§2. Định thức của ma trận vuông

x2

Giải: Ta có

9



25

= 4 x 2 − 25.9 .

4



2

2

Do đó PT ⇔ 4 x − 25.9 = 0 ⇔ x =



25.9

± 15

⇔x=

.

4

2



* Định thức cấp 3:

a 11

det A = a 21

a 31



a 12

a 22

a 32



a 13

a 23 = a 11 .a 22 .a 33 + a 12 .a 23 .a 31 + a 13 .a 21 .a 32 − a 13 .a 22 .a 31 − a 12 .a 21 .a 33 − a 11 .a 23 .a 32

a 33



Quy tắc Sariut: Định thức cấp 3 có 6 số hạng, mà mỗi số hạng là tích của 3 phần tử mà

mỗi dòng, mỗi cột chỉ có một đại biểu duy nhất.

* Các số hạng mang dấu cộng: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo chính

hoặc các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với

đường chéo chính.

* Các số hạng mang dấu trừ: các số hạng mà các phần tử nằm trên đường chéo phụ hoặc

các phần tử nằm trên các đỉnh của tam giác có 3 đỉnh có một cạnh song song với đường

chéo phụ.Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus”

sau:

•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



•



Dấu +

•



•



•



Dấu •



•



Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp

3: ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức hoặc ghép thêm dòng thứ

nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo

như quy tắc thể hiện trên hình:

Dấu -



a

1

a2

a3



Dấu +



a

1

a2



12



b

1

b2 Dấu

b3

b

1



Dấu2

b+



c1

c2

c3

c1

c2



1 −2 3

Ví dụ 4.Tính định thức ∆ 3 = 2 0 1

2 −2 1



Giải: Ta có ∆ 3 = 1.0.1 + 2.(-2).1 + 3.2.(-2) – 3.0.2 – 1.(-2).2) – 1.1.(-2) = -10.

x2

Ví dụ 5. Giải phương trình 1

4



x 1

1 1=0

2 1



Giải:

x2

Ta có 1

4



x 1

x = 1

1 1 = x 2 − 3x + 2 . Do đó PT ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ 

.

x = 2

2 1



• Định thức cấp n (n ≥ 3 ):

n



det(A) =



∑a

j=1



ij



(−1) i + j det(M ij ) (với i bất kỳ) (Khai triển định thức theo dòng i)



n



hoặc det(A) =



∑a

i =1



ij



(−1) i + j det(M ij ) (với j bất kỳ) (Khai triển định thức theo cột j)



2011 0

2010 x 2

Ví dụ 6. Giải phương trình :

2009 1

2008 4

2011 0

2010 x 2

∆4 =

Giải: Đặt

2009 1

2008 4

x2

∆ 4 = 2011.(−1)1+1 . 1

4



0

x

1

2



0

x

1

2



0

1

=0

1

1



0

1

. Khai triển định thức theo dòng 1:

1

1



x 1

x2

1 1 = 2011. 1

2 1

4



x 1

1 1 . Dùng định nghĩa định thức cấp ba, thu được

2 1



x = 1

2

∆ 4 = 2011( x 2 − 3x + 2) . Khi đó PT ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔ 

.

x = 2



2. Tính chất của định thức

A =[aij]n x n với ∆ n = det(A)

Dòng i của định thức được gọi là tổng của 2 dòng nếu:



(a



i1



a i2 ....a ij ....a in ) = ( bi1 bi2 ....bij ....bin ) + ( ci1 ci2 ....cij ....cin ) ;a ij = bij + cij (∀j = 1, n)

13



Dòng i là tổ hợp hợp tuyến tính của các dòng khác nếu

n



a ij = ∑ α k a kj (∀j = 1, n )

k =1

k≠



n



. Ký hiệu



di = ∑ αkdk

k =1

k ≠i



; dk = (ak1 ak2 ... akn)



Tính chất 1. (Tính chất chuyển vị)

Định thức của ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó:

det(AT) = det(A)

a b 

T

 . CMR det(A ) =det(A)

c d 



Ví dụ 1. Cho A = 



Giải: Ta có det(A) =



a b

a c

= ad − bc . Suy ra đpcm.

