Lời bình bài giải ví dụ 4.
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 228 trang )
SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I , J lần lượt là trung
điểm của AB và CD
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ . Chứng minh rằng SH ⊥ AC .
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA . Tính AM theo a
[2,tr.117].
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam
giác đều và SC = a 2 . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD .
a) Chứng minh rằng : SH ⊥ ( ABCD) .
b) Chứng minh AC ⊥ SK và CK ⊥ SD [2,tr.116]
Bài 4: Cho tứ diện SABC có cạnh
SA ⊥ (
ABC)
và tam giác ABC vuông tại B .
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM ⊥ SB tại M , trên SC lấy điểm N sao cho tỉ số
SM
SB
=
SN
. Chứng minh rằng:
SC
a) BC ⊥ (SAB)
b) AM ⊥ (SBC)
c) SB ⊥ AN .
Bài 5: Cho hình chóp S.A BCD , đáy là hình bình hành và SA = SC, SB = SD . Gọi O
là giao điểm của AC và BD .
a) Chứng minh
rằng
SO ⊥ ( ABCD) .
b) Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; d là giao tuyến của (SBC ) và
1
(SAD) . Chứng minh rằng SO ⊥ (d; d1 ) [1,tr.119].
4.1.5 Quy trình V: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về
“quan hệ vuông góc” và có xuất hiện khá nhiều trong các bài toán gặp phải phần
hình học không gian trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng
các năm gần đây.
Để giải các bài toán về xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, ta
cần nhớ lại khái niệm và các tính chất về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
a) Khái niệm về góc giữa hai mặt phẳng
Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng phân biệt cùng xuất từ một đường thẳng.
Hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của nhị diện. Đường thẳng chung
của hai mặt gọi
là cạnh của nhị diện.
Nhị diện có cạnh là đường thẳng c và hai mặt là và được kí hiệu
là
( , c, ) . Nếu không sợ nhầm lẫn người ta có thể gọi tắt là nhị diện ( , hay nhị
)
diện (c) .
Góc phẳng của nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện còn hai cạnh nằm
trong hai mặt và đều vuông góc với cạnh của nhị diện.
Số đo của nhị diên là số đo của của góc phẳng của nó
+ Nhị diện vuông là nhị diện có góc phẳng là góc vuông.
+ Hai nhị diện gọi là bằng nhau nếu các góc phẳng của chúng bằng nhau
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó (hay góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là một trong bốn góc nhị
diện mà chúng tạo nên)
Góc không tù giữa hai mặt phẳng và kí hiệu là ( , ) .
b) Các tính chất
Khi hai mặt phẳng (P)
và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ , để tính góc giữa
chúng, ta chỉ cần việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với ∆ , lần lượt cắt (P) và
(Q) theo các giao tuyến p và
đường thẳng p, q .
q. Lúc đó góc giữa
(P)
và (Q) bằng góc giữa hai
Nếu là góc giữa hai mặt phẳng , . Hình (H) có diện tích S trên (P) , hình
chiếu lên là (H') có diện tích là S ' thì S ' = S.cos
hay S =
S'
cos .
Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng đều có số đo từ 00 đến 900 .
Có khi ta không cần xác định cụ thể góc của hai mặt phẳng là góc của hai đường
thẳng, nếu biết được diện tích S và diện tích chiếu S ' thì góc xác định
cos =
S'
S
bởi
.
Từ khái niệm và các tính chất về góc giữa hai mặt phẳng, ta có thể nêu lên
các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để giải các bài toán
về xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong không gian như sau:
Quy trình 1:
Bước 1: Chọn O ∈ a = (P) ∩ (Q)
Bước 2: Trong (P) dựng đường thẳng Ox ⊥ a , trong (Q) dựng đường thẳng Oy ⊥ a
Bước 3: Tính số đo của góc
xOy Bước 4: Khi đó:
0
+
, nếu xOy ≤ 90 .
((P)
, (Q) ) =
xOy
+ ((P), (Q) ) =
180 − xOy , nếu
x
0
xOy > 90 .
0
Oy
a
Q
P
Hình 4.11
Bên cạnh quy trình 1 ta còn có quy trình sau để xác định góc giữa hai mặt phẳng
trong không gian
Quy trình 2:
Bước 1: Tìm đường thẳng a ⊥ (P)
. Bước 2: Tìm đường thẳng b ⊥
(Q) Bước 3: khi đó
((P), (Q) ) =
(a, b) .
Quy trình 3:
Bước 1: Tìm giao tuyến a = (P) ∩ (Q)
(R) ∩ (P) = p
Bước 2: Tìm mặt phẳng R ⊥ tại O sao cho
a
(R) ∩ (Q) = q
Bước 3: Kết luận ((P), (Q) ) = (p, q) . (hình 4.12)
a
Q
P
q
p
R
Hình 4.12
Ngoài các quy trình trên ta cũng có thể vận dụng công thức S ' = S.cos
Với
S : diện tích của đa giác nằm trong mặt phẳng (P) .
S ' : diện tích của hình chiếu của đa giác lên mặt phẳng (Q) .
: là góc giữa hai mặt phẳng chứa đa giác và mặt phẳng chiếu.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp
S.ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA ⊥ mp( ABCD),
AB = a, SA = a .Tính góc giữa mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng ( ABCD) .
Giải:
S
A
B
D
C
Hình 4.13
Nếu áp dụng quy trình 3 ta có lời giải như sau:
Ta thấy: (SBC ) ∩ ( ABCD) = BC
BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ (SAB)
BC ⊥ AB
(SAB) ∩ ( ABCD) = AB
Ta lại có:
(SAB) ∩ (SBC) = SB
Suy ra ((SAB), ( ABCD) ) =
0
SB, AB = SBA = 45
Mà
(
)
(do tam giác SAB vuông cân tại A )
Nếu ta áp dụng quy trình 1 ta phải chọn điểm O thuộc BC , rồi trong mặt phẳng
