Dạng 17. Viết phương trình mặt phẳng thòa mãn điều kiện T – về khoảng cách
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
+ Để xác định được vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta áp dụng cách viết
phương trình mặt phẳng đã được học.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P)
qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x+ y+ z- 10= 0 và cách điểm M(1; 2; –1)
một khoảng bằng √2
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax+ By + Cz = 0(với A 2 + B2 +
C2 > 0)
Mặt phẳng này có vecto pháp tuyến n→(A;B; C)
+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1; 1;1)
+ Vì (P) ⊥(Q) nên: 1. A+ 1.B+ 1. C= 0 do đó; C = -A- B (1)
+ Ta có:
⇔ ( A+ 2B – C)2 =2(A2 + B2 +C2 ) (2)
Từ (1) và (2) ta được: 8AB + 5B2 = 0 ⇔ B = 0 hoặc 8A + 5B = 0
+ Nếu B = 0 => C = –A. Chọn A = 1, C = –1.
Khi đó phương trình mặt phẳng (P): x- z= 0
+Nếu: 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 => C = 3.
Khi đó phương trình mặt phẳng ( P) là: 5x- 8y+3z=0
Chọn D
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
Δ:
và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm M, song song với đường thẳng Δ, đồng thời khoảng cách d giữa
đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) và có vecto pháp tuyến n→(a;b;c) ≠ 0
là:
a (x- 0) + b(y+ 2) + c( z-0) = 0 hay ax+ by + cz + 2b= 0
+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u→(1;1;4) .
Ta có đường thăng ∆ // (P) nên 1.a+ 1.b+ 4.c= 0 nên b= - a- 4c
+ Khoảng cách d giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) bằng 4 nên khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) là 4
⇔ a2+ 10ac+ 25c2 = 2a2 + 17c2 + 8ac
⇔ a2 – 2ac – 8c2= 0
⇔ a = 4c hoặc a = -2c
+ Với a= 4c. Chọn a= 4; c= 1 thì b= - 8
Phương trình (P): 4x – 8y + z – 16 = 0.
+ Với a= -2c. Chọn a= 2; c= - 1thì b= 2
Phương trình (P): 2x+ 2y – z + 4= 0.
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
(d):
và điểm A( -1; 2; 3). Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d)
sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3 có vecto pháp tuyến là:
A . n→(2;1;-3)
B . n→(2;1;2)
Hướng dẫn giải:
C . n→(2;-1;-2)
D . n→(4;-2;2)
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; -1; 1) và có VTCT u→(1;2;0) .
Mặt phẳng (P) đi qua M(0; -1; 1) và có vecto pháp tuyến n→(a; b; c) ( với a2+ b2+
c2 > 0)
Có phương trình là: a( x- 0) + b( y+1)+ c( z - 1) = 0 hay ax+ by + cz + b- c= 0 (1).
+ Do (P) chứa (d) nên: u→.n→ hay a+ 2b = 0 ⇔ a= - 2b (2)
+ Khoảng cách từ A đến ( P) là 3 nên ta có :
⇔ ( 5 b+ c)2 = 9(5b2 + c2 ) ⇔ 4b2 - 4bc + c2 = 0
⇔ (2b – c)2 = 0 ⇔ c= 2b (3)
+ Từ (2) và (3), chọn b= -1 => c= -2 và a= 2
=> PT mặt phẳng (P): 2x- y- 2z+ 1= 0 .
Vậy một vecto pháp tuyến của (P) là ( 2; -1; -2)
Chọn C
Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M(-1; 1; 0); N( 0;0;2) và I( 1; 1; 1). Mặt phẳng (P) qua M và N, đồng thời khoảng cách từ I đến (P)
bằng √3 có vecto pháp tuyến là:
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình mặt phẳng (P) nhận vecto n→(a;b;c) làm VTPT và đi qua điểm
N(0; 0; -2):
ax+ by+ c( z+ 2) = 0 hay ax+ by+ cz + 2c= 0
+ Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M(-1; 1; 0)
=> -a+ b+ 2c= 0
Suy ra: a= b+ 2c
+ Khoảng cách từ I (1; 1; 1) đến (P) bằng √3 nên :
⇔ 4b2+ 20 bc+ 25c2= 6b2+ 15c2+ 12bc
⇔ 2b2 – 8bc- 10c2 = 0
⇔ b = 5c hoặc b = -c
+ Nếu b= 5c; chọn c= 1=> b= 5; a= 7
=> Phương trình mặt phẳng (P): 7x+ 5y+ z + 2= 0 có vecto pháp tuyến ( 7; 5; 1)
+ Nếu b= - c chọn b= 1; c= -1; a= - 1
=> Phương trình (P): - x+ y- z- 2 = 0 hay x- y+ z+ 2= 0 có vecto pháp tuyến ( 1;
-1; 1)
Chọn A.
Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; -1; 2),
B(1; 3; 0) , C(-3;4;1) và D(1;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách
từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) có vecto pháp tuyến là:
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình mặt phẳng (P) nhận vecto n→(a;b;c) ≠ 0→ làm VTPT và đi qua
điểm A(1; -1; 2):
a(x-1)+ b(y+1)+ c( z -2) = 0 hay ax+ by+ cz – a+ b – 2c= 0
+ Mặt phẳng ( P) đi qua điểm B(1; 3; 0)
=> a+ 3b – a+ b – 2c= 0 hay 4b – 2c= 0
Suy ra: c= 2b
+ Khoảng cách từ C( -3; 4; 1) đến (P) bằng khoảng cách từ D(1; 2;1) đến (P) nên :
⇔ | - 4a + 5b – c| = | 3b – c |
⇔ | -4a + 5b- 2b| = | 3b – 2b |
⇔ | - 4a + 3b| = | b |
⇔ 16a2 – 24 ab+ 9b2 = b2
⇔ 16a2 – 24ab + 8b2 = 0
+ Với b= a; chọn a= l=> b =1; c= 2
Phương trình mặt phẳng (P) : x+ y+ 2z - 4= 0 có vecto pháp tuyến (1; 1; 2)
+ Với chọn b=2; a= 1 => c = 4
=> Phương trình mặt phẳng (P) là : x+ 2y+ 4z - 7= 0 có vecto pháp tuyến là( 1; 2;
4)
Chọn A.
Dạng 18.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): A1x+ B1y+ C1z + D1 = 0 và (β):
A2x+ B2y+ C2z + D2= 0
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z + 11 = 0 và (Q): (
2m - 1)x + m(1– 2m)y + (2m – 4)z - 9= 0 .Với giá trị nào của m thì (P) và (Q)
vng góc với nhau
A. m= 1 hoặc m= 2
B. m= 1 hoặc m = -3/2
C. m= -1 hoặc m= 3/2
D . m= 2 hoặc m = 1/2
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n1→( 1; -3; 2)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n2→(2m- 1; m(1- 2m); 2m- 4)
Mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau khi và chỉ khi:
