Chương 5. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Định nghĩa 2. Cho D ⊂ Rn, ánh xạ f : D → R

xác định bởi M = (x1, x2, ..., xn) ∈ D a f(M) = f(x1, x2, ..., xn)

được gọi là hàm số của n biến số xác định trên D.

+) D được gọi là miền xác định của hàm số f

+) x1, x2, ..., xn được gọi là các biến số độc lập.

+) f (D) = { α ∈ R| ∃(x1 , x 2 , ..., x n ) ∈ D : f(x1 , x 2 , ..., x n ) = α} được gọi là miền giá trị

của f.

+) Tập hợp { K ( x 1 , x 2 ,..., x n , y) : y = f ( x 1 , x 2 ,..., x n ); M ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ∈ D} được gọi

là đồ thị hàm n biến số.

Ví dụ 1. Hàm số f(x, y) =1 + x2 + y2 có tập xác định là D=R2, tập giá trị là [1; + ∞ )

Ví dụ 2. Hàm số f ( x , y, z) = 4 − x 2 − y 2 − z 2 có tập xác định là:

D = {( x , y, z) : 4 − x 2 − y 2 − z 2 ≥ 0} = {( x , y, z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4} , tập giá trị là [ 0; 1]

Ví dụ 3. Hàm số

 xy

khi x 2 + y 2 ≠ 0

 2

2

f(x, y) =  x + y

0

khi x 2 + y 2 = 0



 −1 1 

có miền xác định là: D = R2, tập giá trị là  ; 

 2 2

2 Các phép toán

*Các phép toán số học

Cho D1, D2 ⊂ Rn, các hàm số f: D1 → R, g: D2 → R. Ta định nghĩa các hàm mới

như sau:

(f ± g)(M) = f(M) ± g(M), có miền xác định là D = D1 ∩ D2.

(f g)(M) = f(M).g(M), có miền xác định là D = D1 ∩ D2.

f (M)

f 

 g ÷(M) = g(M) , có miền xác định là D = {M ∈ D1 ∩ D2| g(M) ≠ 0}

 



* Hàm hợp

Cho hàm số f(u1, u2, ..., um) là hàm m biến với miền xác định là D ⊂ Rm và

u1 = u1(x1, x2, ..., xn), u2 = u2(x1, x2, ..., xn), ..., um = um(x1, x2, ..., xn) là các hàm n biến với



132



miền xác định là X ⊂ Rn sao cho với mọi (x1, x2, ..., xn) ∈ X thì (u1, u2, ..., um) ∈ D. Khi

đó, ta có hàm hợp:

F(x1, x2, ..., xn) = f(u1(x1, x2, ..., xn), u2(x1, x2, ..., xn), ..., um(x1, x2, ..., xn))

Chú ý. Trong tính toán, người ta không phân biệt f và F, tức là ta có thể viết

f(x1, x2, ..., xn) = f(u1(x1, x2, ..., xn), u2(x1, x2, ..., xn), ..., um(x1, x2, ..., xn))

2



Ví dụ 4. f(u, v) = e u + 2v , u = cosx, v =

Giải: Ta có f(x, y) = e cos x + 2 ( x



2



x 2 + y 2 . Xác định hàm hợp z = f(x,y).



+ y2 )



II. Các hàm số kinh tế nhiều biến số

1. Hàm sản xuất

Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế quan tâm đến hai yếu tố đầu vào

quan trọng là tư bản (capital) và lao động (labor) được ký hiệu lần lượt là K và L. Do đó,

hàm sản xuất có dạng: Q = f(K, L)

Ý nghĩa: Biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hóa vào hai yếu tố đầu vào là vốn và

lao động.

Một hàm sản xuất mà kinh tế học thường sử dụng là hàm sản xuất có dạng CobbDouglas: Q = aK α Lβ (Trong đó a, α, β là các số dương)

2. Hàm chi phí, hàm doanh thu và hàm lợi nhuận

Nếu doanh thu, chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q: TR = TR(Q), TC = TC(Q)

Khi đó hàm lợi nhuận là π = TR − TC

Nếu tính theo yếu tố sản xuất thì hàm chi phí có dạng:

TC=wK.K + wL.L +Co

Trong đó wK là giá thuê một đơn vị tư bản, w L là giá thuê một đơn vị lao động, C o

là chi phí cố định.

