Dạng 18.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z + 11 = 0 và (Q): (
2m - 1)x + m(1– 2m)y + (2m – 4)z - 9= 0 .Với giá trị nào của m thì (P) và (Q)
vng góc với nhau
A. m= 1 hoặc m= 2
B. m= 1 hoặc m = -3/2
C. m= -1 hoặc m= 3/2
D . m= 2 hoặc m = 1/2
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n1→( 1; -3; 2)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n2→(2m- 1; m(1- 2m); 2m- 4)
Mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau khi và chỉ khi:
n1→.n2→ = 0
⇔ 1.(2m- 1) -3m(1 – 2m)+ 2(2m – 4) = 0
⇔ 6m2 + 3m – 9 = 0
⇔ m = 1 hoặc m = -3/2
Chọn B
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y- 4z+ 1=
0 và mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; 3; 0) và C(0; 0; -4). Xác định
vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q)?
A. Song song
C. Trùng nhau
B. Cắt nhau nhưng vng góc
D. Cắt nhau nhưng khơng vng góc
Hướng dẫn giải:
+ Phương trình mặt phẳng (Q): x/1 + y/3 + z/(-4) = 1 hay 12 x+ 4y – 3z – 12= 0
+ Ta có: 1/12 ≠ 2/4 nên hai mặt phẳng này cắt nhau.
Hai mặt phẳng (P) và (Q) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là n1→(1; 2;
-4); n2→( 12; 4; -3)
Tích vơ hướng: n1→.n2→ = 1. 12+ 2. 4 + (-4). (-3)= 32
=> Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau nhưng khơng vng góc
Chọn D.
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M (0; 1; 2) và song
song với mặt phẳng (Q): 2x – 4y + 12= 0. Mặt phẳng (R) có phương trình: 4x8y+ 10z - 9= 0. Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và (R)
A. Cắt nhau nhưng vng góc
B. Trùng nhau
C. Cắt nhau nhưng khơng vng góc
D. Song song
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên VTPT của mặt phẳng (Q)
là n→(2; -4; 0)
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 2) và có VTPT n→(2; -4; 0) nên có phương
trình là:
2( x- 0) – 4( y- 1) + 0(z – 2) = 0
⇔ 2x – 4y + 4= 0 hay x- 2y + 2 = 0
+ Ta có: 1/4 ≠ 0/10 nên hai mặt phẳng (P) và (R) cắt nhau.
Hai mặt phẳng (P) và (R) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là n1→(1; -2; 0)
và n2→( 4; - 8; 10)
Tích vơ hướng n1→. n2→= 1.4 + (-2).(-8) + 0.10 = 20
=> Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau nhưng khơng vng góc
Chọn C.
Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho hai mặt phẳng (P): x+ 2yz+ 10= 0 và (Q): 2x+ my – nz+ 20= 0. Xác định m và n để hai mặt phẳng (P) và
(Q) trùng nhau?
A. m= 2 và n= 1
B. m= -4 và n= 2
C. m= 2 và n= 2
D. m= 4 và n= 2
Hướng dẫn giải:
+ Để hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau thì:
Chọn D.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho hai mặt phẳng (P): 2x- y+
3z -9= 0 và (Q): 6x + my – nz + 12= 0. Tìm m và n để hai mặt phẳng (P) và (Q)
song song với nhau
A. m= 3; n= -9
B. m= -3; n = -9
C. m= -3; n= 9
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì:
Chọn B.
Dạng 19. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
1. Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu
(S): (x- a)2 + (y – b)2 + (z- c)2 = R2
Để xét vị trí tương đối của (P) và (S) ta làm như sau:
Bước 1: Tính khoảng cách d từ tâm I của (S) đến mặt phẳng (P)
Bước 2:
+ Nếu d > R thì (P) khơng cắt (S).
+ Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H, khi đó H được gọi là tiếp điểm, là hình
chiếu vng góc của I lên mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) được gọi là tiếp diện.
+ Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo đường tròn có phương trình:
Bán kính của (C) là
Tâm J của (C) là hình chiếu vng góc của I trên (P)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z - 5 = 0 và (S): (x- 3) 2 + y2 + ( z- 4)2 = 9.
Tìm mệnh đề đúng
A. Mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau
B. Mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau và tọa độ tiếp điểm là (1; 1; 2)
C. Mặt phẳng và mặt cầu không cắt nhau
D. Mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau tại điểm (2; -1; 2)
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S) có tâm I (3; 0; 4) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2; -1; 2)
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Do đó, mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc với nhau.
Gọi M(a; b; c) là tọa độ tiếp điểm của (P) và (S)
=> IM→( a- 3; b; c - 4)
Do
IM
vng
góc
với
mặt
phẳng
(P)
k.n→
Lại có M thuộc mặt phẳng (P) nên ta có:
2(2k+ 3) – (- k)+ 2.( 4+ 2k) -5 = 0 hay 9k+ 9 = 0⇔ k= -1
nên
ta
có: IM→ =
