CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

(v) λ(x + y) = λx + λy.

(vi) λ(µx) = (λµ)x

(vii) (λ + µ)x = λx + µx

(viii) 1.x = x.

Chứng minh: Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép toán trên

các số thực.

c) Phép trừ vectơ

Định nghĩa 4

Hiệu của hai vectơ n thành phần x và y được xác định như sau:

x – y = x + (-y)

Vậy, với x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) thì

x – y = (x1 – y1, x2 – y2, …, xn - yn).

3. Định nghĩa không gian vectơ tổng quát

Không gian vectơ n thành phần, ký hiệu ¡



n



là tập hợp tất cả các vectơ n thành phần



cùng với hai phép toán: phép cộng giữa hai vectơ n thành phần và phép nhân một số thực

với một vectơ n thành phần thoả mãn 8 tính chất (4 tính chất ở định lý 3.2 và 4 tính chất

định lý 3.2) gọi là 8 tiên đề của không gian véc tơ.

Từ định nghĩa này, ta có thể mở rộng khái niệm không gian véc tơ cho tập hợp E bất

kỳ khác rỗng.

Định nghĩa 5. Cho tập E khác rỗng. Trên E trang bị hai phép toán : phép cộng hai

phần tử của E, phép nhân một phần tử của E với một phần tử của trường K ( ¡ hoặc £ ,

trong giáo trình này chỉ xét trường số thực ¡ ; các kết của của các phép toán đó cũng là

phần tử của E). Nếu hai phép toán đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ thì E cùng

với hai phép toán đó được gọi là không gian véc tơ trên trường K.

Ví dụ 1. Tập Matm xn(K) các ma trận cấp m x n với các phần tử trên trường K cùng với

phép cộng 2 ma trận và phép nhân ma trận với 1 số. Theo định lý 2.1 ta có các phép toán

đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ. Vậy Mat mx n(K) là một không gian véc tơ

với véc tơ không là ma trận không cấp m x n ; phần tử đối của ma trận A = [a ij]m x n là ma

trận – A = [-aij]m x n

Ví dụ 2. Gọi Pn là tập các đa thức bậc không quá n với hệ số thực



34



{



}



Pn = p p = a o + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n ; a i ∈ R (i = 0, n ) với hai phép toán xác định như



sau :

+) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … + anxn ; q = bo + b1x + b2x2 + … + bnxn ∈ Pn thì

p + q = (ao + bo) + (a1+b1)x + (a2 + b2)x2 + … + (an+bn)xn ∈ Pn

+) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … + anxn ∈ Pn ; k ∈ R thì

kp = kao + ka1x + ka2x2 + … + kanxn ∈ Pn

Khi đó Pn cùng với hai phép toán trên là một không gian véc tơ với phần tử không là

đa thức 0 ; phần tử đối của đa thức p là - p = - ao - a1x - a2x2 - … - anxn .

Ví dụ 3. Gọi Qn là tập các đa thức bậc n với hệ số thực



{



Q n = p p = a o + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n ; a i ∈ R (i = 0, n ); a n ≠ 0



}



với hai phép toán xác



định như ở ví dụ 3.2.Khi đó Qn với hai phép toán này không phải là không gian véc tơ vì :

+) Nếu p = ao + a1x + a2x2 + … an-1xn-1 + xn ; q = bo + b1x + b2x2 + …+bn-1xn-1- xn ∈ Q n

nhưng p + q = (ao + bo) + (a1+b1)x + (a2 + b2)x2 + … + (an-1+bn-1)xn-1 ∉ Q n .

Để đơn giản, trong giáo trình chỉ xét K = ¡ . Do đó ta chỉ cần nói E là không gian véc

tơ. Trước hết, ta có một số tính chất đơn giản của không gian véc tơ.

