§1. Ma trận và các phép toán trên ma trận
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (895.52 KB, 166 trang )
• Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau và bằng n. Một ma
trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n. Khi đó các phần
từ a11, a22, … , ann gọi là các phần tử thuộc đường chéo chính, còn các phần tử a n1, a n −12 ,
… , a1n gọi là các phần tử thuộc đường chéo phụ.
• Ma trận tam giác là ma trận vuông khi có các phần tử nằm về một phía của đường
chéo chính bằng 0.
+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với i > j:
a 11
0
A = ...
0
0
a 12
a 22
...
0
0
... a 1n −1
... a 2 n −1
...
...
... a n −1 n −1
...
0
a 1n
a 2n
...
a n −1 n
a nn
+) Ma trận A = [aij]n x n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với i < j:
a 11
a
21
A = ...
a n −11
a n1
0
a 22
...
a n −1 2
a n2
...
0
...
0
...
...
... a n −1 n −1
... a n n −1
0
0
...
0
a nn
Ví dụ 4. Cho một ví dụ về ma trận vuông cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác dưới cấp
3.
Giải:
1 2 − 5
1 2 − 5
1 0 0
2 − 1 4 B = 0 1 4 C = 2 − 1 0
A=
;
;
1 1
0 0 6
1 1 6
6
• Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà có tất cả các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính đều bằng 0
• Ma trận chéo cấp n có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị cấp n:
1
0
E n = ...
0
0
0
1
...
0
0
5
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
• Tập các ma trận cấp m x n trên trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)
• Tập các ma trận vuông cấp n trên trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)
6
2
2 5 − 7
5
7
Ví dụ 5. Cho ma trận A =
và B =
6 7 1
− 7 m 2
a) Tìm AT và – A
b) Tìm m để AT = B
Giải:
2 6
− 2 − 5 7
a) Ta có A = 5 7 và A =
− 6 − 7 − 1
− 7 1
T
6
2 6 2
5 7 = 5
7 ⇔ m 2 = 1 ⇔ m = ±1
b) A = B ⇔
− 7 1 − 7 m 2
T
2. Phép toán trên ma trận
a) Phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với 1 số
Định nghĩa 3. Cho hai ma trận cùng cấp m × n: A = [a ij ] m×n ; B = [ b ij ] m×n
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, kí hiệu A + B và được xác định
như sau: A + B = [a ij + b ii ] m×n
Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp m × n, kí hiệu α A và được xác
định như sau: αA = [α.a ij ] m×n
Hiệu của A trừ B: A – B = A + (-B)
Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản của phép toán tuyến tính
Tính chất 1. Cho A, B, C là các ma trận bất kì cấp m × n, α ; β là các số bất kì ta luôn
có:
1) A + B = B + A
2) (A + B) +C = A + (B + C)
3) A + 0 = A
4) A + (-A) = 0
5) 1.A = A
6) α (A + B) = α A + α B
6
7) ( α + β )A = α A + β A
8) ( α β )A = α ( β B)
1 − 2 4
2 1 − 2
; B = 2 1 3 . Khi đó
0 1 − 1
Ví dụ 6. Cho các ma trận A =
1 − 2 4
2 1 − 2 − 4 − 7 14
2A − 3B = 2.
+ (−3).2 1 3 = − 6 − 1 − 11
0 1 − 1
1 3
Ví dụ 7. Cho ma trận B =
. Tìm ma trận C sao cho 3B – 2(B + C) = 2E
5 3
Giải:
1
2
1 1 3 1 0 − 1 / 2 3 / 2
−
=
2 5 3 0 1 5 / 2 1 / 2
Phương trình đã cho ⇔ C = B − E = .
b) Phép nhân ma trận với ma trận
Cho hai ma trận :
a 11
a
21
A=
...
a m1
a 12
a 22
...
a m2
... a 1n
... a 2 n
;
... ...
... a mn
b11
b
21
B=
...
b n1
b 12
b 22
...
bn2
... b1p
... b 2 p
... ...
... b np
Trong đó, ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B.
Định nghĩa 4.
Tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp m × p, kí hiệu là AB và được xác
định như sau:
c11
c
21
AB =
...
c m1
c12
c 22
...
c m2
... c1n
... c 2 n
... ...
... c mn
n
trong đó c ij = a i1 b1 j + a i 2 b 2 j + ... + a in b nj = ∑ a ik b kj ; ( i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p )
k =1
Chú ý 1.
• Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước bằng số dòng của ma
trận đứng sau.
• Cỡ của ma trận AB: Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước
và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau.
7
• Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij là tích vô hướng của dòng
thứ i của ma trận đứng trước và cột thứ j của ma trận đứng sau.
1 2
0 1 4
và B = 1 3 2 . Tính A.B và B.A
3 1
Ví dụ 8. Cho hai ma trận A =
Giải :
1 2 0 1 4 1.0 + 2.1 1.1 + 2.3 1.4 + 2.2 2 7 8
.
=
=
3 1 1 3 2 3.0 + 1.1 3.1 + 1.3 3.4 + 1.2 1 6 14
Ta có A.B =
Nhưng số cột của B khác số dòng của A nên không tồn tại tích BA.
1 2 3 − 1
2 − 1 0
Ví dụ 9. Cho ma trận A =
; B = 2 − 1 1 0 . Tính A.B, BA
− 3 2 0
3 0 2 1
Giải:
1 2 3 − 1
7 − 1
2 − 1 0
3 5
Ta có A.B =
.2 − 1 1 0 = 1 − 8 − 7 3
− 3 2 0 3 0 2 1
Còn B.A không tồn tại
Các tính chất cơ bản của phép nhân ma trận
Tính chất 2. Giả sử phép nhân các ma trận dưới đây đều thực hiện được.
1) (AB)C = A(BC)
2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD
3) α (AB) = ( α A)B = A( α B)
4) AE = A;
EB =B
Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A
5) ( AB ) = BT A T
T
Chú ý 2. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Nếu A.B = θ thì chưa chắc
A = θ hoặc B = θ .
0 1
0 0
; B = 1 0 .
0 0
Ví dụ 10. Cho các ma trận A =
1 0
0 0
; B.A = 0 1 và AB ≠ BA
0 0
Khi đó A.B =
1 0
0 0
1 0 0 0 0 0
; B = 0 1 , ta có A.B = 0 0.0 1 = 0 0
0 0
Ví dụ 11. Cho A =
8
c) Luỹ thừa của ma trận vuông: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta xác định
A0 = E; An = An -1. A ( n là số nguyên dương)
a b
. Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình
c d
Ví dụ 12. Cho A =
X 2 − (a + d )X + (ad − bc) = θ
Giải:
a b a b
a b
1 0
. c d − (a + d). c d + (ad − bc).0 1
c d
2
Ta có A − (a + d )A + (ad − bc)E =
0 0 0
a 2 + bc (a + d )b a (a + d) b(a + d) ad − bc
=
= θ . (đpcm)
=
−
+ 0
ad − bc 0 0
(a + d)c bc + d 2 c(a + d ) d (a + d)
1 1
. Tính A2, A3, ..., An (n là số tự nhiên)
0 1
Ví dụ 13. Cho ma trận A =
Giải:
1 1 1 1
1 2
1 2 1 1
1 3
2
3
=
Ta có A =
; A =
=
; .... ; tương tự ta có thể dự
0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1
1 n
n
n
đoán A =
. Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp công thức A .
