Chương II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN

bộ môn khoa học khác.

2.2.2 Vai trò

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệ

thhiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học học tốt các môn khoa học

khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Các-Mác nói “Một

khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp của toán

học” [5,tr.5].

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ

như: phân tích, tồng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…Rèn luyện những

phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ

luật, khoa học, sáng tạo…

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh



có



thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.

Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý

khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội

dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,...

Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng

những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng

phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện

các mục đích dạy học.

Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và

tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể

tức là có ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh, công khai.

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản là bài

tập có vai trò mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải

thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,

định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt

động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt

động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và

phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3



bình diện này.

Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá

mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt

mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau

hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá

trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.

+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những

phẩm chất trí tuệ.

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo

đức của người lao động.

2.2.3 Ý nghĩa

Ở trường trung học phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng

cố, hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến

thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là hình

thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận

dụng kiến thức đã học của học sinh.

Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt

động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để

hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý

thuyết.

Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động

để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục

tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học

sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng

tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau

về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội

dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương

tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ

SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027



21



Lớp: SP Toán học K36



phát triển của học sinh,...

Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

2.3 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

2.3.1 Vị trí của bài tập toán

Qúa trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã

học và phát huy tính tích cực, sáng tạo. Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm

quan trọng đặc biệt trong dạy học toán.

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán. Đối với học sinh có thể

xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập toán ở

trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được

trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát huy tư duy, hình thành kĩ năng kĩ

xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để

thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông . Vì vậy, tổ chức có

hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy

toán” [8,tr.206].

Trong thực tiễn dạy học bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý

khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để tạo động cơ học tập,

để làm việc với nội dung mới, để củng cố để kiểm tra kiến thức,…Tất nhiên, việc

dạy để giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó

mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Giải bài tập toán là hình

thức chủ yếu tập dược cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời

sống và lao động sản xuất. Đồng thời việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học

sinh và học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả

năng vận dụng chúng vào giải quyết các vấn đề cụ thể. Giải bài tập toán có tác dụng

giáo dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp

suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo,…

2.3.2 Chức năng của bài tập toán

Dạy học toán là dạng hoạt động toán học, đối với học sinh có thể xem việc

giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ

thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp



học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo,

ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực

hiện tốt các mục đích dạy học ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc

dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác

nhau. Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm với

nội dung mới, để củng cố ôn tập hoặc kiểm tra,… Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ

thể thường không chỉ nhằm vào một nội dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao

hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu [8,tr.206].

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học

đều chứa đựng một cách tường minh hay không tường minh những chức năng khác

nhau. Những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học.

Trong môn toán, các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980):

a) Chức năng dạy học

Bài tập toán nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo

ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

b) Chức năng giáo dục

Bài toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú

học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

c) Chức năng phát triển

Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt rèn luyện



những



thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.

d) Chức năng kiểm tra

Bài tập toán còn nhằm đánh giá mức độ về kết quả dạy và học, đánh giá khả năng

độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.

Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý

nói việc thực hiện các chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công

khai. Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phải phụ thuộc vào việc khai

thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà



người viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải

có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm và

trình độ nghệ thuật dạy học sư phạm của mình.

Ta hãy minh họa điều vừa trình bày bằng một ví dụ. Ở chương 1 sách Hình

học 10 (Văn Như Cương 1990) có bài tập sau "Cho tam giác ABC có trọng tâm G.

Hãy dựng vectơ tổng GA + GB . Từ đó suy ra GA + GB + GC = 0 ".

Bài toán này trước hết nhằm củng cố kĩ năng dựng vectơ tổng theo theo quy

tắc hình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chất

tâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng. Điều đó thể hiện

tường minh chức năng dạy học của bài tập này.

Khi dạy giải bài tập này, người giáo viên hướng dẫn học sinh liên



tưởng đến



kết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu O

là trung điểm của đoạn thẳng AB thì OA + OB = 0 ), biết thay thế tổng GA + GB ở

đẳng thức phải chứng minh là GD để đưa về đẳng thức mới phải chứng minh là

GD + GC = 0 , tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồng thời thấy được sự



thống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tam



giác.



