Chương 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma

trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần

từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a n1, a n −12 ,

… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.

• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường

chéo chính bằng 0.

+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:

a 11

0



A =  ...



0

0





a 12

a 22

...

0

0



... a 1n −1

... a 2 n −1

...

...

... a n −1 n −1

...

0



a 1n 

a 2n 



... 



a n −1 n 

a nn 





+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:

 a 11

a

 21

A =  ...



a n −11

 a n1





0

a 22

...

a n −1 2

a n2



...

0

...

0

...

...

... a n −1 n −1

... a n n −1



0 

0 



... 



0 

a nn 





Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp

3.

Giải:

1 2 − 5

1 2 − 5

1 0 0 

 2 − 1 4  B = 0 1 4  C =  2 − 1 0 

A=

 ;



 ;





1 1

0 0 6 

1 1 6 

6















• Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài

đường chéo chính đều bằng 0

• Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi

là ma trận đơn vị cấp n:

1

0



E n = ...



0

0





0

1

...

0

0



5



...

...

...

...

...



0

0

...

1

0



0

0



...



0

1





• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)

• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)

6 

2

2 5 − 7 

5

7 

Ví dụ 5. Cho ma trận A = 

 và B = 



6 7 1 

− 7 m 2 







a) Tìm AT và – A

b) Tìm m để AT = B

Giải:

 2 6

− 2 − 5 7 





a) Ta có A =  5 7  và A = 



 − 6 − 7 − 1

− 7 1 





T



6 

 2 6  2

 5 7 =  5

7  ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1

b) A = B ⇔ 

 



− 7 1   − 7 m 2 



 



T



2. Phép toán trên ma trận

a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số



Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m × n: A = [a ij ] m×n ; B = [ b ij ] m×n

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, kí hiệu A + B và được xác định



như sau: A + B = [a ij + b ii ] m×n

Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp m × n, kí hiệu α A và được xác

định như sau: αA = [α.a ij ] m×n

Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính

Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m × n, α ; β là các số bất kì ta luôn

có:

1) A + B = B + A

2) (A + B) +C = A + (B + C)

3) A + 0 = A

4) A + (-A) = 0

5) 1.A = A

6) α (A + B) = α A + α B



6



7) ( α + β )A = α A + β A

8) ( α β )A = α ( β B)

1 − 2 4 

2 1 − 2

; B = 2 1 3  . Khi đó

0 1 − 1







Ví dụ 6. Cho các ma trận A = 



1 − 2 4 

2 1 − 2 − 4 − 7 14 

2A − 3B = 2.

 + (−3).2 1 3  =  − 6 − 1 − 11

0 1 − 1



 



1 3



Ví dụ 7. Cho ma trận B = 

 . Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E

5 3

Giải:

1

2



1 1 3 1 0 − 1 / 2 3 / 2

−

=

2 5 3 0 1  5 / 2 1 / 2 

 

 





Phương trình đã cho ⇔ C = B − E = .

b) Phép nhân ma trận với ma trận

Cho hai ma trận :

 a 11

a

21

A= 

 ...



a m1



a 12

a 22

...

a m2



... a 1n 

... a 2 n 

;

... ... 



... a mn 



 b11

b

21

B= 

 ...



b n1





b 12

b 22

...

bn2



... b1p 

... b 2 p 



... ... 



... b np 





Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.

Định nghĩa 4.

Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m × p, kí hiệu là AB và được xác

định như sau:

 c11

c

21

AB = 

 ...



c m1



c12

c 22

...

c m2



... c1n 

... c 2 n 



... ... 



... c mn 



n



trong đó c ij = a i1 b1 j + a i 2 b 2 j + ... + a in b nj = ∑ a ik b kj ; ( i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p )

k =1



Chú ý 1.

• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma

trận đứng sau.

• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước

và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.



7



• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij là tích vô hướng của dòng

thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.

1 2

0 1 4

 và B = 1 3 2 . Tính A.B và B.A

3 1 







Ví dụ 8. Cho hai ma trận A = 

Giải :



1 2 0 1 4 1.0 + 2.1 1.1 + 2.3 1.4 + 2.2 2 7 8 

.

=

=



3 1  1 3 2 3.0 + 1.1 3.1 + 1.3 3.4 + 1.2  1 6 14



Ta có A.B = 



Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.

1 2 3 − 1

 2 − 1 0





Ví dụ 9. Cho ma trận A = 

 ; B = 2 − 1 1 0  . Tính A.B, BA

 − 3 2 0

3 0 2 1 







Giải:

1 2 3 − 1

7 − 1

 2 − 1 0 

 3 5

Ta có A.B = 

.2 − 1 1 0  = 1 − 8 − 7 3 

 − 3 2 0  3 0 2 1  









Còn B.A không tồn tại

Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận

Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.

1) (AB)C = A(BC)

2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD

3) α (AB) = ( α A)B = A( α B)

4) AE = A;



EB =B



Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A

5) ( AB ) = BT A T

T



Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu A.B = θ thì chưa chắc

A = θ hoặc B = θ .



