Một số từ ngữ được viết tắt trong đề tài

B. NỘI DUNG

Chương I: THUẬT TOÁN VÀ QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN

=================

1.1 Quy trình

Quy trình là một trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó.

Ví dụ: Quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán, quy trình giải bài toán

bằng cách lập phương trình,...

Mỗi quy trình có thể chia thành các bước. Mỗi bước là một hoạt động nhằm

một mục đích nhất định. Mỗi hoạt động có thể có nhiều thao tác.

Ví dụ: Hoạt động "Tìm hiểu nội dung bài toán" có các thao tác: Vẽ hình, chọn kí

hiệu, phân tích giả thiết, kết luận của bài toán. [12].

1.2 Thuật toán

1.2.1 Khái niệm về thuật toán

Hằng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức

tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định mô tả qúa trình giải. Từ

đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật toán và khái niệm này đã được dùng

từ lâu, kéo dài suốt mấy nghìn năm trong Toán học. [7,tr.401].

Thuật toán (algorithm) là một cơ sở của Toán học và Tin học được hiểu như

một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người hay máy thực hiện

được một số hữu hạn thao tắc nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài

toán nhất định. Như vậy thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải vấn đề bài

toán. Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp

ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác. [8,tr.200].

Ở trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như cộng,

trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của

hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải phương trình bậc hai dưới

dạng chuẩn…[8,tr.200].

1.2.2 Phương pháp thuật toán (Algôrít) trong dạy học

Phương pháp Algôrít được mang tên nhà toán học người Ảrập thời Trung cổ



là Algôríthm, người đầu tiên sáng chế ra một công trình thuật toán trên bàn tính

trong đó phân đoạn sự tính toán thành từng khâu, từng bước hợp lí theo một hệ

thống lôgic chặt chẽ mà sau này gọi là những quy trình vv...

Công trình đó chìm lắng dần theo thời gian, mãi đến đầu thế kỉ XX khi khoa

học - công nghệ có sự phát triển mạnh mẽ, Algôrít được coi là một phương pháp tư

duy và đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực khoa học, đặc biệt là công nghệ tin học

(Algôrít là công cụ chủ yếu để phân đoạn, chia nhánh lập trình trong các phần mềm

của máy vi tính).

Đến giữa thế kỉ XX, một số nhà giáo dục ở các nước tiên tiến đã vận dụng

Algôrít như là một phương pháp có hiệu quả nhằm thu thập thông tin, xử lí thông

tin để giải quyết các vấn đề phức tạp trong dạy học.

Như vậy, phương pháp Algôrít trong dạy học là tổng hợp cách thức thiết kế

và thi công một hệ thống các thao tác hợp lí theo một trình tự lôgic chặt chẽ nhằm

đạt kết quả tối ưu các nhiệm vụ dạy học.

Đặc điểm của phương pháp Algôrít là tiến trình bài học được chia nhỏ thành

các giai đoạn, các bước, các công đoạn giúp người học có thể dễ dàng thực hiện các

nhiệm vụ dạy học.

Để giải quyết một nhiệm vụ học tập, người học phải thiết kế và thi công một

quy trình hợp lí, nghĩa là phải "Algôrít hóa" nội dung và các thao tác hoạt động trí

tuệ. Nghệ thuật dạy học là phải thiết kế được các Algôrít tối ưu (không phức tạp, ít

thao tác, có bước đi hợp lí, vừa sức nhưng phát triển tối đa trí tuệ của người học ...)

Trong quá trình giáo dục - đào tạo, phương pháp Algôrít được ứng dụng phổ

biến trong các lĩnh vực nghiên cứu khoa học, trong dạy học, trong tự học và cả

trong cuộc sống đời thường. Trong dạy học, để phát triển ở mức độ cao năng lực và

phẩm chất trí tuệ cho người học, vấn đề quan trọng là phải có phương pháp tư duy,

tư duy có sắc sảo, năng động, sáng tạo thì tài năng mới bộc lộ và phát triển. Vì thế,

nghệ thuật dạy học là phải biết cách dạy phương pháp tư duy, tư duy một cách

thông minh, độc lập, sáng tạo. Phương pháp Algôrít góp phần quan trọng nhằm thực

hiện nhiệm vụ đó.