Như vậy là khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên.

Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung

điểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm) gợi

lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ diện ABCD (bốn điểm), một ngũ giác hay

một đa giác nói chung có hay không một điểm O sao cho: OA + OB + OC + OD = 0

Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó. Như thế chức

năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng, luyện tập cho học sinh kĩ

năng vận dụng tương tự hóa, khái quát hóa, phát triển ở học sinh tư duy biện chứng,

khả năng dự đoán khoa học…

Ví dụ trên càng làm sáng tỏ thêm rằng các chức năng của mỗi bài tập toán

phụ thuộc nội dung cũng như vào phương pháp khai thác hóa lời giải của nó. Điều

đó định hướng việc lựa chọn bài toán của giáo viên, tránh tình trạng ra bài toán cho

học sinh một cách tùy hứng hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần túy.



2.4 Cách tiếp cận một bài toán

Thông thường người giải toán hay có thói quen bắt tay vào giải ngay khi

đứng trước một bài toán vì họ dựa vào một cách thức đơn giản. Chúng ta có nhiều

phương pháp tiếp cận bài toán.

2.4.1 Nhận biết câu hỏi hay bài toán

• Bạn có hiểu ngôn từ dùng diễn đạt bài toán không? (có cái bẫy nào không?).

• Bài toán là một dạng đã biết?

• Cái gì đã cho?

2.4.2 Tìm những ý tưởng liên quan

• Bài toán thuộc dạng nào?

• Bài toán nào tương tự như bài toán nào?

2.4.3 Giới hạn bài toán

• Có thể đơn giản hóa bài toán bởi thực hiện một số phép toán không?

• Có chi tiết nào được cho là thừa không?

• Bài toán có thể biến đổi thành một phương trình hay mô tả hình học không?

2.4.4 Chiến lược giải

• Dữ liệu bài toán có thể tổ chức thành một mô hình không?

• Bài toán này khác với các bài toán đã giải trước đây ở những điểm nào?

• Có thể bổ xung những điều kiện nào để làm bài toán đơn giản hơn?

2.4.5 Dùng các tài liệu tham khảo

• Có bài toán nào tương tự trong sách giáo khoa không?

• Những công thức hay định lí nào sẽ được áp dụng vào bài toán loại này?

• Sau khi giải một bài toán, nhiều giáo viên và học sinh phát triển nó đến một

mức cao hơn. Như vậy, một bài toán sau khi được giải sẽ có giá trị đối với

người giải hơn. Sau đây là một số câu hỏi có thể áp dụng cho việc phát triển

một bài toán.

• Kết quả này có thể áp dụng vào một bài toán tương tự?

• Trong các điều kiện nào thì bài toán này giải được? Không giải được?

vô nghĩa?



• Có thể tổng kết hóa bài toán này không?

• Những lập luận nào đã được dùng?

2.5 Giải bài toán là gì?

Giải bài toán là quá trình tìm cách khắc phục sự không phù hợp hay mâu

thuẫn giữa các điều kiện và các yêu cầu của bài toán biến đổi chúng để cuối cùng đi

đến sự thống nhất. Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì

bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự

chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề hay nói một cách khác có thể

hiểu giải bài tập toán tức là tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để

đạt tới một mục đích của bài toán. Đó là quá trình tìm tòi sáng tạo huy động kiến

thức, kĩ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết bài toán đã cho.

Ngoài ra việc giải bài toán còn dựa trên mối quan hệ chủ yếu giữa người giải

và cấu trúc của bài toán trong đó phương tiện của người giải là chủ yếu.

Theo Howard Gardner, G. Polya, … thì tiến trình lao động của học sinh khi giải một

bài toán có thể theo các hướng sau:

- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ

một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng

tập hợp ban đầu.

- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán

ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập

hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập

con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài

toán đã cho.

- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp,

học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài

toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác

định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài

toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài

toán đã cho.

Theo G. Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu



rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải

đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học

sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới,

đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo.

2.6 Yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu

cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như vậy là bao

hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực hiện các

yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá

các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các

yêu cầu chi tiết.

