Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

 A11

A

1

1

12

-1

và A =

.A =

.

det(A)

det(A)  



 A1n



A 21

A 22



A 2n



L A n1 

L An2 



O

 



L A nn 



 2 − 1 3





Ví dụ 3. Tìm A của A = 0 3 1 

5 − 2 4





-1



2 −1 3

Giải: Ta có A = 0 3 1 = −22 ≠ 0 nên A là ma trận khả nghịch.

5 −2 4



Tiếp theo xác định ma trận phụ hợp A của A:

A 11 = (−1)1+1 .



3 1

−1 3

−1 3

= 14; A 21 = ( −1) 2+1 .

= −2; A 31 = (−1) 3+1 .

= −10

−2 4

−2 4

3 1



A 12 = (−1) 2+1 .



0 1

2 3

2 3

= 5; A 22 = (−1) 2+ 2 .

= −7; A 32 = (−1) 3+ 2 .

= −2

5 4

5 4

0 1



A 13 = ( −1)1+3 .



0 3

2 −1

2 −1

= −15; A 23 = ( −1) 2+3 .

= −1; A 33 = (−1) 3+3 .

=6

5 −2

5 −2

0 3



 14 − 2 − 10





Khi đó ma trận phụ hợp của A là A =  5 − 7 − 2 

− 15 − 1

6 







Ma trận nghịch đảo của A là

A



−1



 14 − 2 − 10  − 7 / 11 1 / 11 5 / 11

1

1 

=

A=

. 5

− 7 − 2  = − 5 / 22 7 / 22 1 / 11

 



det(A)

− 22

− 15 − 1

6   15 / 22 1 / 22 3 / 11



 





Từ khái niệm và điều kiện khả nghịch của ma trận, ta có một số tính chất sau:

Định lý 4. Giả sử A, B là các ma trận vuông cấp n.

i) Nếu A khả nghịch thì A-1, AT, kA (k ≠ 0), Am (m nguyên dương) cũng khả nghịch và

−1

(A-1)-1 = A ; (AT)-1 = (A-1)T ; (kA) =



1 −1

A ; (Am)- 1 = (A-1)m

k



ii) Nếu A, B khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB) -1 = B-1A-1

iii) Nếu A khả nghịch thì các phương trình A.X = C, X.A = C có nghiệm duy nhất

A.X = C ⇔ X = A −1C

XA = C ⇔ X = C.A −1



23



1 3



2 7 



Ví dụ 4. Tìm (A2)-1 với A = 



 7 − 3

−1

Giải: Tìm ma trận nghịch đảo của A, ta được A = 



− 2 1 

2



2 −1



Khi đó (A )



 7 − 3

 7 − 3  7 − 3  54 − 24

= (A ) = 

 = − 2 1 .− 2 1  = − 16

7 

− 2 1 





 



−1 2



4. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

a) Phương pháp định thức

Dựa vào định lý 2.12, ta có các bước tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [a ij]n×n như

sau:

Bước 1: Tính det(A)

Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch.

Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo.

Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A:

 A11

A

12

A= 

 



 A1n





A 21

A 22



A 2n



L A n1 

L An 2 



O

 



L A nn 





trong đó Aij là phần bù đại số của a ij .

Bước 3: Tính B =



1

A . Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận

det(A)



A, tức là A-1 = B

Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1 2 3





b) A = 2 5 3

1 0 8







1 2 

a) A = 



3 4 

Giải:

a)

Bước 1: Ta có det(A) = 1.4 – 2.3 = -2 ≠ 0 .

−1

Nên ma trận A khả nghịch và A =



1

.A

det(A)



Bước 2: Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A. Ta có

A11 = (-1)1+ 1.4 = 4; A12 = (- 1)1+ 2. 3 = - 3; A21 = (- 1)2 + 1.2 = - 2; A22 =(- 1)2 + 2.1 = 1

24



 4 − 2



− 3 1 



Nên A = 



−1

Bước 3. Tính ma trận nghịch đảo A =



− 2



1

1  4 − 2  − 2

.A =

.

= 3

det(A)

− 2 − 3 1  



 2



1 

− 1

2





1

− 1

2





−1

Vậy A =  3



2





b)

−1

Bước 1. Ta có det(A) = -1 ≠ 0 nên A khả nghịch và A =



1

.A

det(A)



Bước 2. Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A. Ta có

A 11 = (−1)1+1 .