0 1 

0 0 

; B = 1 0 .

0 0 







Ví dụ 10. Cho các ma trận A = 



1 0

0 0 

; B.A = 0 1 và AB ≠ BA

0 0 







Khi đó A.B = 



1 0

0 0 

1 0 0 0 0 0

; B = 0 1 , ta có A.B = 0 0.0 1 = 0 0

0 0 









 





Ví dụ 11. Cho A = 



8



c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định

A0 = E; An = An -1. A ( n là số nguyên dương)

a b 

 . Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình

c d 



Ví dụ 12. Cho A = 



X 2 − (a + d )X + (ad − bc) = θ



Giải:

a b  a b 

a b 

1 0

. c d  − (a + d). c d  + (ad − bc).0 1

c d 













2

Ta có A − (a + d )A + (ad − bc)E = 



0  0 0

 a 2 + bc (a + d )b  a (a + d) b(a + d)  ad − bc

=

= θ . (đpcm)

=

−

+ 0

ad − bc 0 0

(a + d)c bc + d 2   c(a + d ) d (a + d)  

 





1 1

. Tính A2, A3, ..., An (n là số tự nhiên)

0 1







Ví dụ 13. Cho ma trận A = 

Giải:

1 1 1 1



1 2



1 2 1 1



1 3



2

3

=

Ta có A = 

; A =



=

 ; .... ; tương tự ta có thể dự

0 1 0 1 0 1





 



0 1  0 1 0 1



1 n 



n

n

đoán A = 

 . Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A .

0 1 



Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có dạng

i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j )

ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i )

iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hd i + d j (hc i + c j )

1 − 2 4 6 





Ví dụ 14. Cho ma trận A = 2 1 − 2 5 . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:

1 − 1 2 4 







(1) nhân dòng 2 với 2

(2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2

(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3

Giải:

6

1 − 2 4 6 

1 − 2 4

2 1 − 2 5 → 4 2 − 4 20

Phép biến đổi (1): A = 







1 − 1 2 4 

1 − 1 2

4











9



1 − 2 4 6 

 2 1 − 2 5

 2 1 − 2 5  → 1 − 2 4 6 

Phép biến đổi (2): A = 







1 − 1 2 4 

1 − 1 2 4









6

1 − 2 4 6 

 1 −2 4

2 1 − 2 5 →  2

1 −2 5 

Phép biến đổi (3): A = 







1 − 1 2 4 

 − 3 − 3 6 − 6











Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất

i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng

bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).

ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên

phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.

Ví dụ 15. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang

1

0

A=

0



0



1 5

1 −1

0 0

0 0



6 8

1 − 1



0 1

3 5

; B=

0 0

2 − 5





0 0

0 0



3

2

2

0



4 7

1 − 1 2

8 − 1

 ; C = 0 2 1  .





1 − 1

0 0 0 







0 1



10



§2. Định thức của ma trận vuông

1. Khái niệm định thức

 a 11

a

21

Cho ma trận A = 

 ...



a n1



a 12

a 22

...

a n2



... a 1n 

... a 2 n 

 . Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A

... ... 



... a nn 



ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij (i,j

= 1, 2, 3, ..., n).

 a 11



Ví dụ 1. A = a 21

a 31





a 12

a 22

a 32



a 13 

a 23  . Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A



a 33 





Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là

a

M 11 =  22

a 32



a 23 

a 21

; M 12 = a

a 33 

 31



a 23 

a 21

; M 13 = a

a 33 

 31



a 22 

a 32 





a

M 21 =  12

a 32



a 13 

 a 11

; M 22 = a

a 33 

 31



a 13 

 a 11

; M 23 = a

a 33 

 31



a 12 

a 32 





a

M 31 =  12

a 22



a 13 

 a 11

; M 32 = a

a 23 

 21



a 13 

 a 11

; M 33 = a

a 23 

 21



a 12 

a 22 





 a 11

a

21

Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A = 

 ...



a n1



a 12

a 22

...

a n2



... a 1n 

... a 2 n 

.

... ... 



... a nn 



Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc A được định nghĩa như sau:

* Định thức cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11

 a 11

a 21



* Định thức cấp 2: A = 



Ví dụ 2. Tính định thức D =

Giải: Ta có D =



a 12 

a 11

 thì det(A) = a

a 22 

21

1 6

2 14



1 6

= 1.14 − 6.2 = 2 .

2 14



x2

Ví dụ 3. Giải phương trình:

9



25

=0

4



11



a 12

= a 11a 22 − a 12 a 21

a 22



x2

Giải: Ta có

9



25

= 4 x 2 − 25.9 .

4



2

2

Do đó PT ⇔ 4 x − 25.9 = 0 ⇔ x =



25.9

± 15

⇔x=

.

4

2



* Định thức cấp 3:

a 11

det A = a 21

a 31



a 12

a 22

a 32



a 13

a 23 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 21 .a 32 − a 13 .a 22 .a 31 − a 12 .a 21 .a 33 − a 11 .a 23 .a 32

a 33



Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà

mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính

hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với

đường chéo chính.

* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc

các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường

chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”

sau:

•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



Dấu +

•



•



•



Dấu •



•



Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp

3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ

nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo

như quy tắc thể hiện trên hình:

Dấu -



a

1

a2

a3



Dấu +



a

1

a2



12



b

1

b2 Dấu

b3

b

1



Dấu2

b+



c1

c2

c3

c1

c2



1 −2 3

Ví dụ 4.Tính định thức ∆ 3 = 2 0 1

2 −2 1



Giải: Ta có ∆ 3 = 1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10.

x2

Ví dụ 5. Giải phương trình 1

4



x 1

1 1=0

2 1



Giải:

x2

Ta có 1

4



x 1

x = 1

1 1 = x 2 − 3x + 2 . Do đó PT ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 

.

x = 2

2 1



• Định thức cấp n (n ≥ 3 ):

n



det(A) =



∑a

j=1



ij



(−1) i + j det(M ij ) (với i bất kỳ) (Khai triển định thức theo dòng i)



n



hoặc det(A) =



∑a

i =1



ij



(−1) i + j det(M ij ) (với j bất kỳ) (Khai triển định thức theo cột j)



2011 0

2010 x 2

Ví dụ 6. Giải phương trình :

2009 1

2008 4

2011 0

2010 x 2

∆4 =

Giải: Đặt

2009 1

2008 4

x2

∆ 4 = 2011.(−1)1+1 . 1

4



0

x

1

2



0

x

1

2



0

1

=0

1

1



0

1

. Khai triển định thức theo dòng 1:

1

1



x 1

x2

1 1 = 2011. 1

2 1

4



x 1

1 1 . Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu được

2 1



x = 1

2

∆ 4 = 2011( x 2 − 3x + 2) . Khi đó PT ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ 

.

x = 2



2. Tính chất của định thức

A =[aij]n x n với ∆ n = det(A)

Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:



(a



i1



a i2 ....a ij ....a in ) = ( bi1 bi2 ....bij ....bin ) + ( ci1 ci2 ....cij ....cin ) ;a ij = bij + cij (∀j = 1, n)

13



Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu

n



a ij = ∑ α k a kj (∀j = 1, n )

k =1

k≠



n



. Ký hiệu



di = ∑ αkdk

k =1

k ≠i



; dk = (ak1 ak2 ... akn)



Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị)

Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:

det(AT) = det(A)

a b 

T

 . CMR det(A ) =det(A)

c d 



Ví dụ 1. Cho A = 



Giải: Ta có det(A) =



a b

a c

= ad − bc . Suy ra đpcm.

= ad- bc và det(AT) =

c d

b d



Chú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng

đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các

dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột".

Tính chất 2. (Tính phản xứng).

Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.

Ví dụ 2. So sánh hai định thức: D =



c

a b

'

và D =

c d

a



d

b



Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D

Hệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.

Chứng minh

Gọi định thức có hai hàng như nhau là ∆ n . Đổi chỗ hai hàng đó ta được, theo tính chất 2

ta có

∆ n = - ∆ n ⇔ 2∆ n = 0 ⇒ ∆ n = 0



Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số

k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ

a 11

...

ka i1

...

a n1



a 12

...

ka i 2

...

a n2



... a 1n

a 11 a 12

... ...

... ...

... ka in = k. a i1 a i 2

... ...

... ...

a n1 a n 2

... a nn



...

...

...

...

...



a 1n

...

a in

...

a nn



Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa

nhân tử chung ra ngoài dấu định thức



14



Hệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.

Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức

có hai dòng giống nhau nên nó bằng không.

12 −2 6

7

17 −68 34 −204

Ví dụ 3. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17: ∆ 4 =

2

1

1

−4

6

7 11

9

Giải:

12

−2

6

7

12 − 2 6

7

17.1 17.(−4) 17.2 17.(−12)

1 − 4 2 − 12

= 17.

= 17.D .

Ta có ∆ 4 =

2

1

1

−4

2 1 1 −4

6

7

11

9

6

7 11 9

17

Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó ∆ 4 



Tính chất 3. (Tính cộng tính). Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thức

bằng tổng của hai định thức.

a11

L

bi1 + ci1

L

a n1



a12

L

bi2 + ci2

L

an2



L

a1n

a11 a12

L

L

L L

L bin + cin = bi1 bi2

L

L

L L

L

a nn

a n1 a n 2



L

L

L

L

L



a1n a11 a12

L L L

bin + ci1 ci2

L L L

a nn a n1 a n 2



L

L

L

L

L



a1n

L

cin

L

a nn



Hệ quả 3. Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định

thức ấy bằng không.

Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.

Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi.

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

trong quá trình tính định thức cấp n:

* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j ) , phép biến đổi này định thức đổi dấu

* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i ) , phép biến đổi này định thức tăng lên

k lần.

* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hd i + d j (hc i + c j ) , phép biến

đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.



15