= ad- bc và det(AT) =

c d

b d



Chú ý 1. Từ tính chất chuyển vị, mọi tính chất của định thức đúng cho dòng thì cũng

đúng cho cột và ngược lại. Do đó, trong các tính chất của định thức, chỉ phát biểu cho các

dòng, các tính chất đó vẫn giữ nguyên giá trị khi thay chữ "dòng" bằng chữ "cột".

Tính chất 2. (Tính phản xứng).

Đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên vị trí các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.

Ví dụ 2. So sánh hai định thức: D =



c

a b

'

và D =

c d

a



d

b



Giải: Ta có D = ad – bc và D’= bc- ad = -D

Hệ quả 1. Một định thức có hai dòng giống nhau thì bằng không.

Chứng minh

Gọi định thức có hai hàng như nhau là ∆ n . Đổi chỗ hai hàng đó ta được, theo tính chất 2

ta có

∆ n = - ∆ n ⇔ 2∆ n = 0 ⇒ ∆ n = 0



Tính chất 3. (Tính thuần nhất). Nếu nhân các phần tử một dòng nào đó với cùng một số

k thì được định thức mới bằng k lần định thức cũ

a 11

...

ka i1

...

a n1



a 12

...

ka i 2

...

a n2



... a 1n

a 11 a 12

... ...

... ...

... ka in = k. a i1 a i 2

... ...

... ...

a n1 a n 2

... a nn



...

...

...

...

...



a 1n

...

a in

...

a nn



Định lý này có thể phát biểu: Nếu một định thức có một dòng có nhân tử chung thì đưa

nhân tử chung ra ngoài dấu định thức



14



Hệ quả 2. Một định thức có hai dòng tỉ lệ với nhau thì bằng không.

Chứng minh: Thật vậy, nếu đưa hệ số tỷ lệ ra ngoài dấu định thức thì được một định thức

có hai dòng giống nhau nên nó bằng không.

12 −2 6

7

17 −68 34 −204

Ví dụ 3. Chứng minh định thức sau chia hết cho 17: ∆ 4 =

2

1

1

−4

6

7 11

9

Giải:

12

−2

6

7

12 − 2 6

7

17.1 17.(−4) 17.2 17.(−12)

1 − 4 2 − 12

= 17.

= 17.D .

Ta có ∆ 4 =

2

1

1

−4

2 1 1 −4

6

7

11

9

6

7 11 9

17

Vì D là định thức tạo bởi các số nguyên nên D cũng là số nguyên. Do đó ∆ 4 



Tính chất 3. (Tính cộng tính). Nếu định thức có một dòng là tổng hai dòng thì định thức

bằng tổng của hai định thức.

a11

L

bi1 + ci1

L

a n1



a12

L

bi2 + ci2

L

an2



L

a1n

a11 a12

L

L

L L

L bin + cin = bi1 bi2

L

L

L L

L

a nn

a n1 a n 2



L

L

L

L

L



a1n a11 a12

L L L

bin + ci1 ci2

L L L

a nn a n1 a n 2



L

L

L

L

L



a1n

L

cin

L

a nn



Hệ quả 3. Nếu định thức có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định

thức ấy bằng không.

Đó là hệ quả của tính chất cộng tính và tính thuần nhất.

Hệ quả 4. Nếu cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức

không đổi.

Từ các tính chất của định thức, ta thường sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

trong quá trình tính định thức cấp n:

* Đổi chỗ 2 dòng (cột) cho nhau: d i ↔ d j (c i ↔ c j ) , phép biến đổi này định thức đổi dấu

* Nhân một dòng (cột) với một số khác 0: kd i (kc i ) , phép biến đổi này định thức tăng lên

k lần.

* Nhân một dòng (cột) với một số cộng vào dòng (cột) khác: hd i + d j (hc i + c j ) , phép biến

đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức.