5 3

2 3

2 5

= 40; A 12 = (−1)1+ 2 .

= −13; A 22 = (−1) 2+ 2 .

= −5

0 8

1 8

1 0



A 21 = (−1) 2+1 .



2 3

1 3

1 2

= −16; A 22 = (−1) 2+ 2 .

= 5; A 23 = (−1) 2+3 .

=2

0 8

1 8

1 0



A 31 = (−1) 3+1 .



2 3

1 3

1 2

= −9; A 32 = (−1) 3+ 2 .

= 3; A 33 = (−1) 3+3 .

=1

5 3

2 3

2 5



 40 − 16 − 9



3

Nên A = − 13 5



 −5

2

1







Bước 3. Tính ma trận nghịch đảo A



−1

Vậy A



−1



− 40 16 9 

1

=

A =  13 − 5 − 3





det(A)

 5

− 2 − 1







− 40 16 9 

=  13 − 5 − 3





 5

− 2 − 1







Ví dụ 6. Giải phương trình ma trận sau

1 2

3 5 1 

a) 

.X = 5 9 − 2

3 4







1 2 3

 1 0

2 5 3.X =  0 1

b) 







1 0 8

− 1 1











Giải:

1 2

 khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất

3 4



a) Ma trận A = 



25



−1

1 2 3 5 1  − 2

X=

 .

= 3

3 4 5 9 − 2  2





1  3 5 1  − 1 − 1 0 

− 1.

5

=

3

 5 9 − 2  2

2



2





1 2 3





b) Ma trận A = 2 5 3 khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất

1 0 8





1 2 3

X = 2 5 3





1 0 8







−1



 1 0 − 40 16 9   1 0 − 49 25 

. 0 1 =  13 − 5 − 3. 0 1 =  16 − 8



 



 



− 1 1  5

− 2 − 1 − 1 1  6

− 3



 



 





b) Phương pháp khử Gause-Jordan (Phương pháp biến đổi sơ cấp)

Thực tế ta sẽ áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp về dòng đó để đưa A về E và

đưa E về ma trận A-1. Từ đó, ta có quy tắc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ

cấp (phương pháp Gauss – Jordan):

Bước 1: Viết ma trận đơn vị E cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A

được ma trận mới ký hiệu (A|E)

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mới này để đưa dần

khối ma trận A về ma trận đơn vị E, còn khối ma trận E thành ma trận B, tức là (A|E) →

(E|B). Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A.

1 2 3





Ví dụ 7. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: A = 2 5 3

1 0 8







Giải:

1 2 3 1 0 0





Bước 1: Lập ma trận (A|E) = 2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1 







Bước 2: Biến đổi sơ cấp

1 2 3 1 0 0 

1 2

1 2 3 1 0 0

3 1 0 0



 −2 d1 + d 2 

 2d 2 +d3 



→

2 5 3 0 1 0 −d1 +d 3 0 1 − 3 − 2 1 0 → 0 1 − 3 − 2 1 0

1 0 8 0 0 1 

0 − 2 5 − 1 0 1

0 0 − 1 − 5 2 1 













1 2 0 − 14 6

1 0 0 − 40 16 9 

3



 −2 d 2 + d1 



→ 0 1 0 13 − 5 − 3 → 0 1 0 13 − 5 − 3 .

−3d 3 + d1 

3d 3 + d 2 

0 0 1 5

− 2 − 1

− 2 − 1

0 0 1 5







−d 3



26



Vậy A



−1



− 40 16 9 

=  13 − 5 − 3





 5

− 2 − 1







27



§4. Hạng của ma trận

1. Khái niệm

Cho ma trận A = [a ij ] mxn ;1 ≤ k ≤ min{m, n} . Trước hết, ta nhắc lại khái niệm định thức con

cấp k của ma trận A.Lấy ra k dòng và k cột khác nhau . Định thức của ma trận cấp k có

các phần tử thuộc giao điểm của k dòng và k cột đó được gọi là định thức con cấp k của

j j ... j

A , ký hiệu: Di11 i22 ...ik ( 1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ m;1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n ) trong đó i1, i2 , …, ik là

k



chỉ số của các dòng và j1, j2, …, jk là chỉ số của các cột đã lấy ra.

1 − 1 3 4 





Ví dụ 1. Cho ma trận A = 2 3 6 8  .

