§3. Hạng của hệ vectơ, cơ sở và số chiều của không gian vectơ

- Ngược lại, nếu ∃x ∈ U\U’ mà x không biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U ’ thì

hệ U’ không là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U. Khi đó, hệ U ’ ∪ {x} độc lập

tuyến tính. Ta chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra hệ U’ ∪ {x} có là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ

U hay không tương tự như kiểm tra đối với hệ U’ ở bước 2.

Cứ tiếp tục quá trình này sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được hệ con độc lập

tuyến tính cực đại của hệ U.

Định lý 1. Nếu hệ U’ là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E thì mọi

vectơ của hệ U đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ của hệ U’.

Chứng minh

Theo định nghĩa hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nên mọi x ∈ U đều là tổ hợp

tuyến tính của U’.

Giả sử véc tơ x ∈ U có hai biểu diễn tuyến tính qua hệ U’ = {v1; v2; … ; vp}; trong đó

p



p



p



i =1



i =1



i =1



vi ∈ U (i = 1, 2, …, p); tức là x = ∑ k i v i = ∑ h i v i ⇔ ∑ (k i − h i ) v i = 0 . Do U’ là độc lập

tuyến tính nên ki = hi với mọi i. Vậy x là tổ hợp tuyến tính duy nhất của U’.

Định lý 2. Số vectơ của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E là bằng

nhau.

Chứng minh

Giả sử U1; U2 là hai hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ U có số véc tơ

tương ứng là m, p. Giả sử m > p. Do U 2 là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U nên

mọi véc tơ của U1 đều biểu thị tuyến tính qua hệ U 2 nên theo định lý 3.7 thì U 1 là hệ phụ

thuộc tuyến tính. Điều này trái với giả thiết. Suy ra m ≤ p . Thay đổi vai trò của m cho p

và U1 cho U2 ta suy ra m = p.

b) Hạng của một hệ vectơ

Định nghĩa 2. Số vectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U ⊂ E

được gọi là hạng của hệ vectơ U. Ký hiệu là r(U).

Quy ước r{θ} = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian R3, tìm hạng của hệ véc tơ

U = {u1 = (1; 2; -1); u2 = (2; 1; -3); u3 = (3;3; - 4)}

Giải:



42



Theo ví dụ 1, các hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U đều có 2 véc tơ nên

r(U) = 2.

Định lý 3. Trong không gian véc tơ E, cho hệ vectơ {u 1, u2, …, um} và vectơ v. Khi đó

r{u1, u2, …, um} = r{u1, u2, …, um, v} ⇔ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1, u2, …, um

Chứng minh

( ⇐ ) Hiển nhiên

( ⇒ ) Đặt U = {u1, u2, …, um}

Không mất tính tổng quát U’ = {u 1; u2; ... ; uk}( k ≤ m ) là hệ con độc lập tuyến tính

cực đại của U và r(U) = k. Theo giả thiết r{u 1, u2, …, um, v} = r(U) nên nếu U’ ∪ {v} là

hệ độc lập tuyến tính thì r(U’ ∪ {v}) =r{u1, u2, …, um, v} = k + 1. Mâu thuẫn, suy ra U’

∪ {v} là hệ phụ thuộc tuyến tính . Do đó v là tổ hợp tuyến tính của hệ U’; và cũng là tổ



hợp tuyến tính của U.

Từ định nghĩa và định lý trên ta suy ra chú ý sau:

Chú ý 2.

i) Hệ vectơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E độc lập tuyến tính ⇔ r(U) = m.

ii) Hệ vectơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ E phụ thuộc tuyến tính ⇔ r(U) < m.

iii) Hạng của một hệ vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào hệ đó vectơ θ; hoặc nhân

một véc tơ với một số khác 0; hoặc đổi chỗ hai véc tơ của hệ cho nhau;hoặc thêm vào hệ

đó một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của chính hệ đó.

Chú ý này cũng cung cấp cho chúng ta cách thứ 2 để xét sự độc lập tuyến tính và sự

phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ bằng cách đưa về xét hạng của hệ véc tơ đó.

Định lý 4. Nếu A là ma trận cấp m x n: A = [a ij]m x n thì hạng của ma trận A chính là

hạng của hệ véc tơ dòng của ma trận đó (hay cũng chính là hạng của hệ véc tơ cột của ma

trận đó).