Định lý 3. Bất kỳ một không gian véc tơ E nào ta cũng có tính chất sau

i) Nếu θ là phần tử trung hoà của E thì phần tử trung hoà là duy nhất

ii) Phần tử đối – x của bất kỳ véc tơ x nào của E cũng đều duy nhất

iii) ∀x ∈ E ta đều có 0.x = θ

iv) ∀x ∈ E ta đều có – x = (-1).x

v) ∀k ∈ R ta đều có k. θ = θ

vi) ∀x ∈ E , ∀k ∈ R ta đều có

Nếu kx = θ thì hoặc k = 0 hoặc x = θ



35



§2. Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ

1. Tổ hợp tuyến tính

Cho {u1, u2, …, um} ⊂ E ; E là không gian véc tơ.

Định nghĩa 1. Một tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um là biểu thức

m



∑λ u

i =1



i



i



= λ1u1 + λ2u2 + … + λnum, trong đó λi ∈ R, i = 1, m



m



Nếu x =



∑λ u

i =1



i



i



thì ta nói x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u 1, u2, …, um (hay



x biểu diễn tuyến tính qua các vectơ u1, u2, …, um).

Một số tính chất đơn giản của tổ hợp tuyến tính

Định lý 1. Trong mọi không gian véc tơ E

i) Véc tơ θ là tổ hợp tuyến tính của mọi hệ véc tơ

ii) Véc tơ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U và mọi véc tơ của U là tổ hợp tuyến

tính của hệ véc tơ V = {v1; v2; ... ; vn} thì x cũng là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ

V.

Chứng minh:

Khẳng định i) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

Ta chứng minh khẳng định ii)

m



Do x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U: x = ∑ λ i u i . Mặt khác mọi u i ∈ U ta đều có

i =1



m

n

m n

n

 m



u i = ∑ k ij v j nên x = ∑ λ i ∑ k ij v j = ∑∑ λ i k ij v j = ∑  ∑ λ i k ij  v j (đpcm).

j=1

i =1

j=1

i =1 j=1

j=1  i =1



n



Ví dụ 1. Trong không gian ¡ 3 ; chứng minh rằng véc tơ x = (4; 5; 5) là tổ hợp tuyến

tính của hệ véc tơ U = {u1 = (1; 2; -3); u2 =( 2; 1; 1); u3 = (4; 2; 3)}.

Giải:

Để chứng tỏ x là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U, ta cần tìm các hằng số λ 1 ; λ 2 ; λ 3

sao cho x = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3

(4; 5; 5) = λ 1 .(1; 2; − 3) + λ 2 (2;1;1) + λ 3 (4; 2; 3)

λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4

λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4

λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4







⇔ 2λ 1 + λ 2 + 2λ 3 = 5 ⇔  − 3λ 2 − 6λ 3 = −3 ⇔ 

λ2 + λ3 = 1

− 3λ + λ + 3λ = 5





4λ 2 + 9λ 3 = 14

4λ 2 + 9λ 3 = 14

1

2

3









36



λ 1 + 2λ 2 + 4λ 3 = 4

λ 1 = 4 − 2λ 2 − 4λ 3 = −2





⇔

λ 2 + λ 3 = 1 ⇔ λ 2 = 1 − λ 3 = −1



λ = 2

5λ 3 = 10



 3



Vậy x = -2u1 – u2 + 2u3

Ví dụ 2. Trong không gian ¡ n , cho hệ véc tơ U = {e1; e2; ... ; en}

Trong đó ei = (0; 0; ... ; 0; 1; 0; ... ; 0) (thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phần

khác bằng 0; i = 1, n ).

Chứng minh rằng mọi véc tơ x của ¡



n



đều tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ U.



Giải:

Ta có x = (x1; x2; ... ; xn-1; xn) được viết dưới dạng

x = (x1; 0; ... ; 0; 0) + (0; x2; ... ; 0; 0) + ... + (0; 0; ... ; xn -1; 0) + (0; 0; ... ; 0; xn)

= x1. (1; 0; ... ; 0; 0) + x2(0; 1; ... ; 0; 0) + ... +xn(0; 0; ... ; 1; 0) + xn(0; 0; ...; 0; 1)

= x1e1 + x2e2 + ... + xnen

2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 2.

