Dạng 5. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng ( P) cắt các trục tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A( 2; 0; 0); B( 0; -4; 0)
và C(0; 0; 2)
=> Phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x/2 + y/-4 + z/2 = 1
Chọn C.
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2;
-1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho
G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:
A. 2x - y+ 2z + 3 = 0
B. 2x – y - 2z – 6 =0
C. 2x + y - 2z + 9 = 0
D. 2x+ y + 3z - 9 =0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A( a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng (P)
phương trình có dạng:
Mà điểm G( 1; 2; 3) là trọng tâm tam giác ABC nên
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm
H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) sao
cho H là trực tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) có phương trình là:
A. 2x+ y + z - 6= 0
B. 2x + y + z+ 6 = 0
C. 2x – y + z +6 = 0
D. 2x+ y - z + 6 = 0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c) với , khi đó mặt phẳng ( P)
phương trình có dạng:
Ta
có:
Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên
Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1
hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc
toạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) có phương
trình là:
A. x – y - z- 3 = 0
B. x+ y+ z+ 3= 0
C. x+ y+ z - 3 = 0
D. x+ y – z+ 3 = 0
Hướng dẫn giải:
Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c > 0 . Khi đó
phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1.
Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :
Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2 .
=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3
⇔a=b=c=3
(P): x/3 + y/3 + z/3 = 1 ⇔ x + y + z - 3 = 0
Chọn C
Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vng góc với
đường thẳng d.
1. Phương pháp giải
+ Đường thẳng d:
phương.
nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉ
nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto
Đường thẳng :
chỉ phương.
+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vng góc với đường thẳng d
ta làm như sau:
Tìm vecto chỉ phương của d là ud→
Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→= ud→
Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp
tuyến nα→
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O
và vng góc với đường thẳng d:
A. 2x – z = 0
B. –y+ 2z= 0
C. x- y+ 2z= 0
D. x + z = 0
Hướng dẫn giải:
+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1)
+Mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến
là:
nP→ →= ud→(2; 0; -1)
+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:
2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0