Chứng minh:

Giả sử U = {d1, d2, ... , dm} là hệ véc tơ dòng của ma trận A; trong đó

di = (ai1; ai2; ... ; ain) (i = 1, m )

• Nếu r(U) = r thì từ tính chất của định thức và định nghĩa hạng của ma trận ta có

r(A) = r.

• Bây giờ xét trường hợp ngược lại, nếu r(A) = r, cần chứng minh rằng r(U) = r.



43



Không mất tính tổng quát tồn tại một định thức con cấp r ở góc trên bên trái của ma trận



12...r



A khác 0: D = D12...r



a 11

a

= 21

...

a r1



a 12

a 22

...

a r2



... a 1r

... a 2 r

≠0

... ...

... a rr



Do D ≠ 0 nên r dòng đầu d1, d2, ..., dr của A là độc lập tuyến tính. Vì nếu chúng phụ thuộc

tuyến tính thì các dòng của D phụ thuộc tuyến tính, điều này kéo theo D = 0.

Ta sẽ chứng minh rằng hệ V = {d1, d2, ..., dr} là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U.

Hay mọi véc tơ dh ( r + 1 ≤ h ≤ m ) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ V.

Với mỗi i = 1, 2, ... , n lập định thức cấp r + 1:

a 11

a 21

∆ i = ...

a r1

a h1



a 12

a 22

...

a r2

a h2



...

...

...

...

...



a 1r

a 2r

...

a rr

a hr



a 1i

a 2i

...

a ri

a hi



+) Nếu 1 ≤ i ≤ r thì ∆ i = 0 vì định thức có 2 cột giống nhau

+) Nếu r < i ≤ n thì ∆ i là một định thức cấp r + 1 của ma trận A có r(A) = r nên ∆ i = 0

Khi đó, khai triển ∆ i theo cột cuối ta có

a1iF1 + a2iF2 + ... + ariFr + ahi.D = 0

Trong đó, Fj (j = 1, 2, 3, ..., r) là phần bù đại số của phần tử a ij (số này không phụ thuộc

vào i), còn phần bù đại số của ahi chính là D ≠ 0. Nên ta có

a hi =



Đặt k j =



− Fj

D



− F1

− F2

− Fr

a 1i +

a 2i + ... +

a ri (1 ≤ i ≤ n )

D

D

D



(1 ≤ j ≤ r ) thì ta có dh = k1d1+ k2d2 + ... + krdr. Hay véc tơ dh là tổ hợp tuyến



tính của hệ véc tơ V. Nên r(U) = r.

Định lý này là cơ sở cung cấp cho chúng ta phương pháp tìm hạng của hệ véc tơ

trong không gian Rn.

Cách tìm hạng của hệ véc tơ trong Rn:

Cho hệ véc tơ U = {u1, u2, …, um} ⊂ Rn. Với mỗi i, ta có



44



 a 11

a

21

ui = (ai1, ai2, ... , ain); i = 1, 2, 3, … , n. Ma trận A = 

 ...



a m1



a 12

a 22

...

a m2



... a 1n 

... a 2 n 

 (với dòng thứ i

... ... 



... a mn 



của A là toạ độ của véc tơ u i). Ma trận A được gọi là ma trận liên kết với hệ véc tơ U. Khi

đó r(U) = r(A).

Từ đây, việc tìm hạng của hệ véc tơ U đưa về tìm hạng của ma trận A.

Ví dụ 3. Trong không gian R4, tìm hạng của hệ véc tơ U = {u1, u2, u3, u4}

u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (2; - 3; 5; 3); u4 = (4; -5; 9; 1)

Giải:

Ta có ma trận liên kết với hệ véc tơ U:

