Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (895.52 KB, 166 trang )
4 − 2
− 3 1
Nên A =
−1
Bước 3. Tính ma trận nghịch đảo A =
− 2
1
1 4 − 2 − 2
.A =
.
= 3
det(A)
− 2 − 3 1
2
1
− 1
2
1
− 1
2
−1
Vậy A = 3
2
b)
−1
Bước 1. Ta có det(A) = -1 ≠ 0 nên A khả nghịch và A =
1
.A
det(A)
Bước 2. Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A. Ta có
A 11 = (−1)1+1 .
5 3
2 3
2 5
= 40; A 12 = (−1)1+ 2 .
= −13; A 22 = (−1) 2+ 2 .
= −5
0 8
1 8
1 0
A 21 = (−1) 2+1 .
2 3
1 3
1 2
= −16; A 22 = (−1) 2+ 2 .
= 5; A 23 = (−1) 2+3 .
=2
0 8
1 8
1 0
A 31 = (−1) 3+1 .
2 3
1 3
1 2
= −9; A 32 = (−1) 3+ 2 .
= 3; A 33 = (−1) 3+3 .
=1
5 3
2 3
2 5
40 − 16 − 9
3
Nên A = − 13 5
−5
2
1
Bước 3. Tính ma trận nghịch đảo A
−1
Vậy A
−1
− 40 16 9
1
=
A = 13 − 5 − 3
det(A)
5
− 2 − 1
− 40 16 9
= 13 − 5 − 3
5
− 2 − 1
Ví dụ 6. Giải phương trình ma trận sau
1 2
3 5 1
a)
.X = 5 9 − 2
3 4
1 2 3
1 0
2 5 3.X = 0 1
b)
1 0 8
− 1 1
Giải:
1 2
khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất
3 4
a) Ma trận A =
25
−1
1 2 3 5 1 − 2
X=
.
= 3
3 4 5 9 − 2 2
1 3 5 1 − 1 − 1 0
− 1.
5
=
3
5 9 − 2 2
2
2
1 2 3
b) Ma trận A = 2 5 3 khả nghịch nên phương trình có nghiệm duy nhất
1 0 8
1 2 3
X = 2 5 3
1 0 8
−1
1 0 − 40 16 9 1 0 − 49 25
. 0 1 = 13 − 5 − 3. 0 1 = 16 − 8
− 1 1 5
− 2 − 1 − 1 1 6
− 3
b) Phương pháp khử Gause-Jordan (Phương pháp biến đổi sơ cấp)
Thực tế ta sẽ áp dụng đồng thời các phép biến đổi sơ cấp về dòng đó để đưa A về E và
đưa E về ma trận A-1. Từ đó, ta có quy tắc tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ
cấp (phương pháp Gauss – Jordan):
Bước 1: Viết ma trận đơn vị E cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A
được ma trận mới ký hiệu (A|E)
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mới này để đưa dần
khối ma trận A về ma trận đơn vị E, còn khối ma trận E thành ma trận B, tức là (A|E) →
(E|B). Khi đó, B chính là ma trận nghịch đảo của A.
1 2 3
Ví dụ 7. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận: A = 2 5 3
1 0 8
Giải:
1 2 3 1 0 0
Bước 1: Lập ma trận (A|E) = 2 5 3 0 1 0
1 0 8 0 0 1
Bước 2: Biến đổi sơ cấp
1 2 3 1 0 0
1 2
1 2 3 1 0 0
3 1 0 0
−2 d1 + d 2
2d 2 +d3
→
2 5 3 0 1 0 −d1 +d 3 0 1 − 3 − 2 1 0 → 0 1 − 3 − 2 1 0
1 0 8 0 0 1
0 − 2 5 − 1 0 1
0 0 − 1 − 5 2 1
1 2 0 − 14 6
1 0 0 − 40 16 9
3
−2 d 2 + d1
→ 0 1 0 13 − 5 − 3 → 0 1 0 13 − 5 − 3 .