15



a

b

c

a'

b'

c'

Ví dụ 4. Tính định thức ∆ 3 =

ax + a ' y bx + b' y cx + c' y



Giải:

Nhân dòng 1 với (-x), dòng 2 với (-y) cộng vào dòng 3 ta được: ∆ 3

a2

(a + 1) 2

Ví dụ 5. Tính định thức ∆ 4 =

(a + 2) 2

(a + 3) 2



b2

(b + 1) 2

(b + 2) 2

(b + 3) 2



c2

(c + 1) 2

(c + 2) 2

(c + 3) 2



− xd1 − yd 2 + d 3



=



a b c

a ' b' c' = 0

0 0 0



d2

(d + 1) 2

(d + 2) 2

(d + 3) 2



Giải:

Nhân dòng 1 với (-1), rồi cộng lần lượt vào dòng 2, dòng 3, dòng 4 được:

a2

b2

c2

d2

− d1 + d i

2a + 1 2b + 1 2c + 1 2d + 1

∆4 =

i = 2 , 3, 4 4a + 4

4b + 4 4c + 4 4d + 4

6a + 9 6b + 9 6c + 9 6d + 9



Sau đó nhân dòng 2 với (- 2) cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-3) cộng vào dòng 4

được:

a2

b2

c2

d2

−2d 2 +d3

2a + 1 2b + 1 2c + 1 2d + 1

∆4 =

= 0 (vì có 2 dòng tỷ lệ nhau)

− 3d 2 + d 4

2

2

2

2

6

6

6

6

a

b

Ví dụ 6. Tính định thức ∆ 4 = c

a+b

2



b

c

a

b+c

2



c

a

b

c+a

2



Giải:



16



1

1

1

1



a + b + c +1

a + b + c +1

Cộng các cột vào cột 1 ta được: ∆ 4 = a + b + c + 1



b

c

a

b+c

a + b + c +1

2



c

a

b

c+a

2



1

1

1

1



Đặt nhân tử chung của cột 1 ra ngoài:

1

1

∆ 4 = (a + b + c + 1). 1



b

c

a

b+c

1

2



c

a

b

c+a

2



1

1

1=0

1



3.Các phương pháp tính định thức

Cho định thức cấp n:

a 11

...



... a 1 j

... ...



... a 1n

... ...



∆ n = a i1 ... a ij ... a in

... ... ... ... ...

a n1 ... a nj ... a nm



a) Phương pháp khai triển (Sử dụng định nghĩa)

• Phần bù đại số của aij

Xóa đi dòng thứ i và cột thứ j (dòng và cột chứa phần tử aij ) của A ta được một ma

trận con (n - 1), kí hiệu là M ij . Định thức của M ij được gọi là định thức con cấp n -1

i+ j

tương ứng với phần tử aij của A và A ij = (−1) det(M ij ) được gọi là phần bù đại số của



phần tử aij của định thức d. Cho định thức cấp n là ∆ n . Khi đó ∆ n có thể tính theo hai

cách sau:

i) Công thức khai triển theo dòng thứ i :

n



n



j=1



j=1



∆ n = ∑ a ij (−1) i + j . det(M ij ) = ∑ a ij A ij (1)



ii) Công thức khai triển theo cột thứ j:

n



n



i =1



i =1



∆ n = ∑ a ij (−1) i + j . det(M ij ) = ∑ a ij A ij (2)



Hệ quả. Đối với định thức cấp n là ∆ n , ta có



17



n



i)



∑a

j=1



ij



∆ khi i = k

A kj =  n

(3)

0 khi i ≠ k



n



ii)



∑a

i =1



ij



∆ khi j = k

A ik =  n

(4)

0 khi j ≠ k



Nhận xét: Mục đích của công thức (1) hoặc (2) là chuyển việc tính định thức cấp n về

tính định thức cấp n -1, rồi từ cấp n -1 chuyến về cấp n -2, …, cho đến định thức cấp 3, 2.

Khi áp dụng công thức (1) hoặc (2), ta nên chọn dòng hoặc cột có chứa nhiều phần tử 0

nhất để khai triển. Nếu không có dòng hoặc cột như vậy ta biến đổi định thức đưa về định

thức mới bằng định thức ban đầu nhưng có dòng hoặc cột như vậy.

1 2 −1

b) ∆ 3 = 3 1 2

−1 2 4



2 1 1

Ví dụ 7. Tính định thức a) ∆ 3 = 3 − 1 2

4 5 0



Giải:

a) Khai triển định thức theo dòng 3 ta có:

∆ 3 = 4.(−1) 3+1 .



1 1

2 1

+ 5.( −1) 3+ 2 .

+ 0 = 12 − 5 = 7

−1 2

3 2



b) Khai triển định thức theo cột 1 ta có:

∆ 3 = 1.(−1)1+1 .



1 2

2 −1

2 −1

+ 3.(−1) 2+1 .