• Hệ vectơ {u1, u2, …, um} ⊂ E được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại bộ m số

thực λ1, λ2, …, λn không đồng thời bằng 0 sao cho

λ1u1 + λ2u2 + … + λmum = θ



(*)



• Hệ vectơ {u1, u2, …, um} ⊂ E được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức (*) chỉ

xảy ra với λ1 = λ2 = … = λn = 0

Một số tính chất

Cho hệ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E

Định lý 2.

i) Nếu hệ U độc lập tuyến tính ⇒ ui ≠ θ, ∀i = 1, m .

ii) Nếu U độc lập tuyến tính và U′ ⊂ U thì hệ U′ độc lập tuyến tính.

Chứng minh

i) Giả sử tồn tại một véc tơ u i = θ . Khi đó phương trình véc tơ

λ1u1 + λ2u2 + …+ λ i u i + … + λmum = θ có nghiệm

λ 1 = λ 2 = .. = λ i −1 = 0; λ i = 1; λ i +1 = ... = λ m = 0 (không đồng thời bằng 0) nên U là hệ



phụ thuộc tuyến tính . Mâu thuẫn với giả thiết suy ra đpcm.

iii) Không mất tính tổng quát, ta giả sử U’ = {u1; u2; ... ; uk} ( 1 ≤ k ≤ m ).

37



Xét phương trình véc tơ: λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λ k u k = θ (1)

⇔ λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + ... + λ k u k + 0.u k +1 + ... + 0.u m = θ (2) mà U là hệ độc lập tuyến tính nên



(2) có nghiệm duy nhất λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 = ... = 0 . Hay (1) có nghiệm duy nhất

λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0 nên U’ là hệ độc lập tuyến tính.



Hệ quả 1. Nếu θ ∈ U thì hệ U phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả 2. Nếu hệ U phụ thuộc tuyến tính và U ⊂ V thì hệ V phụ thuộc tuyến tính.

Định lý 3. Hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} (m ≥ 2) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ

khi có một vectơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Chứng minh

( ⇒ ) Giả sử U là hệ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, tồn tại các số không đồng thời

bằng 0: λ 1 ; λ 2 ; ...; λ m sao cho λ1u1 + λ2u2 + …+ λ i u i + … + λmum = θ . Không mất tính

tổng quát, ta giả sử λ i ≠ 0 nên λ i u i = - λ1u1 - λ2u2 - …- λ i −1 u i −1 − λ i +1 u i +1 - … - λmum .

Hay u i =



− λ1

− λ2

− λ i −1

− λ i +1

− λm

u1 +

u 2 + ... +

u i −1 +

u i +1 + ... +

u m . Hay ui là tổ hợp

λi

λi

λi

λi

λi



tuyến tính các véc tơ còn lại của hệ.

( ⇐ ) Suy ra hiển nhiên từ định nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả 3. Hệ U là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có vectơ nào biểu diễn

tuyến tính qua các vectơ còn lại.

Hệ quả 4. Nếu hệ {u1, u2, …, um} là độc lập tuyến tính thì

hệ {u1, u2, …, um, v} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi v là tổ hợp tuyến tính duy

nhất của các vectơ u1, u2, …, um.

Hệ quả 5. Hệ U có hai véc tơ tỷ lệ nhau là hệ phụ thuộc tuyến tính

Định lý 4. Trong không gian véc tơ E, cho hai hệ vectơ

U = {u1, u2, …, um }

V = {v1, v2, …, vp}

Nếu m > p và mọi vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ V thì

hệ U phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh

Theo giả thiết, mỗi vec tơ ui (i = 1, 2, ..., m) có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp

tuyến tính của hệ V nên:

u1 = a11v1 + a21v2 + ... + ap1vp



38



u2 = a12v1 + a22v2 + ... + ap2vp

...

um = a1mv1 + a2mv2 + ... + apmvp

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn số k1, k2, ... , km:

a 11 k 1 + a 12 k 2 + ... + a 1m k m = 0

a k + a k + ... + a k = 0

 21 1

22 2

2m m

(*)



....

a p1 k 1 + a p 2 k 2 + ... + a pm k m = 0





Hệ (*) này có số phương trình nhỏ hơn số ẩn (p < m) nên hệ này có vô số nghiệm.

