Dạng 20. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 170 trang )
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxz, tính góc hợp bởi mặt phẳng (α):
√2x+ y – 5= 0 và mặt phẳng (Oxy)
A. 30o
B. 90o
C. 45o
D. 60o
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (α) có vecto pháp tuyến n1→(√2;1;0)
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 nên có vecto pháp tuyến n2→(0; 0; 1)
Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (Oxy) là:
Vậy góc giữa mặt phẳng (α) và (Oxy) là 90o.
Chọn B.
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và
tạo với mặt phẳng (Q): y + z + 1= 0 góc 60o. Phương trình mặt phẳng (P) là:
A. x- y= 0 hoặc y= 0
B. x- z= 0 hoặc x+ z= 0
C. y+ z= 0 hoặc x+ y= 0
Hướng dẫn giải:
D. x- z= 0 hoặc x- y= 0
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0
Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(0; 1; 0)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(0;1; 1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→.nQ→ = 0 ⇔ B = 0
Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60o nên ta có:
Chọn C= 1 , ta có A = ±1
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp
tuyến nP→(A;B;C) là x+ z = 0 hoặc –x + z= 0
Chọn B.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ y- 10= 0 và
mặt phẳng ( Q): x + mz +19= 0. Xác định m để góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)
bằng 45o?
A. m= 0
B. m = 1
C. m = -2
D. m= 3
Hướng dẫn giải:
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→(1;1;0)
+ Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến là n'→(1;0;m)
+ Để góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bẳng 45o thì:
Chọn A.
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1;
1; 1) và C(0; 1; -2). Mặt phẳng (Q) có phương trình: 2x+ y- 4z+ m=0 . Xác định
cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)
Hướng dẫn giải:
+ Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P):
Ta có: AB→(0; -3; 1); AC→( -1; - 3; -2)
[AB→;AC→] = ( 9; -1; -3)
Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng (P) ta có
với [AB→;AC→]
nên n→ cùng phương
Chọn n→( 9; -1; -3) ta được vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
+ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n'→(2; 1;- 4).
+ Cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và ( Q) là
Chọn D.
Ví dụ 5: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
d:
và vng góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y – z + 1 = 0. Mặt
phẳng (R) có phương trình: 2x+ my+ z – 9= 0 . Xác định m để cos( (P); (R))=
3/√12
A.m = ±2
B. m = ±1
C. m = ±3
D. m= 0
Hướng dẫn giải:
+ Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P):
Đường thẳng d đi qua điểm A (0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u→( -1; 2; 1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1; 2; -1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và vng góc với (Q) nên (P) có một vecto
pháp tuyến là
[u→;nQ→] = ( - 4; 0; -4) chọn nP→(1; 0; 1)
+ Mặt phẳng (R) có vecto pháp tuyến là: nR→( 2 ;m;1)
Theo đầu bài ta có; cos( (P); (R)) = 3/√12
⇔ 5+ m2 = 6
⇔ m2 = 1 nên m= 1 hoặc m = -1
Chọn B.
Dạng 21. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng (d) và tạo
với mặt phẳng (Q): Ax+ By + Cz + D = 0 một góc Φ cho trước.
1. Phương pháp giải
• Tìm vecto pháp tuyến của (Q) là nQ→, vecto chỉ phương của (d) là u→
• Gọi vecto pháp tuyến của (P) là nP→
Dùng phương pháp vô định giải hệ
• Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+ 2y + z - 3= 0
và đường thẳng d:
. Viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cosα = √3/6
A. y- z+ 3= 0
B. 5x- 3y + 8z- 10= 0
C. 2x- 3y+ 5z- 10= 0
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax+ By + Cz + D = 0 (A 2 + B2 + C2 >
0) nhận vectơ n→( A;B; C) làm vecto pháp tuyến.
Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1; -1; -1)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ→(1; 2; 1)
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→.nQ→ = 0
⇔ A- B – C= 0 ⇔ C = A – B
Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cosα = √3/6