Với sản lượng của doanh nghiệp Q =f(K, L) và p là giá của một đơn vị sản phẩm

thì hàm doanh thu là TR = p.f(K,L). Do đó, hàm lợi nhuận là

π = TR − TC = p.f (K , L) − ( w K .K + w L .L + C o )

3. Hàm chi phí kết hợp

Trên thực tế các doanh nghiệp sản xuất ra nhiều loại hàng hóa và giả sử doanh

nghiệp sản xuất ra n hàng hóa và lượng hàng hóa tương ứng là Q 1, Q2, …, Qn. Như vậy,

hàm chi phí TC là hàm số của n biến số:

TC = TC(Q1, Q2, …, Qn)

133



được gọi là hàm chi phí kết hợp

4. Hàm lợi ích (hàm thỏa dụng)

Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có n mặt hàng. Mỗi túi hàng là

một bộ gồm n số thực X = (x 1, x2, …, xn), trong đó xi là lượng hàng hóa Ti (i=1, n ). Hàm

lợi ích là hàm số đặt tương ứng với mỗi túi hàng X một giá trị U nhất định theo quy tắc:

Túi hàng nào được ưa chuộng nhiều hơn thì gán cho giá trị lợi ích lớn hơn. Hàm lợi ích

có dạng tổng quát: U = U(x1, x2, …, xn)

Hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm Cobb- Douglas

α

U = ax 1 x α ...x α (trong đó a, α1 , α 2 ,..., α n là các số dương)

2

n

1



2



n



5. Hàm cung và hàm cầu trên thị trường n hàng hóa liên quan

Mức cung và mức cầu đối với một loại hàng hóa trên thị trường không những chỉ

phụ thuộc vào giá hàng hóa đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan và

thu nhập của người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hóa liên quan, hàm cung và hàm

cầu đối với hàng hóa i có dạng (giả sử thu nhập không thay đổi):

Q S = Si (p1 , p 2 ,..., p n )

i



Q D = D i (p1 , p 2 ,..., p n )

i



Trong đó, Q S là lượng cung của hàng hóa i, Q D là lượng cầu của hàng hóa i, pi là giá của

i



i



hàng hóa i (i=1, n ).

III. Giới hạn hàm nhiều biến

1. Giới hạn kép

Giả sử hàm số w = f(M) = f(x1, x2, …, xn) xác định trên tập D ⊂ R n

*Định nghĩa . Số A được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M dần đến M o nếu ∀ε > 0, ∃δ

> 0 sao cho với mọi M ∈ D (có thể trừ điểm Mo) và 0 < d(Mo, M) < δ thì

|f(M) – A| < ε

Kí hiệu:

lim f (x1 , x 2 , ..., x n ) = A hay lim f (M) = A



o

x1 →x1

x 2 →x o

2

...

x n →x o

n



M →M 0



* Tính chất

Tính chất 1. Giới hạn của hàm nhiều biến nếu tồn tại thì duy nhất.



134



Tính chất 2. Mlim 0 f (M) = A ⇔ ∀ dãy {Mk}, Mk ∈ D\{M0},

→M

k→∞

k→∞

Mk  M0 ⇒ f(Mk)  A.

→

→



 lim f(M) = A



0



Tính chất 3. M→M



α < A < β





⇒ ∃ r > 0, ∀M ∈ ( S(M 0 , r) ∩ D ) \ { M 0 }



thì α < f(M) < β

 lim f(M) = A

 M →M0

Tính chất 4. 

∃r > 0, ∀M ∈ ( S (M 0 , r) ∩ D ) \ { M 0 } : a < f(M) < b





⇒a
Tính chất 5.(Giới hạn tổng, hiệu, tích, thương)



∃ lim (f (M) ± g(M)) = A ± B

 M → M0

∃ lim f (M) = A

 M →M 0



⇒ ∃ Mlim [f(M).g(M)] = A.B



→ M0

lim

∃ M→M0 g(M) = B





f (M)

A



lim

∃ M→M0 g(M) = B (g(M) ≠ 0, B ≠ 0)





Tính chất 6. (Nguyên lý kẹp)

 ∃ lim g(M) = lim h(M) = A

 M →M 0

M →M0

⇒ ∃ Mlim 0 f(M) = A.



