Dạng 19. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
A. Mặt phẳng và mặt cầu cắt nhau
B. Mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau và tọa độ tiếp điểm là (1; 1; 2)
C. Mặt phẳng và mặt cầu không cắt nhau
D. Mặt phẳng và mặt cầu tiếp xúc nhau tại điểm (2; -1; 2)
Hướng dẫn giải:
Mặt cầu (S) có tâm I (3; 0; 4) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2; -1; 2)
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Do đó, mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc với nhau.
Gọi M(a; b; c) là tọa độ tiếp điểm của (P) và (S)
=> IM→( a- 3; b; c - 4)
Do
IM
vng
góc
với
mặt
phẳng
(P)
k.n→
Lại có M thuộc mặt phẳng (P) nên ta có:
2(2k+ 3) – (- k)+ 2.( 4+ 2k) -5 = 0 hay 9k+ 9 = 0⇔ k= -1
nên
ta
có: IM→ =
Khi đó, M( 1, 1, 2)
Vậy tọa độ tiếp điểm là (1; 1; 2)
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P). x- 2y- 3z+
11= 0 và mặt cầu ( S): x 2+ y2 + z2 – 4x+ 4y - 2z + m= 0. Tìm m để mặt phẳng (P)
tiếp xúc với mặt cầu (S)
A. m= 1
B. m = -3
C. m= - 5
D. m = 3
Hướng dẫn giải:
+
Mặt
cầu
(S)
có
tâm
kính
( điều kiện m < 9)
+ Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
+ Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu thì:
⇔ 14= 9- m nên m= -5
Chọn C.
I(2;
-2;
1)
và
bán
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 4x- 2y- 4z
+ 6= 0 và mặt cầu (S): (x-2)2+ ( y+ 2)2 + z2 = 25. Tìm mệnh đề đúng?
A. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (2; -3; 1)
B. Mặt phẳng (P) cắt đường tròn theo một đường tròn có tâm (0; 1; 2)
C. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (0; -1; 3)
D. Mặt phẳng (P) cắt đường tròn theo một đường tròn có tâm ( 0; -1; 2)
Hướng dẫn giải:
+ Mặt cầu (S): có tâm I(2; -2; 0) và bán kính R= 5
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→( 4; -2; - 4)
+ Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
=> Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo một đường tròn
Gọi J (a; b; c) là tọa độ tâm của đường tròn (C)
Ta có: IJ→( a - 2; b+2; c)
Do IJ vng góc với mặt phẳng (P) nên IJ→ = kn→
Lại có J thuộc mặt phẳng (P)
=> 4( 4k+ 2) – 2.(- 2- 2k) – 4 ( -4k) + 6= 0
⇔ 16k + 8 + 4 + 4k + 16k + 6= 0
⇔ 36k+ 18= 0 ⇔ k = -1/2
Vậy tâm J(0; - 1; 2)
Chọn D.
Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x- y2z+ 10= 0 và mặt cầu (S): (x- 1)2 + ( y- 2)2 + ( z+ 1)2 = R2. Biết mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r = 2. Tìm R
A. 2√5
B. 5
C. 2√15
D. 3√5
Hướng dẫn giải:
+ Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2; -1) và bán kính R.
+ Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
+ Để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( S) theo đường tròn có bán kính r= 2 thì:
R2 = d2 + r2 = 42 + 22 = 20
=> R= 2√5
Chọn A.
Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): - 2x + y- 6z+
m= 0 và mặt cầu ( S) : (x- 1) 2 +( y+ 2)2 + (z+ 3)2 = 41. Tìm điều kiện của m để
mặt phẳng (P) và mặt cầu ( S) có điểm chung
A. – 55 < m < 27
B. -55 ≤ m ≤ 27
C. m < -55; m > 27
D. m ≤ -55; m ≥ 27
Hướng dẫn giải:
+ Mặt cầu ( S) có tâm I(1; -2; -3) và bán kính R= √41
+ Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P):
+ Để mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung thì:
⇔ |14+ m| ⇔ 196 + 28m + m2 ≤ 1681
⇔ m2 + 28m – 1485 ≤ 0 ⇔ - 55 ≤ m ≤ 27
Chọn B
Dạng 20. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): A 1x + B1y + C1z+D1 = 0 và (Q):
A2x + B2y +C2z +D2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng hoặc bù với góc
giữa hai vecto pháp tuyến nP→ và nQ→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxz, tính góc hợp bởi mặt phẳng (α):
√2x+ y – 5= 0 và mặt phẳng (Oxy)
A. 30o
B. 90o
C. 45o
D. 60o
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến n1→(√2;1;0)
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 nên có vecto pháp tuyến n2→(0; 0; 1)
Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (Oxy) là:
Vậy góc giữa mặt phẳng (α) và (Oxy) là 90o.
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và
tạo với mặt phẳng (Q): y + z + 1= 0 góc 60o. Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. x- y= 0 hoặc y= 0
B. x- z= 0 hoặc x+ z= 0
C. y+ z= 0 hoặc x+ y= 0
Hướng dẫn giải:
D. x- z= 0 hoặc x- y= 0
