Dạng 13. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua một điểm M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P), (Q) cho trước

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n1→(1; -1; 1)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n2→(2; 0; -1)

Ta có: [n1→, n2→] = ( 1; 3; 2) nên mặt phẳng (α) nhận (1; 3; 2) là một vecto pháp

tuyến và (P) đi qua điểm O(0; 0; 0) nên mặt phẳng (α) có phương trình:

1. (x – 0) + 3( y – 0) + 2(z – 0) = 0 hay x+ 3y + 2z = 0

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm M(0; 1; 5), đồng thời vng góc với cả hai mặt phẳng (Q): 3x – 2y + 2z

+ 1 = 0 và (R): 5x – 4y + 3z + 10 =0

A. 2x+ y - 2z + 9 = 0

C. 2x- y – 2z + 11 = 0



B. x+ 2y- z + 3 = 0

D. Đáp án khác



Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n1→( 3; -2; 2)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (R) là n2→( 5; -4; 3)

Ta có: [n1→, n2→] = (2; 1; -2) nên mặt phẳng (P) nhận (2; 1; -2) là một vecto pháp

tuyến và (P) đi qua điểm M (0; 1; 5) nên mặt phẳng (P) có phương trình:

2.(x – 0) + 1(y - 1) - 2( z - 5) = 0 hay 2x+ y – 2z + 9= 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm A ( 3; 2; -1), đồng thời vuông góc với mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (Q):

x + 2y – z + 9 = 0.

A. y+ z - 1= 0



B. 2y – z – 5 = 0



C. 2x- y - 4= 0



D. x+ 2y – 7= 0



Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng Oxy có vecto pháp tuyến n1→(0; 0; 1)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n2→( 1; 2; -1)

Ta có: [n1→, n2→] = ( - 2; 1; 0) nên mặt phẳng (P) nhận ( 2; -1; 0) là một VTPT

và (P) đi qua điểm A (3; 2; -1) nên mặt phẳng (P) có phương trình:

2( x- 3) - 1( y – 2)+ 0( z+ 1)= 0 hay 2x – y – 4= 0

Chọn C.

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và

cách (Q): Ax+ By + Cz + D = 0 ( hoặc điểm H) một khoảng k cho trước.

1. Phương pháp giải

• Trên mặt phẳng (Q) chọn một điểm M

• Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) có dạng: Ax+

By+ Cz + D’= 0

• Sử dụng công thức khoảng cách: d((P); (Q)) = d(M; (Q))= k để tìm D’.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song

song với mặt phẳng (Q): x + 2y - 2z + 1 = 0 và cách (Q) một khoảng bằng 3.

A. x + 2y - 2z + 4= 0 hoặc x + 2y - 2z – 2= 0

B. x + 2y - 2z+ 3= 0 hoặc x + 2y - 2z – 3= 0

C. x + 2y - 2z – 8= 0 hoặc x + 2y - 2z + 10= 0

D. Tất cả sai



Hướng dẫn giải:

Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (-1; 0;0)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P)

có dạng:

x+ 2y – 2z + D = 0

Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng 3 nên ta có:

d(M; (P))= 3



Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

x+ 2y – 2z + 10 = 0 hoặc x+ 2y - 2z – 8= 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song

song với mặt phẳng (Q): 2x+ 3y – z + 3 = 0 và cách (Q) một khoảng bằng √14

A. 2x+ 3y - z + 1= 0 hoặc 2x+ 3y – z – 3= 0

B. 2x+ 3y – z – 11= 0 hoặc 2x + 3y – z + 17= 0

C. 2x+ 3y – z+ 4= 0 hoặc 2x + 3y – z - 6= 0

D. Tất cả sai



Hướng dẫn giải:

Trên mặt phẳng (Q) chọn điểm M (0; -1;0)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P)

có dạng:

2x + 3y – z + D = 0

Vì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng √14 nên ta có:



Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là :

x+ 2y – 2z + 17 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 11= 0

Chọn B.

Ví dụ 3: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (α) là mặt phẳng song song với

mặt phẳng

(β): 2x - 4y + 4z + 3 = 0 và cách điểm A(2; -3; 4) một khoảng bằng 3. Viết phương

trình mặt phẳng (α)?

