§4. Hạng của ma trận

* r(A) = n ⇔ A ≠ 0 hay A không suy biến

* r(A) < n ⇔ A = 0 hay A suy biến

1 − 1 3 4 





Ví dụ 2. Tìm hạng của ma trận A = 2 3 6 8 

3 2 9 12







Giải:

24

Ta có định thức con cấp 2: D 23 =



3 8

= 20 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2.

2 12



Xét các định thức con cấp 3: có tất cả C 3 = 4 định thức con cấp 3 của A

4

D



123

123



1 −1 3

1 3 4

134

= 2 3 6 = 0 ; D123 = 2 6 8 = 0 ;

3 2 9

3 9 12



D



124

123



1 −1 4

−1 3 4

234

= 2 3 8 = 0 ; D123 = 3 6 8 = 0

3 2 12

2 9 12



Hay mọi định thức con cấp 3 của A bằng 0. Do đó r(A) = 2.

a 11

0



 ...



Ví dụ 3. Tìm hạng của ma trận sau: A =  0

0



 ...

0





a 12

a 22

...

0

0

...

0



... a 1r

... a 2 r

... ...

... a rr

... 0

... ...

... 0



a 1r +1

a 2 r +1

...

a r r +1

0

...

0



... a 1n 

... a 2 n 



... ... 



... a r n 

... 0 



... ... 

... 0 





với a11a22 … arr ≠ 0.

Giải:



12...r

Ta có định thức con cấp r : D12...r



a 11

0

=

...

0



a 12

a 22

...

0



... a 1r

... a 2 r

= a 11a 22 ...a rr ≠ 0 và mọi định thức

... ...

... a rr



cấp cao hơn r đều chứa ít nhất một dòng toàn số không nên định thức đó bằng 0. Do vậy,

r(A) = r.

Từ ví dụ này ta có kết quả sau:

Định lý 2



29



(i) Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

ii) Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của ma trận đó

Định lý 3

(i) Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp m × n bất kỳ, ta luôn có:

r (A + B) ≤ r (A) + r (B)



(ii) Với A và B là hai ma trận bất kỳ sao cho AB tồn tại, ta luôn có:

r (AB) ≤ r (A) và r (AB) ≤ r (B) hay r (AB) ≤ min {r(A), r(B) }



(iii) Nếu A là ma trận cấp m x n, B là ma trận vuông cấp n x p thì

r(A) + r(B) ≤ r(AB) + n

Hệ quả: Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n thì ta có

r (A) + r (B) ≤ n + r (AB)



2. Các phương pháp tìm hạng của ma trận

a) Phương pháp định thức

Trước hết, ta chứng minh kết quả:

Định lý 4. Cho ma trận A = [aij]m x n có một định thức con cấp r khác 0 là Dr. Nếu mọi

định thức con cấp r + 1 chứa Dr đều bằng 0 thì hạng của A bằng r.

Từ định lý này, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận như sau:

Bước 1: Tìm một định thức con cấp Dk khác 0 cấp k ( 0 < k < min{ m, n} ).

Bước 2: Ta tính các định thức cấp k + 1 chứa Dk (nếu có).

Trường hợp 1: Nếu các định thức cấp k + 1 đó đều bằng 0 thì ta kết luận r(A) = k.

Trường hợp 2: Nếu có một định thức cấp k + 1 khác 0 thì ta lại tính các định thức cấp

k + 2 chứa định thức cấp k + 1 khác 0 này (nếu có).



Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được hạng của A .

1 − 1 3 4 





Ví dụ 4. Tìm hạng của ma trận A = 2 3 6 8 

3 2 9 12







Giải:

12

Ta có định thức con cấp 2: D12 =



1 −1

= 5 ≠ 0 nên r(A) ≥ 2.

2 3



Xét các định thức con cấp 3 chứa D12 : có 2 định thức con cấp 3 của A chứa D12

12

12



30



D



123

123



1 −1 3

1 −1 4

124

= 2 3 6 = 0 ; ; D123 = 2 3 8 = 0 .

3 2 9

3 2 12



Như vậy, mọi định thức con cấp 3 chứa D12 đều bằng 0 nên r(A) = 2.

12

a) Phương pháp biến đổi sơ cấp

Từ định lý trên, ta có phương pháp biến đổi sơ cấp để tìm hạng của A:

Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang B.

Bước 2: Đếm số dòng khác không của B, số đó là hạng của A.