−3d 3 + d1
3d 3 + d 2
0 0 1 5
− 2 − 1
− 2 − 1
0 0 1 5
−d 3
26
Vậy A
−1
− 40 16 9
= 13 − 5 − 3
5
− 2 − 1
27
§4. Hạng của ma trận
1. Khái niệm
Cho ma trận A = [a ij ] mxn ;1 ≤ k ≤ min{m, n} . Trước hết, ta nhắc lại khái niệm định thức con
cấp k của ma trận A.Lấy ra k dòng và k cột khác nhau . Định thức của ma trận cấp k có
các phần tử thuộc giao điểm của k dòng và k cột đó được gọi là định thức con cấp k của
j j ... j
A , ký hiệu: Di11 i22 ...ik ( 1 ≤ i1 < i 2 < ... < i k ≤ m;1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n ) trong đó i1, i2 , …, ik là
k
chỉ số của các dòng và j1, j2, …, jk là chỉ số của các cột đã lấy ra.
1 − 1 3 4
Ví dụ 1. Cho ma trận A = 2 3 6 8 .
3 2 9 12
Xác định các định thức con của A
Giải:
Các định thức con cấp 1 của A chính là các phần tử của A.
Các định thức con cấp 2 của A , chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2 và cột 1, 3 là
D13 =
12
1 3
3 8
= 0 ; tạo bởi dòng 2, 3 và cột 2, 4 là D 24 =
= 20 , ...
23
2 6
2 12
Các định thức con cấp 3, chẳng hạn tạo bởi các dòng 1, 2, 3 và cột 1, 3, 4 là
D
134
123
1 3 4
1 −1 4
134
= 2 6 8 = 0 ; tạo bởi dòng 1, 2, 3 và cột 1, 2, 4 là D123 = 2 3 8 = 0 ; ...
3 9 12
3 2 12
Định lý 1. Trong ma trận A, nếu mọi định thức con cấp k của A bằng 0 thì mọi định thức
con cấp cao hơn k cũng bằng 0.
Định nghĩa 1. Cho ma trận A cấp m x n: A =[aij]m x n ≠ θ . Cấp cao nhất của các định thức
con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A) (rank(A)). Nếu
r(A) = r thì các định thức con cấp r khác 0 của A được gọi là định thức con cơ sở của A.
Quy ước: r({θ}) = 0 .
Chú ý 1. Từ định nghĩa, ta suy ra các tính chất đơn giản sau
i) 0 ≤ r (A) ≤ min{m, n}
ii) r(A) = r(AT)
iii) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì
28
* r(A) = n ⇔ A ≠ 0 hay A không suy biến
* r(A) < n ⇔ A = 0 hay A suy biến
1 − 1 3 4
Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận A = 2 3 6 8
3 2 9 12
Giải:
24
Ta có định thức con cấp 2: D 23 =
3 8
= 20 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2.
2 12
Xét các định thức con cấp 3: có tất cả C 3 = 4 định thức con cấp 3 của A
4
D
123
123
1 −1 3
1 3 4
134
= 2 3 6 = 0 ; D123 = 2 6 8 = 0 ;
3 2 9
3 9 12
D
124
123
1 −1 4
−1 3 4
234
= 2 3 8 = 0 ; D123 = 3 6 8 = 0
3 2 12
2 9 12
Hay mọi định thức con cấp 3 của A bằng 0. Do đó r(A) = 2.
a 11
0
...
Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận sau: A = 0
0
...
0
a 12
a 22
...
0
0
...
0
... a 1r
... a 2 r
... ...
... a rr
... 0
... ...
... 0
a 1r +1
a 2 r +1
...
a r r +1
0
...
0
... a 1n
... a 2 n
... ...
... a r n
... 0
... ...
... 0
với a11a22 … arr ≠ 0.
Giải:
12...r
Ta có định thức con cấp r : D12...r
a 11
0
=
...
0
a 12
a 22
...
0
... a 1r
... a 2 r
= a 11a 22 ...a rr ≠ 0 và mọi định thức
... ...
... a rr
cấp cao hơn r đều chứa ít nhất một dòng toàn số không nên định thức đó bằng 0. Do vậy,
r(A) = r.
Từ ví dụ này ta có kết quả sau:
Định lý 2
29
