Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG

2) Hàm số hợp:

Định nghĩa 2.

Cho X, Y, Z ⊆ R, cho hàm số f : X → Y, g: Y → Z. Khi đó, hàm số h: X → Z được định

nghĩa bởi h(x):= g(f(x)), x ∈ X được gọi là hàm số hợp của hàm số f và g. Kí hiệu là:

g[ f( x )] hay ( g o f )( x ), x ∈ X .



Ví dụ 3. Xét các hàm số f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + 4. Tìm hàm số hợp của f và g, g và f.

Giải: Ta có g[f(x)] = f2(x) + 4 = (2x + 1)2 + 4

f[g(x)] = 2g(x) + 1 = 2(x2 + 4) + 1

3) Hàm số ngược:

* Định nghĩa 3. Cho hai tập X, Y ⊆ R; cho hàm số

f: X → Y

x a y = f(x)

Nếu tồn tại hàm số g: Y → X thoả mãn:

+) (g o f)(x) = 1X

+) (f o g)(y) = 1Y

thì g(x) được gọi là hàm số ngược của hàm số f(x).

Kí hiệu: g = f-1

* Chú ý 2:

i) f: X → Y là song ánh ⇔ ∃g = f-1: Y → X. Tức f có hàm số ngược khi và chỉ khi f

là song ánh.

ii) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu nghiêm ngặt thì nó có hàm ngược

iii) D f −1 = Rf , R f −1 = Df .

iv) Đồ thị của hàm ngược y = f-1(x) đối xứng với đồ thị hàm số y = f(x) qua đường

phân giác của góc thứ nhất.

Ví dụ 4. Tìm hàm ngược của hàm y =



4



x



Giải. Ta có Df = [0, + ∞ ), Rf = [0, + ∞ ). Hàm y =



4



x là hàm tăng nghiêm ngặt trên D f



nên nó có hàm ngược. Rút x theo y, ta có: x = y 4, y ≥ 0 , đổi vai trò của x và y ta có:

hàm y = 4 x có hàm ngược là y = x4, x ≥ 0.

4) Các hàm số thường gặp:

Các hàm số sơ cấp cơ bản



84



* Hàm số luỹ thừa y = xα, α là một số thực cho trước

D f = R; R f = R

* Hàm số mũ: y = ax (a>0, a ≠ 1)

Df = R; R f = R *

+



* Hàm số logarit: y = logax ( a > 0 và a ≠ 1 )

Df = R * ; R f = R

+



* Các hàm số lượng giác:

+) Hàm f(x) = sinx

Df = R; R f = [ −1,1]



+) Hàm y = cosx

Df = R; R f = [ −1,1]



+) Hàm y = tanx

π





D f =  x ∈ R / x ≠ + kπ, k ∈ Z  , R f = R

2





+) Hàm y = cotx

Df = { x ∈ R / x ≠ kπ, k ∈ Z} , R f = R



* Các hàm số lượng giác ngược:

 π

 2



+) Hàm y = arcsinx là hàm ngược của hàm số y = sinx trên  − ,



π

có

2





- Miền xác định Dy = [-1, 1]

 π

 2



- Miền giá trị Ry =  − ,



π

.

2





+) Hàm y = arccosx là hàm ngược của hàm số y = cosx trên [ 0, π] có

- Miền xác định Dy = [-1, 1]

- Miền giá trị Ry = [ 0, π] .

 π



π



+) Hàm y = arctgx là hàm ngược của hàm số y = tgx trong  − , ÷ có

 2 2

- Miền xác định Dy = R

 π

 2



- Miền giá trị Ry =  − ,



π

÷

2



85



.+) Hàm y = arccotgx là hàm ngược của hàm số y = cotgx trong ( 0, π ) có

- Miền xác định Dy = R

- Miền giá trị Ry = ( 0, π ) .

* Hàm số sơ cấp:

Ta gọi các hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các

phép toán số học và phép toán hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản, và các hằng số.