0 1
Định nghĩa 5. Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A = [aij]m x n là các phép biến đổi có dạng
i) đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j )
ii) nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i )
iii) nhân một dòng (cột) với một số rồi cộng vào dòng (cột) khác: hd i + d j (hc i + c j )
1 − 2 4 6
Ví dụ 14. Cho ma trận A = 2 1 − 2 5 . Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau:
1 − 1 2 4
(1) nhân dòng 2 với 2
(2) hoán vị dòng 1 cho dòng 2
(3) nhân dòng 2 với – 2 cộng vào dòng 3
Giải:
6
1 − 2 4 6
1 − 2 4
2 1 − 2 5 → 4 2 − 4 20
Phép biến đổi (1): A =
1 − 1 2 4
1 − 1 2
4
9
1 − 2 4 6
2 1 − 2 5
2 1 − 2 5 → 1 − 2 4 6
Phép biến đổi (2): A =
1 − 1 2 4
1 − 1 2 4
6
1 − 2 4 6
1 −2 4
2 1 − 2 5 → 2
1 −2 5
Phép biến đổi (3): A =
1 − 1 2 4
− 3 − 3 6 − 6
Định nghĩa 6. Ma trận dạng bậc thang là ma trận có tính chất
i) Các dòng khác không (tức là có một phần tử khác 0) nếu có thì luôn ở trên các dòng
bằng không (tức là hàng có tất cả các phần tử bằng 0).
ii) Ở hai dòng khác 0 kề nhau thì phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng dưới bao giờ cũng ở bên
phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở dòng trên.
Ví dụ 15. Các ma trận sau là ma trận dạng bậc thang
1
0
A=
0
0
1 5
1 −1
0 0
0 0
6 8
1 − 1
0 1
3 5
; B=
0 0
2 − 5
0 0
0 0
3
2
2
0
4 7
1 − 1 2
8 − 1
; C = 0 2 1 .
1 − 1
0 0 0
0 1
10
§2. Định thức của ma trận vuông
1. Khái niệm định thức
a 11
a
21
Cho ma trận A =
...
a n1
a 12
a 22
...
a n2
... a 1n
... a 2 n
. Xét phần tử aij của A, bỏ đi dòng i và cột j của A
... ...
... a nn
ta được ma trận vuông cấp n -1, ký hiệu Mij: gọi là ma trận con con ứng với phần tử aij (i,j
= 1, 2, 3, ..., n).
a 11
Ví dụ 1. A = a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23 . Tìm các ma trận con ứng với các phần tử của A
a 33
Giải: Các ma trận con ứng với các phần tử của A là
a
M 11 = 22
a 32
a 23
a 21
; M 12 = a
a 33
31
a 23
a 21
; M 13 = a
a 33
31
a 22
a 32
a
M 21 = 12
a 32
a 13
a 11
; M 22 = a
a 33
31
a 13
a 11
; M 23 = a
a 33
31
a 12
a 32
a
M 31 = 12
a 22
a 13
a 11
; M 32 = a
a 23
21
a 13
a 11
; M 33 = a
a 23
21
a 12
a 22
a 11
a
21
Định nghĩa 1. Cho một ma trận A vuông cấp n: A =
...
a n1
a 12
a 22
...
a n2
... a 1n
... a 2 n
.
... ...
... a nn
Định thức của A, ký hiệu det(A) hoặc A được định nghĩa như sau:
* Định thức cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11
a 11
a 21
* Định thức cấp 2: A =
Ví dụ 2. Tính định thức D =
Giải: Ta có D =
a 12
a 11
thì det(A) = a
a 22
21
1 6
2 14
1 6
= 1.14 − 6.2 = 2 .
2 14
x2
Ví dụ 3. Giải phương trình:
9
25
=0
4
11
a 12
= a 11a 22 − a 12 a 21
a 22
x2
Giải: Ta có
9
25
= 4 x 2 − 25.9 .
4
2
2
Do đó PT ⇔ 4 x − 25.9 = 0 ⇔ x =
25.9
± 15
⇔x=
.
4
2
* Định thức cấp 3:
a 11
det A = a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 21 .a 32 − a 13 .a 22 .a 31 − a 12 .a 21 .a 33 − a 11 .a 23 .a 32
a 33
Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà
mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.
* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính
hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với
đường chéo chính.
* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc
các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường
chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”
sau:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Dấu +
•
•
•
Dấu •
•
Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp
3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ
nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo
như quy tắc thể hiện trên hình:
Dấu -
a
1
a2
a3
Dấu +
a
1
a2
12
b
1
b2 Dấu
b3
b
1
Dấu2
b+
c1
c2
c3
c1
c2