→M

∃r > 0, ∀M ∈ S(M0 , r) \ { M 0 } : g(M) ≤ f(M) ≤ h(M)





x3 + 2 y3

Ví dụ 5. Tính giới hạn sau Lim x 2 + y 2

x →0

y →0



Giải. Miền xác định D = R2\{(0, 0)}.Ta có

0≤



x3 + 2 y3

x3

2y3

x3

2y3

≤ 2

+ 2

≤ 2 + 2 ≤ x + 2 y ; ∀x ≠ 0, y ≠ 0 .

x2 + y2

x + y2

x + y2

x

y



Mà ta có



Lim( x + 2 y ) = 0

x →0

y →0



nên theo nguyên lý kẹp ta có



y3

x 3 + y3

x3

y3

x3

0≤ 2

≤ 2

+ 2

≤ 2 + 2 ≤ |x| + |y|

x + y2

x + y2

x + y2

y

x



Mà



lim



(x,y) →(0, 0)



(| x | + |y|) = 0



Do đó, theo Nguyên lý kẹp, ta có: Lim

x →0

y →0



x3 + 2 y3

=0

x2 + y2



135



Ví dụ 6. Tính Lim

x →0

y →0



x2 − 2y2

x2 + y2



Giải. Miền xác định D = R2\{(0, 0)}.





1

k



Xét hai dãy điểm  M k  ,





2 

  1 1 

÷ và M′k  , ÷ . Ta có

k 

  k k 



k→∞

Mk  (0, 0) và f(Mk) =

→



− 7 k →+∞ − 7

→

5

5



k→∞

M′k  (0, 0) và f(M′k) =

→



− 1 k →+∞ − 1

→

2

2



x2 − 2y2

Theo tính chất 2, suy ra không tồn tại Lim x 2 + y 2 .

x →0

y →0



2. Giới hạn lặp

Để đơn giản, ta chỉ xét khái niệm này cho hàm hai biến z = f(x, y).

Giả sử hàm f(x, y) xác định trong hình chữ nhật D = {(x, y): 0 < |x – x0| < d1,

0 < |y – y0| < d2; d1>0, d2>0}. Cố định y bất kỳ thoả mãn điều kiện 0 < |y – y0| < d2 thì



lim

hàm f(x, y) trở thành hàm một biến theo biến x, giả sử tồn tại giới hạn x →x 0 f(x, y) = ϕ(y)

lim

Tiếp theo, giả sử ∃ y→ y0 ϕ(y) = b. Khi đó, người ta nói rằng tồn tại giới hạn lặp của

lim lim

hàm f(x, y) tại điểm M0(x0, y0) và viết y→ y0 x →x 0 f(x, y) = b.

lim lim

Tương tự, ta cũng có thể định nghĩa giới hạn lặp x →x 0 y→ y0 f(x, y).

lim lim

lim lim

Chú ý 1. Các giới hạn lặp y→ y0 x →x 0 f(x, y) và x →x 0 y→ y0 f(x, y) có thể không bằng nhau.

Ví dụ 7. Xét Ví dụ 2 ở trên. Ta đã chứng minh được hàm số f(x, y) không có giới hạn kép

khi x → 0, y→ 0. Nhưng f(x, y) lại có giới hạn lặp tại điểm (0, 0).

Ta có

x − 2y

ϕ(y) = lim f (x, y) = Lim 2

= -2, ∀y ≠ 0

2

x →0

x →0

2



2



x +y



⇒ lim lim f (x, y) = lim ϕ(y) = -2.

y→0 x →0

y→0

x − 2y

ψ(x) = lim f (x, y) = Lim 2

2 = 1, ∀x ≠ 0

y →0

y →0

2



2



x +y



136



⇒ lim lim f (x, y) = lim ψ(y) = 1.

x →0 y→0

x →0

Chú ý 2. Khái niệm giới hạn vô hạn của hàm nhiều biến số cũng được định nghĩa tương

tự như đối với hàm số một biến số.

IV. Tính liên tục

1) Định nghĩa

Định nghĩa 1. Cho hàm số f(M) xác định trong miền D, M o ∈ D. Ta nói rằng, hàm số



lim

f(M) liên tục tại điểm Mo nếu tồn tại giới hạn: M→M0 f(M) = f(Mo).

Khi đó, ta ký hiệu f ∈ C(Mo).

Định nghĩa 2. Hàm số f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc D. Ký hiệu: f ∈ C(D).