5) Một số hàm số kinh tế thường gặp trong kinh tế

* Hàm cung và hàm cầu:

Các nhà kinh tế sử dụng khái niệm hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ thuộc

của lượng cung và lượng cầu của một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó. Hàm cung

và hàm cầu có dạng:

Hàm cung: QS = S(p)

Hàm cầu: QD = D(p)

Trong đó p là giá hàng hóa; Q S là lượng cung: tức là lượng hàng hóa người bán bằng

lòng bán ở mỗi mức giá; QD là lượng cầu: tức là lượng hàng hóa người mua bằng lòng

mua ở mỗi mức giá.

Khi xem xét mô hình hàm cung, hàm cầu nói trên ta giả thiết rằng các yếu tố khác

không đổi.

* Hàm sản xuất ngắn hạn

Các nhà kinh tế học sử dụng khái niệm hàm sản xuất để mô tả sử phụ thuộc của

sản lượng hàng hóa (tổng số lượng sản phẩm hiện vật) của một nhà sản xuất vào các yếu

tố đầu vào, gọi là yếu tố sản xuất.

Khi phân tích sản xuất, ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng là

vốn và lao động được ký hiệu tương ứng là K và L.

* Nếu Q = f(K) và giá một đơn vị hàng hóa là p, giá thuê một đơn vị vốn là p K, chi

phí cố định là wo thì các hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận tương ứng là :

TR = p.Q = p. f(K) ; TC = pK.K + wo ; π = p.f(K) − (p K .K + w o )

* Nếu Q = f(L) và giá một đơn vị hàng hóa là p, giá thuê một đơn vị lao động là

pL, chi phí cố định là wo thì các hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận tương ứng là :

TR = p.Q = p. f(L) ; TC = pL.L + wo ; π = p.f(L) − (p L .L + w o )



86



Ví dụ 5: Hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas phụ thuộc vào một trong hai yếu tố vốn

(K) và lao động (L): Q = aK α ; Q = bLβ (a, b, α , β là các số dương).

* Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Hàm doanh thu là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng doanh thu (TR) vào sản

lượng (Q): TR = TR(Q).

Hàm chi phí là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (TC) vào

sản lượng (Q): TC = TC(Q).

Hàm lợi nhuận là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận ( π ) vào sản

lượng (Q): π = π(Q) . Hàm lợi nhuận có thể xác định bởi π = TR (Q) − TC(Q) .

* Hàm tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập: C= C(Y), trong đó Y là thu nhập

* Hàm tiết kiệm phụ thuộc vào thu nhập: S = S(Y), trong đó Y là thu nhập

* Hàm đầu tư phụ thuộc vào lãi suất: I = I(r), trong đó r là lãi suất

* Hàm quỹ vốn theo thời gian: K= K(t), trong đó t là thời gian

* Hàm đầu tư theo thời gian: I = I(t), trong đó t là thời gian



87



§ 2. Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số {xn} có giới hạn là a (hữu hạn ) nếu với mọi số ε > 0

nhỏ tuỳ ý, tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho x n − a < ε , với mọi n ≥ n 0

Kí hiệu: lim x n = a hoặc x n → a khi n → +∞

n →∞

Nếu dãy {xn} có giới hạn là a (hữu hạn) thì ta nói dãy này hội tụ về a . Ngược lại, nếu

dãy {xn} không có giới hạn, ta nói dãy này phân kỳ.

Ví dụ 1: Xét dãy số x n = c, ∀n . Chứng minh nlim c = c .

→+∞

Giải:

Ta có ∀ε > 0, x n − c = c − c = 0 < ε ∀n

Vậy theo định nghĩa nlim c = c .