Tuy nhiên, để thiết kế và thi công, để có thể "Algôrít hóa" một bài học theo



quy trình hợp lí, có hiệu quả, đòi hỏi giáo viên phải có trình độ chuyên môn và

nghiệp vụ sư phạm cao để tổ chức và thiết kế Algôrít bài giảng hợp lí và học sinh

phải học tập tích cực để có thể thi công nhanh, đúng như quy trình và ờ mức độ cao

hơn là có thể tự thiết kế và thi công quy trình tự học, tự làm việc có hiệu quả của cá

nhân

1.2.3 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán

a) Tính xác định

Mỗi bước của thuật toán cần phải được mô tả một cách chính xác, chỉ rõ một

cách hiểu duy nhất. Hiển nhiên, đây là một đòi hỏi quan trọng. Bởi vì nếu một bước

có thể hiểu theo nhiều cách nhau, thì cùng một dữ liệu vào, những người thực hiện

thuật toán khác nhau có thể dẫn đến kết quả khác nhau.

b) Tính khả thi

Tất cả các phép toán có mặt trong các bước của thuật toán phải đủ đơn giản.

Điều đó có nghĩa là các phép toán phải sao cho có ít nhất về nguyên tắc có thể thực

hiện được bởi con đường bằng giấy trắng và bút chì trong khoảng thời gian hữu hạn

bước thực hiện.

Các chỉ dẫn trong thuật toán phải có khả năng thực hiện được trong một thời

gian hữu hạn. Ví dụ sau đây không thể là mô tả một thuật toán: gán cho x giá trị 1

nếu bài toán tô màu giải được và cho giá trị 0 nếu bài toán tô màu không giải được

(Bài toán tô màu khẳng định không cần dùng quá 4 màu để tô các nước trong bản

đồ đề hai nước có biên giới chung phải có màu khác nhau. Người ta kiểm chứng

trên thực tế thì đúng nhưng chưa tìm được chứng minh cho bài toán này).

c) Tính dừng

Với mọi bộ dữ liệu vào thỏa mãn các điều kiện của dữ liệu vào (tức là được

lấy ra từ các tập của dữ liệu vào) thuật toán phải dừng lại sau một số hữu hạn bước

thực hiện.

Việc thực hiện các bước theo một thuật toán phải dừng sau một số hữu hạn

bước. Thuật toán Euclid tìm UCLN thoả mãn tính dừng vì sau mỗi bước ta thấy

tổng a + b giảm thực sự nhưng không được nhỏ hơn 2. Vì vậy quá trình trên nhất

định phải dừng sau một số hữu hạn bước.



Tính xác định, tính khả thi, tính dừng là những tính chất đặc trưng của thuật

toán, bên cạnh đó thuật toán còn có một số tính chất sau:



 Tính phổ dụng

Thuật toán phải được áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ

không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp của bài toán chứ không chỉ được áp

dụng cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào

cũng đảm bảo được yêu cầu đó. Đôi khi người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một

dạng đặc trưng của bài toán mà thôi.

Tính phổ dụng có nghĩa là một thuật toán có thể được áp dụng với một lớp

các bài toán với input thay đổi chứ không chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể.

Thuật toán Euclid nói trên có thể áp dụng cho bất kỳ cặp hai số tự nhiên.



 Tính rõ ràng: Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh bạch, các

câu lệch được sắp xếp theo thứ tự nhất định.



 Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên nhiều máy

tính vẫn phải cho kết quả giống nhau.



 Tính có đại lượng vào và ra: Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng nhận được các

đại lượng vào (Dữ liệu vào – Input), các dữ liệu vào thường lấy từ một tập xác định

cho trước. Sau khi kết thúc một thuật toán bao giờ cũng cho ta một số đại lượng ra

(Dữ liệu ra – Output).



 Tính hiệu quả của thuật toán: Được đánh giá dựa trên theo những tiêu chuẩn: Số các

phép tính, thời gian cần thực hiện, mức độ khó hiểu…Tùy vào yêu cầu sử dụng mà

người ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng thuật toán.



 Tính đơn vị: Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải được

mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất, nghĩa là hai phần tử thuộc

cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho

cùng kết quả. Vì thế khi thực hiện thuật toán, chúng ta không cần hiểu ý nghĩa của

những thao tác. Nhờ tính chất này mà chúng ta có thể sử dụng thiết bị tự động để thực

hiện thuật toán.

1.2.4 Tư duy thuật toán

Khái niệm thuật toán gắn liền chặt chẽ với tư duy thuật toán. Vì thế người



thầy giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các quy tắc, phương pháp có tính

chất thuật toán trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng : tư

duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy tính.

[8,tr.201].

1.2.5 Sự cần thiết phát triển tư duy thuật toán

Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý do

sau đây:

Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa

trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự

ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa. Nó giúp học sinh thấy được nền

tảng tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của

quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho chuyển giao một số chức năng của

con người cho máy thực hiện.

Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong

khi giải bài bằng máy tính điện tử (MTĐT). Thật vậy, thiết kế thuật toán là một

khâu rất cơ bản của việc lập trình. Tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực

hiện tốt khâu đó.

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà

trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh

lãnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho các phép tính trên những tập hợp

số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v.

