Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến mặt cầu (S).
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
• Khi bài tốn khơng cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài tốn để
tìm VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng: Ax+ By+ Cz +D = 0 (D
chưa biết)
Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng song song với
mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (S): (x - 1) 2 + ( y+ 2)2 + z2 = 12 theo đường tròn có
chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:
A. x+ 12= 0
B. y+ z= 0
C. y - 4= 0
D. y+ 2= 0
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 0) và bán kính R = 2√3 .
Mặt phẳng Oxz có phương trình y= 0
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng (P) có
dạng:
y + D = 0 (D ≠ 0)
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng
(P) đi qua tâm I của mặt cầu.
Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : - 2+ D = 0 nên D = 2
Phương trình mặt phẳng (P) là: y+ 2= 0
Chọn D.
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt cầu (S): (x-1) 2 +(y2)2 +(z- 3)2 = 9, điểm A( 0; 0; 2) . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt mặt cầu ( S) theo
hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất. Tìm một vecto pháp tuyến của (P) ?
A. n→(1;2;3).
B. n→(1;2;1).
C.n→(1;2;0) .
D. n→(1;-2;1).
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R= 3.
Ta có
trong mặt cầu.
nên điểm A nằm
Ta có :
Diện tích hình tròn (C) là: S= 4πr 2 nên diện tích hình tròn ( C) nhỏ nhất khi và chỉ
khi r nhỏ nhất ⇔ d(I,(P)) lớn nhất.
Do d(I,(P)) ≤ IA nên maxd(I; (P)) = IA
Khi đó mặt phẳng (P) đi qua A và nhận IA→(-1;-2;-1) làm vecto pháp tuyến.
Mà vecto n→(1; 2; 1) cùng phương với vecto IA → nên n→(1; 2; 1) là vecto pháp
tuyến của (P).
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : 2x – 2y – 2z
+ 18= 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3= 0.Tiếp diện của (S) song
song với (P) có phương trình ?
Hướng dẫn giải:
Vì mp (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x – y – 2z + m = 0 .
Mặt cầu (S) có tâm I( 1; -1; 2) và bán kính R = 3.
Mà (Q) là tiếp diện của mặt cầu (S) nên d(I; (Q)) = R
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) cần tìm là: 2x- y – 2z – 8= 0 hoặc 2x – y - 2z +
10 = 0
Chọn D.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): 2x + 2y + z 15 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z - 16 = 0. Mặt phẳng (Q) song
song với (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có diện tích 16π.
Khi đó (Q) có phương trình là
A.(Q): 2x + 2y + z+ 5 = 0 hoặc 2x+ 2y + z – 13 = 0
B.(Q): 2x + 2y + z -19 = 0 hoặc 2x+ 2y + z+ 1= 0
C.(Q): 2x + 2y + z – 3= 0 hoặc 2x + 2y + z +15 = 0
D.(Q): 2x + 2y + z – 7 = 0 hoặc 2x + 2y + z + 11 = 0
Hướng dẫn giải:
+ Vì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng :
(Q) : 2x+ 2y + z + m = 0 (m ≠ -15)
+ Mặt cầu ( S) có tâm I( 1 ; 2 ; -2) và bán kính R= 5.
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến, khi đó :
Vậy phương trình mặt phẳng ( Q) : 2x+ 2y + z+ 5= 0 hoặc 2x+ 2y +z – 13= 0
Chọn A
Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S):(x - 2) 2 + ( y
- 1)2 + z2 = 16. Mặt phẳng (P): 2x+ 2y- z = 0 cắt mặt cầu theo một đường tròn ( C)
có bán kính r. Tính r?
A. 2
B. 3
C. 2√3
D. √3
Hướng dẫn giải:
+ Mặt cầu (S) có tâm I( 2; 1; 0) và bán kính R= 4.
+ Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
Suy ra, mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có bán kính:
Chọn C.
Dạng 16. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(xo; yo;zo) và mặt phẳng (P): Ax+ By + Cz +
D=0
+ Khi đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
+ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách giữa đường
thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng d
đến mặt phẳng (P).
+ Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì khoảng cách hai mặt
phẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1; 1;2) đến mặt
phẳng : x+ 2y- 2z – 2= 0 bằng:
A. 3
B. 1
C. 13/3
D. 1/3
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là:
Chọn B