→+∞

Ví dụ 2: Chứng minh nlim

→+∞



1

n

= 0( k > 0) và nlim q = 0 khi q < 1

k

→+∞

n



Chú ý:

+) lim x n = +∞ ⇔ ∀A > 0, ∃n 0 ∈ N sao cho x n > A ∀n ≥ n 0

n →∞

+) lim x n = +∞ ⇔ ∀A > 0, ∃n 0 ∈ N , sao cho x n < −A ∀n ≥ n 0.

n →∞

 +∞ khi A > 0





k

Ví dụ 3: Cho k > 0 ta có lim A n = 

n →∞

 −∞ khi A < 0





2. Tính chất:

Tính chất 1. Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Tính chất 2. Mọi dãy số hội tụ thì đều bị chặn.

lim

lim

Tính chất 3. Nếu các dãy số x n và y n hội tụ và x n ≤ y n ∀n thì n →∞ xn ≤ n →∞ yn



Tính chất 4 (Nguyên lý kẹp). Nếu xn ≤ zn ≤ yn, ∀ n ∈ N và lim x n = lim y n = A thì

n →∞

n →∞

lim z n = A

n →∞



.



lim

Tính chất 5. Nếu lim x n = a thì n→∞ xn = a

n →∞



Tính chất 6. Nếu lim x n = 0 thì lim x n = 0.

n →∞

n →∞

Tính chất 7. Giả sử các dãy {xn }, {yn } hội tụ và lim xn = x , lim yn = y. Khi đó

n→∞

n→∞



88



i)



lim

n→∞



(xn + yn) = x + y



ii) lim (xn yn) = xy

n→∞

iii) lim

n→∞



xn x

= , nếu yn ≠ 0, ∀n, y ≠ 0

yn y



Tính chất 8. Nếu dãy {xn} tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

Tính chất 9. Nếu dãy {xn} giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

n

1

lim

3. Số e: e = n→∞  1 +  .



÷







n



Người ta chứng minh được rằng số e là một số vô tỷ và e = 2,71828....

4. Tiêu chuẩn Cauchy.

Định lý: Điều kiện cần và đủ để dãy {xn} hội tụ là với ∀ε > 0, ∃n0∈N* sao cho ∀n ≥

n0, ∀k ∈N* thì



x n + k − xε. <

n



89



§ 3. Giới hạn của hàm số

1. Định nghĩa:

Định nghĩa 1.

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b). Ta nói rằng f(x) có gới hạn là A (hữu hạn)

khi x → x0, nếu với mọi dãy {xn} trong (a,b)\{x0} mà x n → x 0 khi n → ∞ thì dãy giá trị

tương ứng {f(xn)} hội tụ đến A.



lim

Kí hiệu: x→ x f(x) = A hay f(x) → A khi x → x0.

0



Định nghĩa 2.

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b). Ta nói rằng f(x) có gới hạn là A (hữu hạn)

khi x → x0, nếu với bất kì ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ (a, b) thoả mãn 0 < |

x – x0| < δ thì |f(x) – A| < ε..

Chú ý : Định nghĩa 1 tương đương với định nghĩa 2

2. Tính chất

Cho hàm số f(x) xác định trên tập D

Tính chất 1. Giới hạn của hàm số f(x) khi x → x0 nếu có là duy nhất.



lim

lim

Tính chất 2. Giả sử tồn tại x→ x f(x) = A, x→ x g(x) = B. Khi đó

0



0



i) xlim [f (x ) ± g(x )] = A ± B

→a

ii) xlim [f (x ).g(x )] = A .B

→a

f (x )

A

= , (B ≠ 0).

B

x →a g(x )



iii) lim



lim f (x ) = f (x 0 )

Tính chất 3 Nếu hàm số sơ cấp f(x) xác định tại x 0 thì x →x 0

.



Tính chất 4 (Nguyên lý kẹp):



lim

Nếu g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ ( x 0 − δ; x 0 + δ ) với δ > 0 và xlim0 g(x) = x→ x 0 h(x) = A

→x

thì xlim f(x) = A.

→x

0



Tính chất 5. Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ ( x 0 − δ; x 0 + δ ) , víi δ > 0 nµo ®ã và

lim f (x) = A, lim g(x) = B thì A ≥ B

x →x0



x →x0



g(x)

B

Tính chất 6. Nếu xlim f (x) = A > 0 vµ xlim g(x) = B thì xlim [ f (x) ] = A .

