Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto



Đường thẳng :

chỉ phương.



+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua M và vng góc với đường thẳng d

ta làm như sau:

Tìm vecto chỉ phương của d là ud→

Vì d ⊥ (α) nên (α) có vecto pháp tuyến là nα→= ud→

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp

tuyến nα→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O



và vng góc với đường thẳng d:

A. 2x – z = 0



B. –y+ 2z= 0



C. x- y+ 2z= 0



D. x + z = 0



Hướng dẫn giải:

+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud→(2;0;-1)

+Mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyến

là:

nP→ →= ud→(2; 0; -1)

+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP→ là:

2(x – 0) + 0 (y -0) – 1. (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0



Chọn A.

Ví dụ 2: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1)

và C(0; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳng

BC.

A. 2x+ y – z - 3= 0

C. -2x + y + z - 4 = 0



B. x+ 2y - 2z + 2 = 0

D. x + y + z + 2 = 0



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = (-2; 1;1).

Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto

pháp tuyến là n→ = BC→ = (-2; 1; 1)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

-2( x+ 2) + 1. ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3;

0; -1). Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và

vng góc với đường thẳng (d):

A. 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0

C. 2x+ y+ 3z - 8=0



B. 2x+ y+ 3z + 8 = 0



D. 5x+ 27y – 5 z – 7= 0



Hướng dẫn giải:

+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:



?



=> I (2; 1; 1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3)

+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có VTPT

là n→(2;1;3)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0

Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1);

B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Viết phương

trình mặt phẳng ( P) đi qua G và vng góc với đường thẳng



(d) :



?



A. 2x - 3y+ z- 10= 0



B. 3x- 4y+ z - 1= 0



C. 3x+ 4y - z + 3= 0



D. 4x- 3y+ 2z - 10= 0



Hướng dẫn giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ điểm G là:



=> G( 2; 1; -1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→(3;-4;1)

.

+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có vecto pháp

tuyến là : n→(3;-4;1)

=> Phương trình mặt phẳng ( P): 3( x- 2) – 4( y - 1) + 1( z + 1) = 0

Hay 3x – 4y + z- 1= 0

Chọn B.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng và vng góc

với mặt phẳng (β) .

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là nβ→

• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α là nα→

• Lấy một điểm M trên Δ



• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα→

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa



đường thẳng

=0

A. x+ z = 0



và vng góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10

B. x+ y +1= 0



C. y - z + 1= 0



D. x – y + 2z= 0



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A ( -1; 2; 1) và có vecto chỉ phương u→ (-1;2;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→ = (1;2;-1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vng góc với (Q) nên (P) có một vecto

pháp tuyến là

n→ =[u→ ,nQ→ ]= ( - 4; 0; -4) = - 4(1; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( -1; 2; 1) và có VTPT n'→ (1; 0; 1) là:

1( x + 1) + 0( y - 2) + 1( z - 1) = 0 hay x+ z = 0

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng

98= 0 có phương trình là

A. 2x+ 3y+ 8z- 10= 0



và vng góc với mặt phẳng α : 2x – y + 3z –



B. 5x+ 8y – 6z- 1= 0



C. 5x+ 8y+ 3z- 1= 0



D.5x - 8y- 6z – 5 = 0



Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆→ (2;2; -1) và đi qua điểm A( -1; 1;

-3).

+ Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến là: nα→ ( 2; -1; 3)

+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) nên (P) có

một vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)

Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2;

-1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0. Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B và

vng góc với mặt phẳng α có phương trình là

A. x – 3y – 5z + 5 = 0



B. 3x - 4y – 5z = 0.



C. 3x - 4y – 5z – 2= 0



D. 3x+ 4y – 5z = 0



Hướng dẫn giải:

Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương

Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến nα→ (2 ; -1 ; 2)

+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vng góc với

mặt phẳng (α) nên (P) có một VTPT là n → = [AB→ , nα→ ] = (-3; 4; 5) và đi qua

A(3; 1; 1)

+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0



Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0

Chọn B.

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song

với Δ'; (Δ; Δ' chéo nhau).

1. Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1→ ; u2→

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là nα→ = [u1→, u2→]

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp

tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng



A.– 6x+ y+ 2z- 3= 0

C. 6x+ y- 2z+ 1= 0



B. -6x+ y+ 2z+ 3= 0

D. 6x- y- 2z+ 4= 0



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u1→(0;-2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u2→(1;2;2)

Ta có: [u1→,u2→] = ( - 6; 1; 2)



Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

phương với [u1→,u2→] . Chọn n→ ( -6; 1; 2)



nên → cùng



Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n → (-6; 1; 2) có phương

trình là:

- 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy khơng thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường

thẳng

∆1 và song song với đường thẳng ∆2 có phương trình là

A. x+ 4y + 2z + 2 = 0

C. 3x – 2y + 2z + 6 = 0



Mặt phẳng α chứa



B. 3x – 2y + 2z – 6 = 0

D. x+ 4y+ 2z - 2 = 0



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆_1 đi qua điểm M (0; 1; -2) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 1; -2)

Đường thẳng d_2 đi qua điểm N (0; 0; 2) có vecto chỉ phương u2→ (2; 2; -1)

Ta có: [u1→, u2→] = (3; -2; 2)



Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có

n→ cùng phương với [u1→, u2→] .Chọn n→ ( 3; -2; 2)



nên



Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (0; 1; -2) và nhận VTPT n → ( 3; -2; 2) có phương

trình là:

3( x- 0) – 2( y – 1) + 2( z+ 2) = 0 hay 3x – 2y + 2z + 6 = 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( thấy khơng thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 3x - 2y + 2z + 6 = 0

Chọn C.

Ví



dụ



3: Trong



khơng



gian



hệ



thẳng

chứa d và song song với d’

A. x+ 3y - 2z - 24= 0



B. x+ 3y+ 2z - 24=0



C. x - 3y+ 2z + 12= 0



D. x - 3y - 2z - 1= 0



tọa



độ



Oxyz,



cho



đường



.Viết phương trình mặt phẳng (P)



Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 0; -1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u2→ (1; 1; -1)

Ta có: [u1→, u2→] = (1; 3; 2)



Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có

phương với [u1→, u2→]. Chọn n→(1;3;2) .



nên n→ cùng



Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n →(1;3;2) có

phương trình là:

1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy khơng thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2),

C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường

thẳng CD có phương trình là:

A. 10x+ 9y + 5z - 74= 0



B. 10x – 9y – 5z+ 2= 0



C. 10x - 9y + 5z + 56= 0



D. Đáp án khác



Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→ (- 4; 5; -1); CD→( -1; 0; 2) =>[AB→, CD→] = ( 10; 9; 5)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên



ta có



nên n→ cùng phương với [AB→, CD→] . Chọn n→ (10; 9; 5)



Vậy phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n → (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3)

là:

10. (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy khơng thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0

Chọn A.

Dạng 9. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm M

không thuộc d

1. Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng d là u → . Lấy 1 điểm N trên d, tính tọa độ

vecto MN→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u→, MN→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp

tuyến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng



d:

đường thẳng d.

A. 10x+ 6y – 13z + 1= 0

C. 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Hướng dẫn giải:



. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và

B. 10 x – 6y- 13z + 12 = 0

D. 10x – 6y – 13z+ 19 = 0