 1



B. y+ 3= 0



C. z- 2= 0



D. 3x+ y= 0



Hướng dẫn giải:

Trục Ox có vecto chỉ phương u1→(1; 0; 0)

Trục Oy có vecto chỉ phương u2→(0; 1; 0)

Ta có: [u1→, u2→] = (0; 0; 1)

Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P). Ta có (P) song song với Ox và Oy



nên



nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]



Chọn n→(0; 0; 1) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x- 1) + 0( y+ 3) + 1( z- 2) = 0 hay z - 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi



qua điểm M (0; -3; 4) và song song với đường thẳng d:

Oz



và trục