→x

→x

→x

0



0



0



90



3. Giới hạn một phía

Khi x → x0 cần được xét trong hai trường hợp:

+) Khi x → x0, x > x0: tức là x dần đến x0 từ bên phải ( x → xo+).

+) Khi x → x0, x < x0: tức là x dần đến x0 từ bên trái (x → xo- ).

Giới hạn của hàm số f(x) khi x → xo+ và khi x → xo- được gọi tương ứng là giới

hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x0:

lim

Giới hạn bên phải: xlim f(x) = x →xx f(x);

→x

x>

0



+



0



0



lim

Giới hạn bên trái: xlim f(x) = x → x f(x).

→x

x
0



−



0



0



Định lí 1. Điều kiện cần và đủ để xlim f(x) = A là: xlim f(x) = xlim f(x) = A.

→x

→x

→x

0



Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) =



0



+



0



−



x

. Tính Lim f ( x) .

x→0

x



Giải:



lim

lim

Ta có x →0− f(x) = -1, x →0+ f(x) = 1, nên hàm số này không có giới hạn khi x → 0

4. Một số giới hạn cơ bản:

sinx

=1

x →0 x



• lim



• lim (1 +

x →∞



1 x

) =e;

x



lim (1 +



x →+∞



1 x

) = e;

x



1 x

) =e

x



lim (1 +



x →−∞



5. Vô cùng bé và vô cùng lớn:

a) Định nghĩa. Hàm số f(x) được gọi là

i) vô cùng bé (VCB) khi x →x0 nếu xlim f(x) = 0.

→x

0



ii) vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x → x0 nếu xlim f(x) = ± ∞ .

→x

0



Ví dụ 2. Theo các công thức giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản, ta có:

Các hàm số xk (k > 0), sinx, tgx là các VCB khi x → 0

Hàm số tgx là VCL khi x →



π

2



b) So sánh các VCB

Cho f(x), g(x) là các VCB khi x → a. Giả sử lim

x →a



f (x)

=k

g(x)



i) Nếu k = 0 thì f(x) được gọi là VCB bậc cao hơn so với g(x) khi x → a. Kí hiệu

91



f(x) = 0(g(x)),

ii) Nếu k ≠ 0 và hữu hạn thì f(x) và g(x) được gọi là những VCB cùng bậc khi x → a. Kí

hiệu f = 0*(g) khi x → a.

Đặc biệt, khi k = 1, thì f(x) và g(x) được gọi là những VCB tương đương khi x →

a và viết: f(x) ∼ g(x), x → a.

Nhận xét: Nếu p > q > 0 thì x p = 0(x q ) .

Nếu f (x ) = 0[ h (x ) ] , g(x ) = 0[ h (x ) ] và a là hằng số thì

i) a .f (x ) = 0[ h (x )]

ii) f (x ) ± g(x ) = 0[ h (x ) ]

iii) f (x ).g(x ) = 0[ h (x ) ]

k +1

k +2

+ a 3x k + 3 + ... + a p x k + p = 0(x k )

Ví dụ 3 : Với k>0, khi x → 0ta có: a1x + a2x



Ví dụ 4: Các hàm sinx và x là hai VCB tương đương khi x → 0 vì

lim sinx = 1.



x→0



x



Ví dụ 5: Các hàm tg2x và sinx là hai VCB cùng bậc khi x → 0, vì



lim tg2x = lim tg 2 x . x .2 = 2



x →0



sinx



x →0



2 x s inx



c) Tính chất:

Định lí 2. Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x → a khi và chỉ khi f (x ) = L + α(x ) , với

mọi α(x ) là vô cùng bé khi x → a.

Định lý 3. Giả sử khi x → x0, ta có các cặp VCB tương đương:

α(x) ∼ α1(x), β(x) ∼ β1(x)

α1( x )

α1( x )

α( x )

= lim

tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn) thì lim0

x →x β ( x )

x →x 0 β x )

0 β ( x)

(

1

1



Khi đó, nếu lim

x →x



Ví dụ 6. Tính



lim



x→0



x + 2x2

sinx + tg3x



Giải. Vì x + 2x2 ∼ x, x → 0 và sin2x + tg5 x ∼ sin2x, x → 0. Áp dụng định lí trên, ta có

x + 2x 2

lim 2x = 2.