Ví dụ 8. Xét sự liên tục trên miền xác định của hàm số

 x3 + 2 y3

khi x 2 + y 2 ≠ 0

 2

2

f(x, y) =  x + y

0

khi x 2 + y 2 = 0





Giải.

2

2

+) Với (xo, yo) ≠ (0, 0) bất kỳ ( xo + y o ≠ 0 ), ta có



lim f (x, y)



x →x 0

y→ y0



3

3

xo + 2 y o

= 2

= f(xo, yo)⇒ hàm số đã cho liên tục tại (xo, yo) ≠ (0, 0) bất kỳ.

2

xo + yo



x3 + 2 y3

+) Với (xo, yo) = (0, 0): Lim x 2 + y 2 = 0 = f(0;0)

x →0

y →0



Suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm (0, 0).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên R2.

 sin( xy )

2

2

 x 2 + y 2 khi x + y ≠ 0

Ví dụ 9.Xét tính liên tục của hàm f(x, y) = 

(a là tham số)

2

2

a

khi x + y = 0





Giải.

2



2



+) Với (x0, y0) ≠ (0, 0) bất kỳ (x 0 + y 0 ≠ 0), ta có



lim f (x, y)



x→ x0

y → y0



=



sin(x 0 y0 )

= f(x0, y0)

2

2

x 0 + y0



⇒ hàm số đã cho liên tục tại (x0, y0) ≠ (0, 0) bất kỳ.



137



+) Với (x0, y0) = (0, 0): Ta xét hai dãy điểm:

{Mk(xk, yk)}, thoả mãn xk = yk → 0, khi k → ∞ ⇒ f(Mk) =



s in(x k ) 2 x k →0 1

2(x k ) 2 → 2



s in2(y k ) 2 yk →0 2

{M′k(xk, yk)}, thoả mãn xk = 2yk → 0, khi k → ∞ ⇒ f(Mk) =

→ 5.

5(y k ) 2

Vậy, hàm số đã cho không có giới hạn tại (0, 0), do đó nó không liên tục tại (0, 0).

2) Tính chất

Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất tương tự như hàm số một biến

số liên tục. Chẳng hạn:

Tính chất 1. Nếu các hàm số

f ± g, fg,



f ,g



liên tục tại Mo thì các hàm số



f

( g(M 0 ) ≠ 0 ) cũng liên tục tại Mo

g



Tính chất 2. Nếu hàm f liên tục trên tập D với tập D đóng và bị chặn (D bị chặn nếu tồn

tại số r>0 để D ⊂ S(P, r ) )

∀M ∈ D, ∃α ∈ R + : |f(M)| ≤ α



⇒ ∃M , M ∈ D: f(M ) = min f (M), f(M ) = max f (M)

2

1

2

 1



D

D



138



§2. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến

I. Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1

1) Định nghĩa. Cho hàm số w = f(x1, x2, ..., xn) xác định trong một miền D ⊂ Rn

0



0



0



0



0



0



M0 = (x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ D. Cho x 1 số gia ∆x1, x 2 số gia ∆x2 , , ..., x n số gia ∆xn sao cho

o

điểm M ( x 1 + ∆x 1 ; x o + ∆x 2 ;...; x o + ∆x n ) ∈ D

2

n



* Số gia toàn phần của hàm f tại điểm M0:

0



0



0



0



0



0



∆f(M0) = f(M) – f(M0) = f(x 1 + ∆x1, x 2 + ∆x2, ..., x n + ∆xn ) – f(x 1 , x 2 , ..., x n )

* Số gia riêng của f theo biến xi ( i =1, n ) tại điểm M0:

0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



∆x i f(M0) = f(x 1 , x 2 , ...,x i−1 , x i + ∆xi , x i+1 , ..., x n ) – f(x 1 , x 2 , ...,x i−1 , x i , x i+1 , ..., x n )

* Đạo hàm riêng theo biến xi của f tại điểm M:

Ta nói hàm số f có đạo hàm riêng theo biến xi tại điểm M0 nếu∃ lim



∆x i →0



'



(hữu hạn). Kí hiệu: f xi (M0) hay



∆ xi f (M 0 )

∆x i



∂f (M 0 )

.

∂x i



Chú ý 1. Đạo hàm riêng của hàm w = f(M) theo biến x i tại M0 chính là đạo hàm của hàm

một biến xi khi ta coi các biến còn lại là hằng số.