1 − 2 3 4 

1 − 1 2 − 1



A=

2 − 3 5 3 





4 − 5 9 1 



Biến đổi ma trận này về dạng bậc thang, ta được

4 

4

1 − 2 3 4 

1 − 2 3

1 − 2 3

1 − 1 2 − 1 −d1 +d 2 0 1 − 1 − 5  −d 21 +d 3 0 1 − 1 − 5

 → 

 → 

=B

A=

2 − 3 5 3  −2 d1 +d 3 0 1 − 1 − 5  −3d 2 + d 4 0 0

0

0



 −4 d1 +d 4 







0

0

4 − 5 9 1 

0 3 − 3 − 15

0 0



Nên r(A) = r(B) = 2. Suy ra r(U) = 2

Chú ý 3. Từ mối liên hệ về hạng của hệ véc tơ U và hạng của ma trận A, ta có nhận

xét: +) r(A) = m ⇔ hệ véc tơ U độc lập tuyến tính

+) r(A) < m ⇔ hệ véc tơ U phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4. Trong không gian R4, tìm m để hệ véc tơ U sau có hạng bằng 3

U = {u1 = (1; -2; 3; 4); u2 = (1; -1; 2; -1); u3 = (3; -5; 8; m); u4 = (3; - 4; 7; -2m + 12) }

Giải:

Gọi A là ma trận liên kết với hệ véc tơ U. Bài toán đưa về tìm m để r(A) = 3

4

1 − 2 3



1 − 1 2

−1 

 . Biến đổi sơ cấp đưa ma trận A về dạng bậc thang

A=

Ta có

3 − 5 8



m





3 − 4 7 − 2m + 12



45



4

4

4 

1 − 2 3



1 − 2 3



1 − 2 3

1 − 1 2

 −d1 +d 2 0 1 − 1

 − 2 d 3 + d 4 0 1 − 1 − 5 

−1 

−5 

=B

A=

→ 

→ 

3 − 5 8

 −3d1 +d 3 0 1 − 1

m

m − 12  −d 2 +d 3 0 0

0 m − 7



 −3d1 +d 4 







0

0 

3 − 4 7 − 2m + 12

0 2 − 2 − 2m + 24

0 0



Ma trận B là ma trận dạng bậc thang.r(A) = r(B) = 3 khi và chỉ khi m ≠ 7 .

Vậy hệ véc tơ U có r(U) = 3 khi và chỉ khi m ≠ 7 .

2. Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ

Định nghĩa 3.

Hệ véc tơ U = {u1, u2, ... , um} là một cơ sở của không gian véc tơ E nếu thoả mãn 2

điều kiện:

(i) Hệ U là hệ độc lập tuyến tính

(ii) Hệ U là hệ sinh của E, tức là với mọi véc tơ x ∈ E thì x là tổ hợp tuyến tính của

hệ véc tơ U.

Khi đó, người ta nói E có số chiều bằng m và ký hiệu dimE = m. E được gọi là không

gian véc tơ hữu hạn chiều.

Trong trường hợp ngược lại nếu trong E không tồn tại một hệ véc tơ U có hữu hạn véc

tơ thoả mãn 2 điều kiện (i) và (ii) thì E được gọi là không gian vô hạn chiều.

Không gian { θ} có số chiều bằng 0, cơ sở của không gian véc tơ là không duy nhất.

Ví dụ 5. Trong không gian Rn, cho hệ vectơ {e1 = (1, 0, …, 0), e2 = (0, 1, 0, …, 0), …,

en = (0, …, 0, 1)}.Chứng minh hệ U= {e 1, e2, …, en} là một cơ sở của Rn và tìm chiều của

Rn.

Giải:

Mọi vectơ x = (x1, x2, …, xn) ∈ R n đều có biểu diễn tuyến tính theo các vectơ e 1, e2, …,

en:

x = (x1, x2, …, xn) = x1(1, 0, …, 0) + x2(0, 1, 0, …, 0) + … + xn(0, …, 0, 1)

= x1e1 + x2e2 + … + xnen.

Xét phương trình k1e1 + k2e2 + … + knen = 0

⇔ k 1 (1, 0, ... , 0) + k 2 (0,1, ... , 0) + ... + k n (0, 0, ... ,1) = (0, 0, ... , 0) ⇔ ( k 1 , k 2 , ... , k n ) = ( 0, 0, ..., 0 )

⇔ k1 = k2 = … = kn = 0



Vậy hệ véc tơ {e1, e2, …, en} là độc lập tuyến tính

Vậy hệ {e1, e2, …, en} là một cơ sở của Rn, người ta gọi là cơ sở chính tắc của R n và

dim(Rn) = n.