Thứ tư, tư duy thật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ

chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa … và hình thành những phẩm chất

của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự

kiểm tra. [8,tr.201].

1.2.6 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán quan hệ chặc chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên.

Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:

(1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với thuật toán

cho trước.



(2) Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực



hiện



theo một trình tự xác định.

(3) Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động.

(4) Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt

động trên một lớp đối tượng.

(5) So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát

hiện thuật toán tối ưu.

Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện



thuật toán. Bốn thành phần sau thể



hiện khả năng xây dựng thực toán.

Việc phát triển tư duy thuật toán có thể thực hiện cả khi trực tiếp dạy những

nội dung Tin học lẫn khi dạy học những nội dung lĩnh vực khác, kể cả những nội

dung truyền thống của giáo dục phổ thông. Mặt thứ nhất là rõ ràng và tường minh

khi đã có chủ trương đưa tin học vào nhà trường. Mặt thứ hai – mặt phát triển tư

duy thuật toán trong dạy học những nội dung ngoài tin học – dễ bị lãng quên bỏ

qua. Vì vậy mục này chủ yếu hướng vào mặt thứ hai trong môn Toán để tránh điều

đáng tiếc đó.

Hiện nay, định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn

thuật toán … đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường

phổ thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán,

chuẩn bị cho việc học tập về MTĐT và làm việc với công cụ này. Tuy nhiên, trong

trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa một cách tường minh vào trong

chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương

hướng rèn luyện cho họ những khả năng (1) – (5) đã liệt kê những thành tố của

phương thức tư duy này. [8,tr.201-202].

Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa là

phương tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán.

Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:

a) Thực hiện thuật toán

Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định

phù hợp với thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số qui tắc toán học thành



những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ

phỏng trình nếu học sinh đã học những ngôn ngữ này, rồi yêu cầu họ thực hiện

những quy tắc ấy thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước

trong mỗi quy tắc.

Ví dụ thuật toán giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0

• Thuật toán

Bước 1: Xác định hệ số a, b, c .

Bước 2: Xét hệ số a :

+ Nếu a = 0 chuyển sang bước 7.

+ Nếu a ≠ 0 chuyển sang bước 3.

Bước 3: Tính ∆ = b2 − 4ac .

+ Nếu ∆ < 0 chuyển sang bước 4.

+ Nếu ∆ = 0 chuyển sang bước 5.

+ Nếu ∆ > 0 chuyển sang bước 6.

Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm. Kết thúc.

Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép.

x =x =−

1



2



b

2a



Kết thúc

Bước 6: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = b   ,

2a



x2 =



b  

2a



Kết thúc

Bước 7: Phương trình trở về phương trình bậc nhất.

b) Phân tích một hoạt động

Cách làm trên cũng là đồng thời tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động

thành những thao tác thành phần theo tình tự xác định.Cần rèn luyện cho học sinh

hoạt động này ngay cả đối với những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn

toàn đầy đủ yêu cầu chặc chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học.

Ví dụ 1: Quy tắc trong xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027



10



Lớp: SP Toán học K36



Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng

Bước 2: Xác định góc của đường thẳng với hình chiếu của nó

Quy tắc này tỏ ra rất hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán : "Một hình chóp

SABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy. Đáy ABC là tam giac cân



tại đỉnh A , trung tuyến AD = a . Cạnh SB tạo với đáy một góc  và tạo với mặt

phẳng SAD góc  . Xác định góc  và  …"(trích Hướng dẫn ôn tập môn toán, Bộ

giáo dục). Theo các bước trên thì việc xác định góc  không có gì khó khăn, còn

với góc  , chắc chắn xác định được hình chiếu của SB trên (SAD) chính là SD , do đó

góc SBD = 

Ví dụ 2: Quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theo các bước:

Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao

tuyến tại một điểm.

Bước 3 : Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm..

Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thể mà bước này hoặc bước kia

đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được xác định góc theo

trình tự trên là cần thiết và sẽ đạt được kết quả. Hơn nữa cũng theo trình tự ấy, học

sinh còn biết lập luận xác định góc một cách rõ ràng, ngắn gọn, góp phần khắc phục

nhược điềm về cách diễn đạt vốn vẫn là một trong những khó khăn đáng kể của học

sinh trong học tập môn toán.

c) Mô tả tuật toán (tường minh hóa thuật toán)

Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình,

cần yêu cầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của

mình. Giáo viên theo dõi tính chính xác, xác định của những phát biểu như vậy để

tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những đối tượng

riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn họ đi từ

giải phương trình bậc hai cụ thể tới giải phương trình bậc hai tổng quát dạng

2



ax + bx + c = 0 .