Ví dụ 1. Tìm các đạo hàm riêng của hàm số sau:

f(x, y) = yln(x2 + y2)

Giải: Ta có

f′x(x, y) = y



2x

2 xy

2 =

2

x +y

x + y2

2



2y

2y2

2

2

f′y(x, y) = ln(x + y ) + y x 2 + y 2 = ln(x + y ) + 2

x + y2

2



2



Ví dụ 2. Tính đạo hàm riêng của f(x, y) = x2 + y3 + 2xy + 3y + 2

Giải: Ta có

f x' ( x, y ) = 2 x + 2 y ; f y' ( x , y) = 3y 2 + 2 x + 3



* Vi phân toàn phần của hàm số f tại M0:

Hàm số f khả vi tại M0 nếu số gia toàn phần của nó tại điểm M 0 có thể biểu diễn

dưói dạng

139



(



∆f(M0) = A1∆x1 + A2∆x2 + ... + An∆xn + o (∆x 1 ) 2 + (∆x 2 ) 2 + ... + (∆x n ) 2

trong đó



Lim



∆x i →0 ∀i =1, n



(



o (∆x 1 ) 2 + (∆x 2 ) 2 + ... + (∆x n ) 2

(∆x 1 ) 2 + (∆x 2 ) 2 + ... + (∆x n ) 2



) = 0 , các



)



Ai (i = 1,n ) không phụ



thuộc vào các ∆x1, ∆x2, …, ∆xn.

Kí hiệu: f ∈ C1(M0).

Khi đó, biểu thức A1∆x1 + A2∆x2 + ... + An∆xn được gọi là vi phân toàn phần của hàm

số f tại M0. Kí hiệu là df(M0): df(M0) = A1∆x1 + A2∆x2 + ... + An∆xn.

2) Tính chất

Tính chất 1. (Điều kiện cần để hàm số f(M) khả vi tại điểm M0)

f ∈ C1(M0) ⇒ f ∈ C(M0).

Hệ quả. f ∉ C(M0) ⇒ f ∉ C 1 (M0).

f ∈ C 1 (M 0 )



n

Tính chất 2. 

⇒ ∃f′x i (M0) = Ai (∀i = 1, n ).

df (M 0 ) = ∑ A i ∆x i





i=1



Hệ quả. Nếu ∃i0 ∈ {1, 2, …, n} mà ∃



∂f (M 0 )

∂x i0 thì hàm số f không khả vi tại M0.



Chú ý 2. Đối với hàm số nhiều biến số f(M), sự tồn tại các đạo hàm riêng tại M0 chưa đủ

để suy ra hàm số khả vi tại điểm đó.

 sin( xy)

khi x 2 + y 2 ≠ 0

 2

2

Ví dụ 3. Xét hàm số f(x, y) =  x + y

. Tính các đạo hàm riêng tại điểm

2

2

0

khi x + y = 0



(0; 0).

Giải:

Ta có

sin(∆x.0)

-0

f ( ∆x, 0) - f(0, 0)

f (0 + ∆x, 0) - f(0, 0)

=

= (∆x) 2 + 02

=0

∆x

∆x

∆x



∆x →0

 0

→



⇒ f′x(0, 0) = 0

Tương tự f′y(0, 0) = 0

Nhưng ta đã chứng minh được hàm số đã cho không liên tục tại điểm (0, 0) nên nó

không khả vi tại điểm đó.



140



Tính chất 3. (Điều kiện đủ để hàm số f(M) khả vi tại điểm M0)

'

Nếu tồn tại các đạo hàm riêng f x ( j = 1, n ) trong một lân cận nào đó của điểm M o(xo,yo) và

j



các đạo hàm riêng đó liên tục tại Mo thì



f ∈ C1 (M 0 )



n



df (M 0 ) = ∑ f ' xi (M 0 ).∆x i





i=1



Chú ý 3. Cũng giống như đối với hàm một biến số, nếu các x i là các biến số độc lập thì

n



dxi = ∆xi, do đó df (M 0 ) =



n



i=1



i =1



∑ f ' xi (M 0 ).dx i hay df = ∑ f x' dx i .

i



Ví dụ 4. Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm f(x, y) = x2 + y3 + 2xy + 3y + 2

'

'

2

Giải: Ta có df = f x dx + f y dy = (2 x + 2 y ) dx + (3 y + 2 x + 3)dy



II. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao

Cho hàm số n biến số w = f(x1, x2, …, xn)

*Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa: Các đạo hàm f′x i (i = 1, n ) được gọi là những đạo hàmg riêng cấp một. Các

đạo hàm riêng ấy lại là những hàm của n biến số x 1, x2, …, xn, chúng có thể có đạo hàm

riêng. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là được gọi

là đạo hàm riêng cấp hai của hàm f(x1, x2, …, xn) và được ký hiệu như sau:



∂ 2f (x1 , x 2 , ..., x n )

∂  ∂f (x1 , x 2 , ..., x n ) 

''

+)

=



÷= f x ( x1 , x2 ,..., x n ) (i = 1, n )

2

∂x i 

∂x i

∂x i



2

i



∂ 2 f ( x 1 , x 2 ,..., x n )

∂

=

+)

∂x i ∂x j

∂x i



 ∂f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) 



 = f x'' x ( x1 , x2 ,..., xn ) ( i,j = 1, n ; i ≠ j)





∂x j





j i



Tương tự như vậy, ta có thể định nghĩa các đạo hàm riêng cấp n ≥ 3.

Ví dụ 5. Cho hàm số f(x, y) = x2y3 + 2x4 + 2y + 1. Tính các đạo hàm riêng cấp 2.

Giải: Ta có

f′x(x, y) = 2xy3 + 8x3, f′y(x, y) = 3x2y2 +2

''

''

f x''2 = 2 y 3 + 24 x 2 ; f xy = 6 xy 2 = f yx ; f y''2 = 6 x 2 y

''

''

Trong ví dụ trên, ta nhận thấy rằng f xy = f yx . Liệu điều đó có luôn luôn đúng



không? Ta thừa nhận định lý quan trọng sau đây:



141



Định lý (Schwarz). Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M o(xo, yo), hàm số f(x, y) có

các đạo hàm riêng f′′ xy , f′′ yx và nếu các đạo hàm ấy liên tục tại Mo thì f′′ xy (Mo) = f′′ yx

(Mo).

Chú ý 4. Định lý trên cũng được mở rộng cho đạo hàm riêng cấp cao hơn và cho hàm số

n biến số với n ≥ 3. Tức là: đối với hàm n biến, nếu các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp k (k

≥ 2) chỉ khác nhau về thứ tự đạo hàm và cùng liên tục tại điểm nào đó thì tại điểm đó

chúng bằng nhau.

* Vi phân toàn phần cấp cao

n



'

Định nghĩa: Vi phân toàn phần của f(x1, x2, …, xn): df = ∑ f x dx i

i=1



i



(nếu có), cũng là một hàm số của các biến x i. Vi phân toàn phần của df nếu tồn tại, được

gọi là vi phân toàn phần cấp hai của f và được kí hiệu là d 2f. Vậy

d2f = d(df)

Tổng quát, ta định nghĩa được vi phân cấp m (m ≥ 2) của hàm số f như sau:

dmf = d(dm-1)

Bây giờ ta xét hàm hai biến w = f(x, y). Giả sử x, y là những biến số độc lập, khi

ấy dx = ∆x, dy = ∆y, đó là những hằng số không phụ thuộc x, y. Giả sử d2f tồn tại. Ta có

d2f = d(df) = (f′xdx + f′ydy)x′ .dx + (f′xdx + f′ydy)y′. dy

= f′′ x 2 dx2 + (f′′ yx + f′′ xy )dxdy + f′′ y2 dy 2

Nếu f′′ xy và f′′ yx liên tục, khi đó chứng bằng nhau, vì vậy



∂ 2f

∂ 2f 2

∂ 2f 2

d f = f′′ x 2 dx + 2 f′′ xy dxdy + f′′ y2 dy =

dx + 2

dxdy +

dy

∂x∂y

∂y 2

∂x 2

2



2



2



Tiếp tục tính toán như vậy, ta được kết quả sau:

Nếu các đạo hàm riêng hỗn hợp đến cấp m của hàm f(x, y) là liên tục thì ta có

m



k

d f = ∑ Cm

m



k =0



∂ mf

dx m - k dy k

m -k

k

∂x ∂y



Ví dụ 6. Tính d3f nếu f(x, y) = sinxsiny

Giải. Ta có

f′x = cosxsiny; f′y = sinxcosy; f′′ x 2 = -sinxsiny;

(3)



f′′ y2 = -sinxsiny; f′′ xy = cosxcosy; f x3 = -cosxsiny;

142