+ (−1)(−1) 3+1 .

= 0 − 30 − 5 = −35

2 4

2 4

1 2



1

1

0

5

1 0

−1 3

1

3

0 1

Ví dụ 8. Tính định thức a) ∆ 4 =

b) ∆ 4 =

2 − 4 −1 − 3

0 0

3 −5 2

1

2 3



0 2

0 −3

1 4

4 11



Giải:

a) Nhân cột 1 với (-1) cộng vào cột 2, nhân cột 1 với (-5) cộng vào cột 4; rồi khai triển

định thức theo cột 1, ta được

1

0

0

0

4

1

8

4

1

8

− c1 + c 2 − 1

4

1

8

1+1

∆4 =

= 1.(−1) . − 6 − 1 − 13 = − 6 − 1 − 13

−5 c1 + c 4 2

− 6 − 1 − 13

− 8 2 − 14 − 8 2 − 14

3 − 8 2 − 14



Cộng dòng 1 vào dòng 2, nhân dòng 1 với (-2) cộng vào dòng 2, rồi khai triển định thức

theo cột 2 ta được:



18



4 1

8

−2 −5

∆ 4 = − 2 0 − 5 = 1.(−1)1+ 2 .

= 20

− 2 d1 + d 3

− 16 − 30

− 16 0 − 30

d1 + d 2



b) Nhân cột (-2) với cột 1 rồi cộng với cột 4

1

0

∆4 =

0

2



0

1

0

3



0 0

0 −5

1 4

4 9



Khai triển định thức theo dòng 1 ta được

1

0

∆4 =

0

2



0

1

0

3



0 0

1 0 −5 1 0 −5

0 −5

1+1

= 1.(−1) . 0 1 4 = 0 1 4

1 4

3 4 9

3 4 9

4 9



Nhân cột 1 với 5 cộng vào cột 3, khai triển định thức theo dòng 1 ta được

1 0 0

1 4

∆ 4 = 0 1 4 = 1.( −1)1+1 .

= 24 − 16 = 8

4 24

3 4 24



Ví dụ 9. Tính định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới

a 11

0

a) ∆ n = ...

0

0



a 12

a 22

...

0

0



... a 1n −1

... a 2 n −1

...

...

... a n −1 n −1

...

0



a 1n

a 2n

...

a n −1 n

a nn



a 11

a 21

b) ∆ n = ...

a n −11

a n1



0

a 22

...

a n −1 2

a n2



...

0

...

0

...

...

... a n −1 n −1

... a n n −1



0

0

...

0

a nn



Giải:

Ta chỉ cần xét ý a) Lần lượt khai triển định thức theo cột 1 :

a 11

0

∆ n = ...

0

0



a 12

a 22

...

0

0



... a 1n −1

... a 2 n −1

...

...

... a n −1 n −1

...

0



a 1n

a 22

a 2n

...

... = a 11 .(−1)1+1 .

0

a n −1 n

0

a nn



19



... a 2 n −1

...

...

... a n −1n −1

...

0



a 2n

...

= ... = a 11 .a 22 ...a nn

a n −1 n

a nn



a 11

a 21

Tương tự, ta có ∆ n = ...

a n −11

a n1



0

a 22

...

a n −1 2

a n2



...

0

...

0

...

...

... a n −1 n −1

... a n n −1



0

0

... = a 11a 22 ...a nn

0

a nn



b) Phương pháp biến đổi về dạng tam giác:

Dùng các tính chất của định thức để biến đổi định thức đưa định thức về định thức của

ma trận tam giác trên hoặc dưới, sau đó áp dụng công thức:

a 11

0

...

0



a 12

a 22

...

0



... a 1n

a 11

... a 2 n

a

= a 11 .a 22 .a 33 ...a nn hoặc 21

... ...

...

... a nn

a n1



0

a 22

...

a n2



... 0

... 0

= a 11a 22 ...a nn

... ...