3 2 9 12







Xác định các định thức con của A

Giải:

Các định thức con cấp 1 của A chính là các phần tử của A.

Các định thức con cấp 2 của A , chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2 và cột 1, 3 là

D13 =

12



1 3

3 8

= 0 ; tạo bởi dòng 2, 3 và cột 2, 4 là D 24 =

= 20 , ...

23

2 6

2 12



Các định thức con cấp 3, chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2, 3 và cột 1, 3, 4 là

D



134

123



1 3 4

1 −1 4

134

= 2 6 8 = 0 ; tạo bởi dòng 1, 2, 3 và cột 1, 2, 4 là D123 = 2 3 8 = 0 ; ...

3 9 12

3 2 12



Định lý 1. Trong ma trận A, nếu mọi định thức con cấp k của A bằng 0 thì mọi định thức

con cấp cao hơn k cũng bằng 0.

Định nghĩa 1. Cho ma trận A cấp m x n: A =[aij]m x n ≠ θ . Cấp cao nhất của các định thức

con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) (rank(A)). Nếu

r(A) = r thì các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cơ sở của A.

Quy ước: r({θ}) = 0 .

Chú ý 1. Từ định nghĩa, ta suy ra các tính chất đơn giản sau

i) 0 ≤ r (A) ≤ min{m, n}

ii) r(A) = r(AT)

iii) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì

28



* r(A) = n ⇔ A ≠ 0 hay A không suy biến

* r(A) < n ⇔ A = 0 hay A suy biến

1 − 1 3 4 





Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận A = 2 3 6 8 

3 2 9 12







Giải:

24

Ta có định thức con cấp 2: D 23 =



3 8

= 20 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2.

2 12



Xét các định thức con cấp 3: có tất cả C 3 = 4 định thức con cấp 3 của A

4

D



123

123



1 −1 3

1 3 4

134

= 2 3 6 = 0 ; D123 = 2 6 8 = 0 ;

3 2 9

3 9 12



D



124

123



1 −1 4

−1 3 4

234

= 2 3 8 = 0 ; D123 = 3 6 8 = 0

3 2 12

2 9 12



Hay mọi định thức con cấp 3 của A bằng 0. Do đó r(A) = 2.

a 11

0



 ...



Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận sau: A =  0

0



 ...

0





a 12

a 22

...

0

0

...

0



... a 1r

... a 2 r

... ...

... a rr

... 0

... ...

... 0



a 1r +1

a 2 r +1

...

a r r +1

0

...

0



... a 1n 

... a 2 n 



... ... 



... a r n 

... 0 



... ... 

... 0 





với a11a22 … arr ≠ 0.

Giải:



12...r

Ta có định thức con cấp r : D12...r



a 11

0

=

...

0



a 12

a 22

...

0



... a 1r

... a 2 r

= a 11a 22 ...a rr ≠ 0 và mọi định thức

... ...

... a rr



cấp cao hơn r đều chứa ít nhất một dòng toàn số không nên định thức đó bằng 0. Do vậy,

r(A) = r.

Từ ví dụ này ta có kết quả sau:

Định lý 2



29



(i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

ii) Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của ma trận đó

Định lý 3

(i) Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp m × n bất kỳ, ta luôn có:

r (A + B) ≤ r (A) + r (B)



(ii) Với A và B là hai ma trận bất kỳ sao cho AB tồn tại, ta luôn có:

r (AB) ≤ r (A) và r (AB) ≤ r (B) hay r (AB) ≤ min {r(A), r(B) }



(iii) Nếu A là ma trận cấp m x n, B là ma trận vuông cấp n x p thì

r(A) + r(B) ≤ r(AB) + n

Hệ quả: Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì ta có

r (A) + r (B) ≤ n + r (AB)



2. Các phương pháp tìm hạng của ma trận

a) Phương pháp định thức

Trước hết, ta chứng minh kết quả:

Định lý 4. Cho ma trận A = [aij]m x n có một định thức con cấp r khác 0 là Dr. Nếu mọi

định thức con cấp r + 1 chứa Dr đều bằng 0 thì hạng của A bằng r.

Từ định lý này, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận như sau:

Bước 1: Tìm một định thức con cấp Dk khác 0 cấp k ( 0 < k < min{ m, n} ).

Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 chứa Dk (nếu có).