Gọi (k1; k2; ... ; km) là một nghiệm không tầm thường của hệ đó. Từ (*) ta có

k1u1 + k2u2 + ... + kmum = k1(a11v1 + a21v2 + … + ap1vp) + k2(a12v1 + a22v2 + ... + ap2vp) +

…+ km(a1mv1 + a2mv2 + … + apmvp)

= (a11k1 + a12k2 + … + a1mkm)v1 + (a21k1 + a22k2 + … + a2mkm)v2 + … + (ap1k1 + ap2k2 +

… + apmkm)vp= 0.v1 + 0.v2 + … + 0.vp = 0

Nên hệ véc tơ U là phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả 1. Nếu hệ U là độc lập tuyến tính và mọi véc tơ của hệ V biểu thị tuyến tính qua

U thì m ≤ p .

Hệ quả 2. Nếu hệ véc U, V là độc lập tuyến tính; đồng thời mọi véctơ của U là tổ hợp

tuyến tính của hệ V và ngược lại, mọi véc tơ của hệ V là tổ hợp tuyến tính của hệ U thì

hai hệ véc tơ đó có số véc tơ bằng nhau.

Chứng minh hai hệ quả này đều suy ra từ định lý trên.

Ví dụ 3. Trong không gian R3, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ

a) U = {u = (1; 1; -2)}

b) U = {u1 = (1; 2; -3); u2 = (2; 4; -6)}

c) U = {u1= (1; 2; 3); u2 =(0; 0; 0); u3 = (1;3; -1)}

d) U = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 2, 5), u3 = (5, 3, 4)}

e) U = {u1 =(1; -1; 2); u2 = (2; 0; 1); u3 = (1; 2; - 4); u4 = (3; 1; 4)}

Giải :

Cách xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ U = {u 1, u2, …,

um}:

Ta xét phương trình: k1u1 + k2u2 + … + kmum = θ (*)



39



+) Nếu phương trình (*) có nghiệm duy nhất k 1 = k2 = … = km = 0 thì U là độc lập

tuyến tính.

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm k1; k2; … ; km không đồng thời bằng 0 thì U là phụ

thuộc tuyến tính.

Ngoài ra cần kết hợp với các tính chất trên để kết luận.

a) Hệ U chỉ có một véc tơ khác không nên U là độc lập tuyến tính

b) Hệ U chứa 2 véc tơ tỷ lệ nhau nên U là độc lập tuyến tính

c) Hệ U có chứa véc tơ không nên nó là hệ phụ thuộc tuyến tính

d) Ta có

k1u1 + k2u2 + k3u3 = θ ⇔ k1(1, 1, 2) + k2(1, 2, 5) + k3(5, 3, 4) = (0, 0, 0)

k 1 + k 2 + 5k 3 = 0



⇔ Hệ phương trình bậc nhất k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0 (*)

2k + 5k + 4k = 0

2

3

 1



Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1, phương trình 2 nhân với (-2) rồi cộng với

k 1 + k 2 + 5k 3 = 0



k 2 − 2k 3 = 0

phương trình 3 thì hệ (*) ⇔ hệ 



k 2 − 2k 3 = 0



k 1 + k 2 + 5k 3 = 0

 k 1 = −7 k 3

⇔

k 2 − 2k 3 = 0



 k 2 = 2k 3



⇔



Chọn k3 = 1 thì hệ (*) có nghiệm là k1 = -7, k2 = 2, k3 = 1. Vậy chứng tỏ hệ đã cho là

phụ thuộc tuyến tính.

e) Giải tương tự d) suy ra hệ U là phụ thuộc tuyến tính.



40



§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ

1. Hạng của một hệ vectơ

a) Hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ

Cho E là không gian véc tơ

Định nghĩa 1. Cho hệ vectơ U ⊂ E. Hệ con U’ ⊂ U được gọi là hệ con độc lập tuyến

tính cực đại của hệ U nếu

+) U’ là hệ độc lập tuyến tính

+) ∀x ∈ U , x là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của U’

Chú ý 1. i) Điều kiện thứ hai trong định nghĩa trên tương đương với điều kiện:

∀x ∈ U\ U’, hệ U’ ∪ {x} là phụ thuộc tuyến tính.

ii) Một hệ vectơ có thể: không có hệ con độc lập tuyến tính cực đại nào, hoặc có duy

nhất một hệ con độc lập tuyến tính cực đại, hoặc có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cực

đại.