Cũng cần rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng so sánh những thuật toán



khác nhau ( thực hiện cùng một công việc ) và phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất về

tiết kiệm thao tác. Đó cũng là yếu tố tư duy thuật toán trong những nét đặc trưng

của sự làm việc với máy tính điện tử. [8,tr.202-204].

d) Khái quát hóa một hoạt động

Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những

đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn

các em đi từ việc giải những bài toán cụ thể sang giải những bài toán dạng tổng

quát, từ việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hai

quát dạng



2



ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)



; từ việc giải bất phương trình cụ



≤ 7 − x sang giải bất phương trình tổng quát dạng f (x)



x2  x 12





tổng

thể



≤ g( x) ; từ giải



phương trình cụ thể như:

5sin 2x -12(sin x - cos x) +12 = 0 sang giải phương trình tổng quát dạng

asin x cos x + b(sin x ± cos x) + c = 0; từ việc giải phương trình cụ thể như

x



x



x



25 − 5.15 + 6.9 = 0 sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:

2



2



a( f (x)) + bf (x)g(x) + c(g(x)) = 0 ,…

e) Chọn thuật toán tối ưu

Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiện cùng một

công việc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rèn luyện cho các em ý thức tiết

kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán, chẳng hạn để giải bất phương



trình:



2



2x + x − 3 2

> thì sau khi qui đồng mẫu số và rút gọn, bỏ qua việc xét dấu mẫu số;

2

x +1

3



hoặc giải và biện luận bất phương trình



2

(m +1)x − m > 0 thì không cần xét trường



hợp hệ số a ≤ 0 ,…

Phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất là về phương diện tiết kiệm thao tác đó là yếu tố



của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính

điện tử.

Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể, giáo

viên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đã

trình bày trên.



1.2.7 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán

Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập và

có vẻ xa lạ. Tuy nhiên, sự bắt trước hay học hỏi của con người từ thời xưa đến nay

chính là thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một

phương pháp tổng quát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong công việc.

Người ta đã dạy nhau nấu một món ăn ngon hay cắm một lọ hoa đẹp bằng cách chỉ

cụ thể bước 1 làm gì, bước 2 phải làm như thế nào,…chính là thực hiện thuật toán,

sự thành thạo có được là do làm nhiều lần theo một công thức có sẵn. Từ đó cho

thấy sự cần thiết phải có thuật toán và rèn luyện việc thực hiện thuật toán trong đời

sống.

Trong quá trình toán học, thuật toán còn có một vị trí và ý nghĩa sâu sắc hơn,

quan trọng hơn. Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài toán

tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện,

việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở lên có hệ thống. Học tập với thuật toán

giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương, phát triển

năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ

năng, kỹ xảo, linh hoạt, nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống sảy ra trong

học tập môn toán và cả đời sống.

1.3 Quy trình tựa thuật toán

1.3.1 Khái niệm về quy trình tựa thuật toán

Những quy tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu

chặt chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là quy trình tựa thuật toán.

Một quy trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà quy trình đó

chỉ tương tự như một thuật toán, Tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước

để giải quyết một vấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết quả

duy nhất còn qui trình tựa thuật đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì

vấn đề đặt ra được giải quyết. Đối với một thuật toán thì cho dù người hay máy tính

thực hiện đều mang lại một kết quả duy nhất. Nhưng đối với một qui trình tựa thuật

toán thì vấn đề có khác hơn, đó là máy không thực hiện được qui trình này. Trong

chương trình toán ở trường phổ thông, học sinh đã được học những quy trình tựa



thuật toán như giải bài toán bằng cách lập phương trình, quy trình xác định vectơ

tổng của hai vectơ cho trước, quy trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…

Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a

và b cho trước như sau:

Quy trình 1:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa b và song song với a

Bước 2: Xác định hình chiếu a ' của a trên mp (Q)

Bước 3: Xác định giao điểm N của a ' với b

Bước 4: Xác định đường thẳng c qua N và c ⊥ (Q)

Quy trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán

về xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước. Tuy

nhiên, khi vận dụng các quy trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của

tư duy thì vần đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất.

Quy trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán "Cho hình lập phương

ABCD.A' B 'C ' D ' . Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và

CC '". Bài toán này chỉ đòi hỏi học sinh hiểu được khái niệm đường vuông góc



chung của hai đường thẳng chéo nhau mà không cần đến quy trình đã nêu.

Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh những quy trình để

giải một lớp các bài toán.

Sau đây là một quy trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông góc

chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b cho trước.

Quy trình 2:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a.

Bước 2: Xác định giao điểm O của a với mp (P).

Bước 3: Xác định hình chiếu b' của b lên mp (P).

Bước 4: Xác định hình chiếu H của O lên b.

Bước 5: Xác định N ∈b sao cho NH // a.

Bươc 6: Xác định M ∈



sao cho MN // OH.



a



Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b.