= x →0

5

x → 0 sin2x + tg x

sin2x



lim



92



§4. Hàm số một biến số liên tục

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp Df, Ta nói hàm số f(x)

-Liên tục tại điểm x0∈Df nếu: xlim0 f(x) = f(x0).

→x

- Liên tục phải tại x0 nếu f(x0+)= xlim + f(x) = f(x0)

→x

0



- Liên tục trái tại x0 nếu f(x0-) = xlim − f(x) = f(x0)

→x

0



Hàm số không liên tục tại x 0 thì ta nói hàm số gián đoạn tại x 0.

2x + 1 khi x < 0



2

x + a khi x ≥ 0





Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f( x ) = 

Giải:



Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (−∞; 0) và (0; + ∞ )

2

Tại x = 0: f( 0) = a , xlim f ( x) = xlim ( x + a ) = a

→0

→0

+



+



lim f ( x) = lim (2 x + 1 = 1

−



x →0 −



x →0



Vậy nếu a = 1 thì hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc R ,

Nếu a ≠ 1 thì hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc R \ { 0} .

Định nghĩa 3. Ta nói hàm số f( x ) liên tục trong khoảng ( a;b) nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc khoảng ( a;b) .

Định nghĩa 4. Ta nói hàm số f( x ) liên tục trong khoảng [a;b] nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc khoảng ( a;b) và liên tục trái tại a , liên tục phải tại b .

Chú ý: Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

2. Các phép toán sơ cấp đối với hàm số liên tục

a. Định lý 1: Nếu các hàm số f( x ); g( x ) liên tục tại x 0 thì:

i) f( x ) + g( x ); f( x ) − g( x ); f( x ).g( x ) cũng liên tục tại x 0 .

ii)



f( x )

liên tục tại x 0 nếu g ( x 0 ) ≠ 0 .

g( x )



b.Định lý 2: Nếu hàm số g( x ) liên tục tại x 0 và hàm số f( u ) liên tục tại u 0 = g( x 0 ) thì

hàm số f( g( x )) liên tục tại x 0 .



93



3. Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục

a) Định lý 3 (Vâyestrat)

Nếu hàm số f( x ) liên tục trên đoạn [a;b] thì có GTNN và GTLN trên đoạn [a;b] .

b) Định lý 4 (Giá trị trung gian)

Nếu hàm số f( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và f( a ) ≠ f( b) thì nó nhận mọi giá trị trung

gian giữa f(a) và f(b). Tức là với mọi số m nằm giữa (a) và f(b) luôn tồn tại c ∈ ( a;b ) để

f( c) = m.



Hệ quả:

i) Nếu hàm số f( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và f( a ).f( b) < 0 thì tồn tại c ∈ ( a;b )

để f(c) =0. Tức là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc ( a;b ) .

ii) Nếu hàm số f( x ) liên tục trên đoạn [a;b] và f (a). f (b) ≤ 0 thì tồn tại c∈ [a; b]

để f(c) =0. Tức là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [a; b].

Ví dụ 2. Cho mô hình cân bằng thị trường QS = QD; trong đó lượng cung QS

=0,1P2+5P+10; lượng cầu Q D =



50

. Chứng minh rằng mô hình trên có giá cân bằng

P−2



thuộc khoảng (3; 5).

Giải: Ta có QS = QD ⇔ 0,1P 2 + 5P + 10 =



50

P−2



⇔ 0,1P 3 + 4,8P 2 − 70 = 0 (1)

Xét hàm số f(P) = 0,1P3 + 4,8P2 – 70 liên tục trên [3; 5] (2)

Ta có f(3) = -24,1<0 và f(5) = 62,5 nên f(3).f(5)<0 (3)

Từ (2) và (3) suy ra phương trình (1) có nghiệm thuộc (3; 5). Suy ra điều phải chứng

minh.



94