A. 2x- 4y + 4z – 14= 0 hoặc 2x – 4y+ 4z – 50 = 0

B. 2x- 4y+ 4z + 12= 0 hoặc 2x- 4y + 4z – 50 = 0

C. 2x- 4y+ 4z – 14= 0 hoặc 2x- 4y + 4z + 16= 0

D. Đáp án khác



Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên phương trình mặt phẳng (α) có

dạng:

2x - 4y + 4z + D = 0 (D ≠ 3)

Vì d(A; (P))= 3



Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

2x - 4y+ 4z – 14= 0 và 2x – 4y + 4z – 50 = 0

Chọn A.

Ví dụ 4: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0);

C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) và

cách điểm M(2; -1; -1) một khoảng bằng √21

A. 4x- 2y+ z- 20= 0 hoặc 4x- 2y + z + 10= 0

B. 4x+ 2y + z – 17= 0 hoặc 4x+ 2y + z + 10= 0

C. 4x- 2y+ z+ 12= 0 hoặc 4x- 2y + z – 30 = 0

D. 4x+ 2y + z- 10= 0 hoặc 4x + 2y + z+ 8= 0

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x/1 + y/(-2) + z/4 = 1 hay 4x - 2y + z – 4= 0



Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên phương trình mặt phẳng (P)

có dạng:

4x – 2y + z + D = 0 ( D ≠ -4 )

Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng √21 nên ta có:



Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

4x – 2y + z – 30 = 0 và 4x – 2y + z + 12= 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz; cho ba điểm A(1; 0; 2); B( -1;2; 1)

và C( 0; 2; 3). Gọi (P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC) và cách

điểm M( 2; 1;-2) một khoảng là √29. Viết phương trình mặt phẳng ( P) ?

A. 4x+ 3y – 2z+ 1= 0 hoặc 4x + 3y – 2z – 10= 0

B. 4x+ 3y – 2z - 44 = 0 hoặc 4x + 3y – 2z + 14= 0

C. 4x- 3y – 2z + 10= 0 hoặc 4x - 3y – 2z – 16= 0

D. 4x- 3y – 2z + 18= 0 hoặc 4x – 3y – 2z – 24= 0

Hướng dẫn giải:

+ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) : AB→(-2; 2; -1); AC→(-1; 2; 1)

=> [AB→, AC→] = ( 4; 3; -2)



Măt phẳng ( ABC) đi qua điểm A(1; 0; 2) và nhận vecto n→( 4; 3; -2) làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng ( P):

4( x- 1) + 3( y- 0) -2( z- 2) = 0 hay 4x+ 3y – 2z = 0.

+ Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên phương trình mặt phẳng (P)

có dạng:

4x + 3y – 2z + D = 0 (D ≠ 0)

Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng √29 nên ta có:



Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài là

4x + 3y – 2z - 44 = 0 và 4x + 3y – 2z + 14 = 0

Chọn B.

Dạng 15. Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến mặt cầu (S).

1. Phương pháp giải

• Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)

• Nếu mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ∈ (S) thì mặt phẳng (P) đi qua

điểm M và có vecto pháp tuyến là MI→.



• Khi bài tốn khơng cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài tốn để

tìm VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng: Ax+ By+ Cz +D = 0 (D

chưa biết)

Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng song song với

mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu (S): (x - 1) 2 + ( y+ 2)2 + z2 = 12 theo đường tròn có

chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

A. x+ 12= 0



B. y+ z= 0



C. y - 4= 0



D. y+ 2= 0



Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 0) và bán kính R = 2√3 .

Mặt phẳng Oxz có phương trình y= 0

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng (P) có

dạng:

y + D = 0 (D ≠ 0)

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng

(P) đi qua tâm I của mặt cầu.

Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : - 2+ D = 0 nên D = 2

Phương trình mặt phẳng (P) là: y+ 2= 0

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt cầu (S): (x-1) 2 +(y2)2 +(z- 3)2 = 9, điểm A( 0; 0; 2) . Mặt phẳng ( P) đi qua A và cắt mặt cầu ( S) theo

hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất. Tìm một vecto pháp tuyến của (P) ?

A. n→(1;2;3).



B. n→(1;2;1).



C.n→(1;2;0) .



D. n→(1;-2;1).