46



Định lý 5. Hệ véc tơ U = {u1, u2, ... , um} là cơ sở của không gian véc tơ E khi và chỉ

khi mọi x ∈ E đều tồn tại duy nhất các số x1, x2, ... , xm sao cho

x = x1u1 + x2u2 + ... + xmum (*)

Khi đó, cặp m số (x1; x2; ... ; xm) được gọi là toạ độ của véc tơ x đối với cơ sở U

Chứng minh:

( ⇒ ) Với mọi x ∈ E , do U là cơ sở của E nên luôn viết được: x = x 1u1 + x2u2 + ... +

xmum. Giả sử x viết được dưới dạng khác: x = y1u1 + y2u2 + ... + ymum thì

x1u1 + x2u2 + ... + xnun = y1u1 + y2u2 + ... + ymum

⇔ (x1 − y1 )u1 + (x 2 − y 2 )u 2 + ... + (x m − y m )u m = 0 . Do hệ véc tơ U là độc lập tuyến

tính nên suy ra x1 = y1; x2 = y2; ... ; xm = ym. Hay biểu diễn (*) là duy nhất.

( ⇐ ) Giả sử có biểu diễn duy nhất (*), ta cần chứng minh hệ véc tơ U là cơ sở của E.

Trước hết U là hệ sinh của E.

Bây giờ chỉ cần chứng minh U là hệ độc lập tuyến tính

Thật vậy, xét k1u1 + k2u2 + ... + kmum = 0 (**)

Mặt khác, ta còn có 0.u1 + 0.u2 + ... + 0.um = 0 (***)

Từ (**) và (***) suy ra k1 = 0, k2 = 0, ... , km = 0.

Hay hệ véc tơ U là độc lập tuyến tính

Định lý 6. Cho không gian véc tơ E với cơ sở U = {u 1, u2, ... , um}. Nếu V = {v1,

v2, ... , vp} (p < m) thì có thể chọn m – p véc tơ thích hợp trong U bổ sung vào V để được

một cơ sở mới của E.

Chứng minh

Nếu mọi phần tử của U đều là tổ hợp tuyến tính của V thì theo hệ quả 3.6 ta có m ≤ p

mâu thuẫn với p < m. Do đó, có ít nhất một phần tử của U không là tổ hợp tuyến tính của

V chẳng hạn là vp + 1, hay hệ {v1, v2, ... , vp, vp+1} là độc lập tuyến tính

Nếu p + 1 = m thì suy ra điều phải chứng minh.

Còn nếu p + 1 < n thì lập luận tương tự như trên, suy ra tìm được véc tơ v p+2 của U để

hệ {v1, v2, ... , vp, vp+1, vp+2} là độc lập tuyến tính.

Quá trình trên cứ tiếp tục cho đến khi số phần tử của hệ véc tơ mới đủ bằng m. Hay

tìm được một cơ sở của E.

Từ định lý này ta suy ra hệ quả sau:

Hệ quả: Trong không gian véc tơ E có số chiều dimE = m

(i) Mọi hệ véc tơ độc lập tuyến tính có m véc tơ đều là cơ sở của E

47



(ii) Mọi hệ độc lập tuyến tính của E có nhiều nhất m véc tơ

(iii) Mọi hệ sinh của E có m véc tơ đều là cơ sở của E

(iii) Bất kỳ cơ sở nào của E cũng có m véc tơ

Ví dụ 6. Trong không gian R3, tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của R3

U = { u 1 = (1; 2;1); u 2 = (1;3;−1); u 3 = ( 2; 5; m)}



Giải:

Ta có U là hệ có 3 véc tơ trong không gian R3 nên U là cơ sở của R3 thì U phải là hệ

độc lập tuyến tính.

1 2 1

1 2 1 

1 3 − 1

Mà ma trận liên kết với hệ véc tơ U là: A = 

 có A = 0 1 − 2 = m

2 5 m 

0 0 m







Nên U độc lập tuyến tính ⇔ A ≠ 0 ⇔ m ≠ 0



48



§4. Không gian vectơ con

1.Khái niệm về không gian véc tơ con

Cho không gian véc tơ E với hai phép toán cộng véc tơ và nhân một số với một véc tơ

Định nghĩa 1. Cho W ⊂ E, W ≠ ∅. Nếu với hai phép toán trên W cũng là không gian

véc tơ thì W được gọi là không gian con của V

Như vậy muốn chứng minh W ⊂ E là không gian con của E ta phải chứng minh rằng

bản thân W với hai phép toán: cộng hai véc tơ và nhân véc tơ với một số trong V cũng

thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ.