Ví dụ 1. Trong không gian R3, tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ

U = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}

Giải:

Đầu tiên ta chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của U.

Đương nhiên hệ chỉ có một véc tơ luôn là hệ độc lập tuyến tính.

Xét hệ U’ = {u1; u2} có hai véc tơ không tỷ lệ nhau nên U’ là độc lập tuyến tính. Mặt

khác u3 = u1 + u2 nên U’ ∪ {u3} = U là hệ phụ thuộc tuyến tính. Do đó, hệ véc tơ U’ là hệ

con độc lập tuyến tính cực đại của U.

Tương tự, ta cũng có các hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U là {u 1; u3}; {u2; u3}.

Từ ví dụ này ta suy ra cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ

* Cách tìm hệ con độc lập tuyến tính cực đại của một hệ vectơ U ⊂ E:

Bước 1: Chỉ ra một hệ con độc lập tuyến tính của hệ U, giả sử hệ con đó là U’.

Bước 2: Kiểm tra xem hệ U’ có phải là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U hay

không?

- Nếu với ∀x ∈ U\ U’, x biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U ’ thì U’ là hệ con độc

lập tuyến tính cực đại của hệ U.



41



- Ngược lại, nếu ∃x ∈ U\U’ mà x không biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U ’ thì

hệ U’ không là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U. Khi đó, hệ U ’ ∪ {x} độc lập

tuyến tính. Ta chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra hệ U’ ∪ {x} có là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ

U hay không tương tự như kiểm tra đối với hệ U’ ở bước 2.

Cứ tiếp tục quá trình này sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được hệ con độc lập

tuyến tính cực đại của hệ U.

Định lý 1. Nếu hệ U’ là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E thì mọi

vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ của hệ U’.

Chứng minh

Theo định nghĩa hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nên mọi x ∈ U đều là tổ hợp

tuyến tính của U’.

Giả sử véc tơ x ∈ U có hai biểu diễn tuyến tính qua hệ U’ = {v1; v2; … ; vp}; trong đó

p



p



p



i =1



i =1



i =1



vi ∈ U (i = 1, 2, …, p); tức là x = ∑ k i v i = ∑ h i v i ⇔ ∑ (k i − h i ) v i = 0 . Do U’ là độc lập

tuyến tính nên ki = hi với mọi i. Vậy x là tổ hợp tuyến tính duy nhất của U’.

Định lý 2. Số vectơ của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E là bằng

nhau.

Chứng minh

Giả sử U1; U2 là hai hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ U có số véc tơ

tương ứng là m, p. Giả sử m > p. Do U 2 là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nên

mọi véc tơ của U1 đều biểu thị tuyến tính qua hệ U 2 nên theo định lý 3.7 thì U 1 là hệ phụ

thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết. Suy ra m ≤ p . Thay đổi vai trò của m cho p

và U1 cho U2 ta suy ra m = p.

b) Hạng của một hệ vectơ

Định nghĩa 2. Số vectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E

được gọi là hạng của hệ vectơ U. Ký hiệu là r(U).

Quy ước r{θ} = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian R3, tìm hạng của hệ véc tơ

U = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}

Giải:



42



Theo ví dụ 1, các hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U đều có 2 véc tơ nên

r(U) = 2.

Định lý 3. Trong không gian véc tơ E, cho hệ vectơ {u 1, u2, …, um} và vectơ v. Khi đó

r{u1, u2, …, um} = r{u1, u2, …, um, v} ⇔ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um

Chứng minh

( ⇐ ) Hiển nhiên

( ⇒ ) Đặt U = {u1, u2, …, um}

Không mất tính tổng quát U’ = {u 1; u2; ... ; uk}( k ≤ m ) là hệ con độc lập tuyến tính

cực đại của U và r(U) = k. Theo giả thiết r{u 1, u2, …, um, v} = r(U) nên nếu U’ ∪ {v} là

hệ độc lập tuyến tính thì r(U’ ∪ {v}) =r{u1, u2, …, um, v} = k + 1. Mâu thuẫn, suy ra U’

∪ {v} là hệ phụ thuộc tuyến tính . Do đó v là tổ hợp tuyến tính của hệ U’; và cũng là tổ



hợp tuyến tính của U.