Trường hợp 1: Nếu các định thức cấp k + 1 đó đều bằng 0 thì ta kết luận r(A) = k.

Trường hợp 2: Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp

k + 2 chứa định thức cấp k + 1 khác 0 này (nếu có).



Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A .

1 − 1 3 4 





Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận A = 2 3 6 8 

3 2 9 12







Giải:

12

Ta có định thức con cấp 2: D12 =



1 −1

= 5 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2.

2 3



Xét các định thức con cấp 3 chứa D12 : có 2 định thức con cấp 3 của A chứa D12

12

12



30



D



123

123



1 −1 3

1 −1 4

124

= 2 3 6 = 0 ; ; D123 = 2 3 8 = 0 .

3 2 9

3 2 12



Như vậy, mọi định thức con cấp 3 chứa D12 đều bằng 0 nên r(A) = 2.

12

a) Phương pháp biến đổi sơ cấp

Từ định lý trên, ta có phương pháp biến đổi sơ cấp để tìm hạng của A:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang B.

Bước 2: Đếm số dòng khác không của B, số đó là hạng của A.

 1 −3 4 2 





Ví dụ 5. Tìm hạng của ma trận sau: A =  2 1 1 4 

 − 1 − 2 1 − 2







Giải:

Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

 1 − 3 4 2  −2 d +d 1 − 3 4 2 1 d 2 1 − 3 4 2

7

1

2

A=2

1 1 4  → 0 7 − 7 0  → 0 7 − 7 0  = B



 d1 +d 2 

 5d 2 + d 3 



− 1 − 2 1 − 2

0 − 5 5 0 

0 0

0 0















B là ma trận dạng bậc thang có 2 dòng khác 0 nên r(A) = r(B) = 2

Ví dụ 6. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất

 1 −1 2 3 

A = − 1 1 3 − 1





 1 −1 7 m 







Giải: Ta biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thang

Lấy dòng 1 cộng vào dòng 2, dòng 1 nhân với (- 1) cộng vào dòng 3, ta được:

3 

1 1 2

0 0 5

→

2 



− d1 + d 3 

0 0 5 m − 3





d1 + d 2



Nhân dòng 2 với (- 1) cộng vào dòng 3 ta thu được ma trận dạng bậc thang:

3 

1 1 2

0 0 5

→

2 



− d1 + d 3 

0 0 0 m − 5





d1 + d 2



Từ ma trận dạng bậc thang, ta có r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m – 5 = 0 ⇔ m = 5

 1 2 



Ví dụ 7. Tìm hạng của ma trận  

 0 3 







n



31



1 2

n

 là ma trận vuông cấp 2 nên A cũng là ma trận vuông cấp 2. Theo

0 3 



Giải: Ta có A = 



định lý nhân định thức ta có det(An) = [det(A)]n = 3n ≠ 0. Nên r(An) = 2.



32



CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

§1. Khái niệm về không gian véc tơ

1. Định nghĩa vectơ n thành phần

Định nghĩa 1. Mỗi bộ n số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định (x 1, x2, …,

xn) được gọi là một vectơ n thành phần.

Vectơ n thành phần thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường như x, y, u, v, …

• Vectơ n thành phần mà tất cả các thành phần đều bằng 0 được gọi là vectơ không,

ký hiệu là θ. Vậy θ = (0, 0, …, 0)

• Cho 2 vectơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn)

x = y ⇔ x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.

2. Các phép toán về véc tơ n thành phần

a) Phép cộng giữa hai vectơ n thành phần

Định nghĩa 2.

Cho 2 vectơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn). Khi đó

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn).

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau

Định lý 1.

Cho x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn),z = (z1, z2, …, zn) ta đều có

(i) Tính chất giao hoán: x + y = y + x

(ii) Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)

(iii) x + θ = x.

(iv) ∃-x = (-x1, -x2, …, -xn): x + (-x) = θ. Vectơ - x được gọi là vectơ đối của vectơ x.

Chứng minh: Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép toán trên

các số thực.

b) Phép nhân một số thực với một vectơ n thành phần:

Định nghĩa 3

Cho vectơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn) và một số λ ∈R. Khi đó

λx = (λx1, λx2, …, λxn)

Từ định nghĩa này ta suy ra các tính chất sau:

Định lý 2. Mọi vectơ n thành phần x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) và mọi λ, µ

∈R, ta có

33