 1 −3 4 2 





Ví dụ 5. Tìm hạng của ma trận sau: A =  2 1 1 4 

 − 1 − 2 1 − 2







Giải:

Dùng phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

 1 − 3 4 2  −2 d +d 1 − 3 4 2 1 d 2 1 − 3 4 2

7

1

2

A=2

1 1 4  → 0 7 − 7 0  → 0 7 − 7 0  = B



 d1 +d 2 

 5d 2 + d 3 



− 1 − 2 1 − 2

0 − 5 5 0 

0 0

0 0















B là ma trận dạng bậc thang có 2 dòng khác 0 nên r(A) = r(B) = 2

Ví dụ 6. Tìm m để ma trận sau có hạng bé nhất

 1 −1 2 3 

A = − 1 1 3 − 1





 1 −1 7 m 







Giải: Ta biến đổi đưa ma trận A về dạng bậc thang

Lấy dòng 1 cộng vào dòng 2, dòng 1 nhân với (- 1) cộng vào dòng 3, ta được:

3 

1 1 2

0 0 5

→

2 



− d1 + d 3 

0 0 5 m − 3





d1 + d 2



Nhân dòng 2 với (- 1) cộng vào dòng 3 ta thu được ma trận dạng bậc thang:

3 

1 1 2

0 0 5

→

2 



− d1 + d 3 

0 0 0 m − 5





d1 + d 2



Từ ma trận dạng bậc thang, ta có r(A) nhỏ nhất bằng 2 khi m – 5 = 0 ⇔ m = 5

 1 2 



Ví dụ 7. Tìm hạng của ma trận  

 0 3 







n



31



1 2

n

 là ma trận vuông cấp 2 nên A cũng là ma trận vuông cấp 2. Theo

0 3 



Giải: Ta có A = 



định lý nhân định thức ta có det(An) = [det(A)]n = 3n ≠ 0. Nên r(An) = 2.



32



CHƯƠNG 2. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

§1. Khái niệm về không gian véc tơ

1. Định nghĩa vectơ n thành phần

Định nghĩa 1. Mỗi bộ n số thực được sắp xếp theo một thứ tự nhất định (x 1, x2, …,

xn) được gọi là một vectơ n thành phần.

Vectơ n thành phần thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường như x, y, u, v, …

• Vectơ n thành phần mà tất cả các thành phần đều bằng 0 được gọi là vectơ không,

ký hiệu là θ. Vậy θ = (0, 0, …, 0)

• Cho 2 vectơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn)

x = y ⇔ x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.

2. Các phép toán về véc tơ n thành phần

a) Phép cộng giữa hai vectơ n thành phần

Định nghĩa 2.

Cho 2 vectơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn). Khi đó

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn).

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau

Định lý 1.

Cho x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn),z = (z1, z2, …, zn) ta đều có

(i) Tính chất giao hoán: x + y = y + x

(ii) Tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z)

(iii) x + θ = x.

(iv) ∃-x = (-x1, -x2, …, -xn): x + (-x) = θ. Vectơ - x được gọi là vectơ đối của vectơ x.

Chứng minh: Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép toán trên

các số thực.

b) Phép nhân một số thực với một vectơ n thành phần:

Định nghĩa 3

Cho vectơ n thành phần: x = (x1, x2, …, xn) và một số λ ∈R. Khi đó

λx = (λx1, λx2, …, λxn)

Từ định nghĩa này ta suy ra các tính chất sau:

Định lý 2. Mọi vectơ n thành phần x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) và mọi λ, µ

∈R, ta có

33



(v) λ(x + y) = λx + λy.

(vi) λ(µx) = (λµ)x

(vii) (λ + µ)x = λx + µx

(viii) 1.x = x.

Chứng minh: Các tính chất trên dễ dàng suy ra từ các tính chất của phép toán trên

các số thực.

c) Phép trừ vectơ

Định nghĩa 4

Hiệu của hai vectơ n thành phần x và y được xác định như sau:

x – y = x + (-y)

Vậy, với x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, yn) thì

x – y = (x1 – y1, x2 – y2, …, xn - yn).

3. Định nghĩa không gian vectơ tổng quát

Không gian vectơ n thành phần, ký hiệu ¡



n



là tập hợp tất cả các vectơ n thành phần



cùng với hai phép toán: phép cộng giữa hai vectơ n thành phần và phép nhân một số thực

với một vectơ n thành phần thoả mãn 8 tính chất (4 tính chất ở định lý 3.2 và 4 tính chất

định lý 3.2) gọi là 8 tiên đề của không gian véc tơ.

Từ định nghĩa này, ta có thể mở rộng khái niệm không gian véc tơ cho tập hợp E bất

kỳ khác rỗng.

Định nghĩa 5. Cho tập E khác rỗng. Trên E trang bị hai phép toán : phép cộng hai

phần tử của E, phép nhân một phần tử của E với một phần tử của trường K ( ¡ hoặc £ ,

trong giáo trình này chỉ xét trường số thực ¡ ; các kết của của các phép toán đó cũng là

phần tử của E). Nếu hai phép toán đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ thì E cùng

với hai phép toán đó được gọi là không gian véc tơ trên trường K.

Ví dụ 1. Tập Matm xn(K) các ma trận cấp m x n với các phần tử trên trường K cùng với

phép cộng 2 ma trận và phép nhân ma trận với 1 số. Theo định lý 2.1 ta có các phép toán

đó thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ. Vậy Mat mx n(K) là một không gian véc tơ

với véc tơ không là ma trận không cấp m x n ; phần tử đối của ma trận A = [a ij]m x n là ma

trận – A = [-aij]m x n

Ví dụ 2. Gọi Pn là tập các đa thức bậc không quá n với hệ số thực



34