Từ định nghĩa và định lý trên ta suy ra chú ý sau:

Chú ý 2.

i) Hệ vectơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E độc lập tuyến tính ⇔ r(U) = m.

ii) Hệ vectơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E phụ thuộc tuyến tính ⇔ r(U) < m.

iii) Hạng của một hệ vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào hệ đó vectơ θ; hoặc nhân

một véc tơ với một số khác 0; hoặc đổi chỗ hai véc tơ của hệ cho nhau;hoặc thêm vào hệ

đó một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của chính hệ đó.

Chú ý này cũng cung cấp cho chúng ta cách thứ 2 để xét sự độc lập tuyến tính và sự

phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ bằng cách đưa về xét hạng của hệ véc tơ đó.

Định lý 4. Nếu A là ma trận cấp m x n: A = [a ij]m x n thì hạng của ma trận A chính là

hạng của hệ véc tơ dòng của ma trận đó (hay cũng chính là hạng của hệ véc tơ cột của ma

trận đó).

Chứng minh:

Giả sử U = {d1, d2, ... , dm} là hệ véc tơ dòng của ma trận A; trong đó

di = (ai1; ai2; ... ; ain) (i = 1, m )

• Nếu r(U) = r thì từ tính chất của định thức và định nghĩa hạng của ma trận ta có

r(A) = r.

• Bây giờ xét trường hợp ngược lại, nếu r(A) = r, cần chứng minh rằng r(U) = r.



43



Không mất tính tổng quát tồn tại một định thức con cấp r ở góc trên bên trái của ma trận



12...r



A khác 0: D = D12...r



a 11

a

= 21

...

a r1



a 12

a 22

...

a r2



... a 1r

... a 2 r

≠0

... ...

... a rr



Do D ≠ 0 nên r dòng đầu d1, d2, ..., dr của A là độc lập tuyến tính. Vì nếu chúng phụ thuộc

tuyến tính thì các dòng của D phụ thuộc tuyến tính, điều này kéo theo D = 0.

Ta sẽ chứng minh rằng hệ V = {d1, d2, ..., dr} là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U.

Hay mọi véc tơ dh ( r + 1 ≤ h ≤ m ) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ V.

Với mỗi i = 1, 2, ... , n lập định thức cấp r + 1:

a 11

a 21

∆ i = ...

a r1

a h1



a 12

a 22

...

a r2

a h2



...

...

...

...

...



a 1r

a 2r

...

a rr

a hr



a 1i

a 2i

...

a ri

a hi



+) Nếu 1 ≤ i ≤ r thì ∆ i = 0 vì định thức có 2 cột giống nhau

+) Nếu r < i ≤ n thì ∆ i là một định thức cấp r + 1 của ma trận A có r(A) = r nên ∆ i = 0

Khi đó, khai triển ∆ i theo cột cuối ta có

a1iF1 + a2iF2 + ... + ariFr + ahi.D = 0

Trong đó, Fj (j = 1, 2, 3, ..., r) là phần bù đại số của phần tử a ij (số này không phụ thuộc

vào i), còn phần bù đại số của ahi chính là D ≠ 0. Nên ta có

a hi =



Đặt k j =



− Fj

D



− F1

− F2

− Fr

a 1i +

a 2i + ... +

a ri (1 ≤ i ≤ n )

D

D

D



(1 ≤ j ≤ r ) thì ta có dh = k1d1+ k2d2 + ... + krdr. Hay véc tơ dh là tổ hợp tuyến



tính của hệ véc tơ V. Nên r(U) = r.

Định lý này là cơ sở cung cấp cho chúng ta phương pháp tìm hạng của hệ véc tơ

trong không gian Rn.

Cách tìm hạng của hệ véc tơ trong Rn:

Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ Rn. Với mỗi i, ta có



44