Ví dụ 1. Các tập hợp E, { θ } là các không gian con của E

Định lý sau là cơ sở để chứng minh W ⊂ E là một không gian con của V đơn giản

hơn.

Định lý 1. Cho W ⊂ E, W ≠ ∅.

W được gọi là không gian vectơ con của E cần và đủ là W thoả mãn hai điều kiện sau

đây :

a) ∀u, v ∈ W thì u + v ∈ W

b) ∀u ∈ W, ∀λ ∈ R thì λu ∈ W

Chứng minh

( ⇒ ) Nếu W là không gian con của E thì W thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ

nên đương nhiên sẽ thoả mãn a) và b).

( ⇐ ) Ngược lại giả sử a) và b) thoả mãn. Khi đó các tiên đề i), ii), v), vi), vii), viii) đã

thoả mãn trong E thì cũng thoả mãn trong W. Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh các

tiên đề iii) và iv) cũng thoả mãn trong W.

Thật vậy với u ∈ W, ta có θ = 0.u ∈ W , - u = (-1). u ∈ W (theo b)). Do đó, trong W ta

có: u + θ = θ + u = u

(-u) + u = u + (- u) = [1 + (-1)]u = 0u = θ

Vậy W là không gian con của E

Chú ý 1. Mọi không gian vectơ con của E đều chứa θ của E. Cơ sở và số chiều của

không gian véc tơ W cũng được gọi là cơ sở và số chiều của không gian con.

Ví dụ 2. Trong không gian R3, xét tập hợp

W = { (x 1 , x 2 , 0) : x 1 , x 2 ∈ R



}



Chứng minh rằng W là không gian con của R3. Tìm cơ sở và số chiều của W



49



Giải:

Trước hết ta có véc tơ không của R3: θ = (0, 0, 0) ∈ W

Bây giờ kiểm tra hai điều kiện a) và b) của định lý 3.12

Thật vậy, với u, v ∈ W ta có u = (x1, x2, 0), v = (y1, y2, 0). Khi đó

u + v = (x1 + y1, x2 + y2 , 0) ∈ W

λ u = ( λ x1, λ x2, 0) ∈ W



Do đó, W là không gian con của không gian R3

Xét hệ véc tơ U của W: U = {u1 = (1, 0, 0); u2 = (0, 1, 0)}

Dễ dàng thấy rằng U là một hệ độc lập tuyến tính và mọi véc tơ X = (x 1, x2, 0) ∈ W

đều có X = x1u1 + x2u2 nên U là một cơ sở của W và dimW = 2

Ví dụ 3. Trong không gian các ma trận vuông cấp 2, Mat2(R). Xét tập





a b 

W = A = 

; a, b ∈ R 

 0 0







Chứng minh rằng W là một không gian con của Mat 2(R). Tìm một cơ sở và số chiều

của W.

Chứng minh

0 0 



Dễ thấy θ = 

∈W

0 0 

Bây giờ cần kiểm tra hai điều kiện a) và b) của định lý 3.12.

a 1

0



Thật vậy, với A, B ∈ W, ta có A = 

a + a 2

A+B=  1

 0



b1 

a 2

; B =  0

0





b1 + b 2 

ka 1

 ∈ W ; kA =  0

0 





b2 

0





kb1 

∈W

0 





Vậy W là không gian con của Mat2(R).





1 0



0 1  



Xét hệ véc tơ U của W: U = U 1 = 

; U 2 = 0 0  

0 0 



 



a b 

 ∈ W đều

0 0 



Dễ dàng thấy rằng U là một hệ độc lập tuyến tính và mọi ma trận A = 

có A = aU1 + bU2 nên U là một cơ sở của W và dimW = 2.

4. Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ



Định nghĩa 2. Cho U = {u 1, u2, …, um} ⊂ E. Gọi L[U] là tập hợp tất cả các tổ hợp

tuyến tính của các phần tử trên U:

50