... a nn



Ví dụ 10. Tính các định thức

1

a1

5

1 a 1 + b1

5

a1

5 b) ∆ 4 = 1

1

a1

5

1

a1

0



1

2

3

4

−1 0

3

4

4

a) ∆ 5 = − 1 − 2 0

−1 − 2 − 3 0

−1 − 2 − 3 − 4



a2

a2

a 2 + b2

a2

a2



a3

a3

a3

a 3 + b3

a3



a4

a4

a4

a4

a 4 + b4



Ví dụ 11. Tính định thức

0

1

1

a) ∆ 6 =

1

1

1



1

0

x

x

x

x



1

x

0

x

x

x



1

x

x

0

x

x



1

x

x

x

0

x



1

x

x

x

x

0



a

x

x

b) ∆ 6 =

x

x

x



x

a

x

x

x

x



x

x

a

x

x

x



x

x

x

a

x

x



x

x

x

x

a

x



x

x

x

x

x

a



Giải: a)

• Nếu x = 0, khai triển định thức theo dòng 1, suy ra ∆ 6 = 0

• Nếu x ≠ 0, nhân cột 1, dòng 1 với x, rồi cộng các dòng vào dòng 1và đặt nhân tử

chung (n -1) ra ngoài ta được:

0

x

1 x

∆6 = 2 .

x x

x

x



x

0

x

x

x

x



x

x

0

x

x

x



x

x

x

0

x

x



x

x

x

x

0

x



x

x

x

x

x

5 x

= 2.

x x x

x

x

0

x



x

0

x

x

x

x



20



x

x

0

x

x

x



x

x

x

0

x

x



x

x

x

x

0

x



x

x

x

x

x

0



Nhân dòng 1 với (-1) rồi cộng vào các dòng khác ta được:

x x

x

x

x

x

0 −x 0

0

0

0

0

0

5 0 0 −x 0

5

∆6 = 2 .

= 2 .x (− x ) 5 = −5x 3

0 −x 0

0

x 0 0

x

0 0

0

0 −x 0

0 0

0

0

0 −x



b) Cộng các cột vào cột 1, rồi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu định thức ta được

a + 5x x x ...

a + 5x a x ...

a + 5x x a ...

∆6 =

...

... ... ...

a + 5x x x ...

a + 5x x x ...



x

x

x

...

a

x



x

1

x

1

x

1

= [ a + 5x ].

...

...

x

1

a

1



x

a

x

...

x

x



x

x

a

...

x

x



...

...

...

...

...

...



x

x

x

...

a

x



x

x

x

...

x

a



Nhân dòng 1 với (-1) và cộng vào các dòng 2, dòng 3, … , dòng n ta được

1

x

x

0 a−x

0

0

0

a−x

∆ n = [ a + 5x ].

...

...

...

0

0

0

0

0

0



...

x

x

...

0

0

...

0

0

= [ a + 5x ].(a − x ) 6

...

...

...

... a − x

0

...

0

a−x



21



§3. Ma trận nghịch đảo

Trong phần này chúng ta xem xét khái niệm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông

cấp n, điều kiện tồn tại và cách tìm ma trận nghịch đảo

1. Định thức của tích hai ma trận vuông

Cho hai ma trận vuông cấp n : A = [aij]n x n; B = [bij]n x n

Định lý 1. Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức của ma trận

thành phần: det(AB)= det(A)det(B)

Hệ quả: det(An) = [det(A)]n

Ví dụ 1. Cho A, B là ma trận vuông cấp 3 có det(A) = 2, det(B) = -2. Tính det(AB),

det(A2B); det(2AB); det(A3); det(2A).

Giải: det(AB)= det(A).det(B)= 2. (-2) = -4

det(A2B)= det(A2).det(B) = 22. (-2) = -8

det(2AB) = 23.det(AB) = 8. (-4) = -32

det(A3) = [det(A)]3 = 23 = 8

det(2A) = 23.det(A) = 16

2. Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1. Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu có ma

trận vuông B cấp n sao cho A.B = B.A = E n thì ta nói ma trận A là khả nghịch và B được

gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là B), và ký hiệu

A-1 = B.

1



1 0



0



−1

Ví dụ 2. a) Ma trận A = 

 là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo là A = 0 1  .



0 4 



4





1 0 1

Vì ta có 

.

0 4  0





0  1

1 = 

0

4 

 



0  1 0 1 0

1 .

=

.

 0 4  0 1 

4



0 0 



b) Ma trận θ = 

 không khả nghịch vì mọi ma trận vuông B cấp 2 đều có

0 0 

θ.B = B.θ = θ ≠ E .



Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

Định lý 2. Ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì duy nhất

3. Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo

Định lý 3. Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.

22