Dạng 16. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
1. Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(xo; yo;zo) và mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz +
D=0
+ Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) được tính theo cơng thức:
+ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách giữa đường
thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng d
đến mặt phẳng (P).
+ Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì khoảng cách hai mặt
phẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 1;2) đến mặt
phẳng : x+ 2y- 2z – 2= 0 bằng:
A. 3
B. 1
C. 13/3
D. 1/3
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là:
Chọn B
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): 2x – y - 2z – 4= 0
và (β): 2x – y – 2z + 2 =0
A. 2.
B. 6.
C. 10/3
D. 4/3
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất ky
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Ta lấy điểm H(2; 0;0) thuộc (α) .
Khi đó
Chọn A.
Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (α): 2x- y – 2z – 4= 0 và đường thẳng
d:
A. 1/3
B. 4/3
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→(1; 4; -1) mặt phẳng (α) có vecto pháp
tuyến n→(2; -1; -2)
=> Tích vơ hướng u→.n→ = 1. 2+ 4.(-1) + (-1) . (-2) = 0
=> Đường thẳng d song song với mặt phẳng (α).
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất ky của đường thẳng đến mặt phẳng.
Ta lấy điểm H(1;2;0) thuộc đường thẳng d. Khi đó:
Chọn B.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): x+ 2y + 2z +
m = 0 và điểm A(1; 1;1). Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α)
bằng 1?
A. - 2
B. -8.
C. - 2 hoặc - 8 .
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là:
Chọn C
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) cắt các trục Ox;
Oy; Oz lần lượt tại 3 điểm A(4; 0; 0); B(0; 3;0) và C(-2;0; 0). Khi đó khoảng cách
từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) là
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: x/4 + y/3 + z/(-2) = 1
Hay 3x + 4y – 6z – 12=0
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ABC) là:
Chọn C.
Dạng 17. Viết phương trình mặt phẳng thòa mãn điều kiện T – về khoảng
cách
1. Phương pháp giải
+ Khoảng cách từ điểm A( xo; yo; zo ) đến mặt phẳng ( P): Ax+ By+ Cz+ D = 0 là:
+ Muốn viết được phương trình mặt phẳng(P) cần xác định được vecto pháp
tuyến n→(A; B; C) và điểm M ( x0; y0;z0 ) thuộc mặt phẳng. Khi đó; phương
trình mặt phẳng cần tìm là:
A ( x- xo) + B( y- yo)+ C( z- zo) =0
+ Để xác định được vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta áp dụng cách viết
phương trình mặt phẳng đã được học.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P)
qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x+ y+ z- 10= 0 và cách điểm M(1; 2; –1)
một khoảng bằng √2
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax+ By + Cz = 0(với A 2 + B2 +
C2 > 0)
Mặt phẳng này có vecto pháp tuyến n→(A;B; C)
+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1; 1;1)
+ Vì (P) ⊥(Q) nên: 1. A+ 1.B+ 1. C= 0 do đó; C = -A- B (1)
+ Ta có:
⇔ ( A+ 2B – C)2 =2(A2 + B2 +C2 ) (2)