2.6.1 Lời giải không có sai lầm

Kết quả đúng, kể cả ở các bước chung gian. Kết quả cuối cùng phải là một

đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,... thoã mãn các yêu cầu đề ra.

Kết quả các bước chung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa

những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…

Yêu cầu này có ý nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về

phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai

lầm về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem

xét kiểm tra lại kết quả giải bài toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức

trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh

biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài, xét

tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác

nếu có thể, rồi so sách các kết quả giải được theo các phương pháp khác nhau. Cũng

cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt nhưng kiến

thức đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như

nhiều học sinh vẫn làm.

Chẳng hạn khi giải phương trình x2 −11x − 60m2 = 0 ( m là tham số) nếu học

sinh tìm được hai nghiệm là 4m và 15m thì bằng cách áp dụng định lí Vi-et, phải

2



thấy ngay là sai, vì ở phương trình này các hệ số a = 1 và c = - 60m trái dấu nên hai



nghiệm phải trái dấu.

Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết , song điều quan

trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì "con

người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình" (Pôlya 1975).

Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm không vững

chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc… Vận dụng chúng một cách máy móc, không

chú ý đến điều kiện ấy hạn chế phạm vi tắc dụng của chúng.

tan 3x



Ví dụ, với bài toán "Giải phương trình

là có sai lầm:



tan 3x

sin x



= 0 ⇒ tan 3x = 0 ⇒ x =



sin x

k



= 0 " thì lời giải sau đây của học sinh



3



Ở đây học sinh đã quên đặt điệu kiện sin x ≠ 0



cho phương trình nên không loại



được những giá trị không thích hợp khi k = 3.

2



x < 3 thì ngay một số học sinh lớp 10



Một ví dụ khác, khi giải bất phương trình

trung bình thường đi đến kết quả x < ± 3



. Họ đã áp dụng "nguyên văn" cách giải



phương trình bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai nên dẫn đến sai lầm.

Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khó thấy hơn. Chẳng hạn trong Đại

số lớp 10 (Ngô Thúc Lanh…1990) có bài toán "Chứng minh rằng với mỗi số thực

2



2



2



không âm bất kì a, b, c ta có bất dẳng thức a + b + c ≥ ab + bc + ca" mà có học

sinh đã giải như sau:

2



2



2



2



"Từ a + b + c ≥ ab + bc + ca  2(a + b

2



2



2



2



+ c ) - 2(ab + bc + ca) ≥ 0



2



Hay (a-b) + (b-c) + (c-a) ≥ 0

Bất đẳng thức sau cùng này đúng, do bất đẳng thức phải chứng minh cũng đúng".

Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến (phép phân tích đi xuống) là một

phép chứng minh.

Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong

tính toán, không ghi chép đúng và không xem xét kĩ đầu bài…

2.6.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác

Lập luận chặt chẽ, đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

+ Luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic.



Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa

vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức…đã học, đặc biệt phải chú ý đảm

bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí. Chẳng hạn khi giải bất

phương trình sau trong đại số lớp 10 (Ngô Thúc Lanh 1990)



1

1

>

(x −1)(x − 2) (x +

2

3)



Một số học sinh mắc sai lầm khi lập luận rằng theo quy tắc so sánh hai phân số có

2



cùng tử số, từ bất phương trình đã cho suy ra (x-1)(x-2) < (x+3) . Nguyên nhân sai

lầm là do học sinh không biết rằng quy tắc so sánh hai phân số thực hiện với các

phân số mà tử số và mẫu số đều là số tự nhiên và mẫu số đương nhiên phải khác

không.

+ Một sai lầm loại khác là đánh tráo luận đề, tức thực chất đã thay đổi mục tiêu của

lời giải.

2



Ví dụ, với bài toán "Tìm các giá trị của m để phương trình sin x + msinx - m +1=0

có nghiệm", có học sinh giải như sau: Đặt t = sinx, bài toán đưa về tìm các giá trị

2



của m để phương trình t + mt - m + 1 = 0 có nghiệm. Đó là các giá trị của m làm

cho ∆ = m2 + 4m − 4 ≥ 0 ⇒ m ≤ −2 2

−2



hoặc m ≥ −2 + 22 .



Thật ra, bài toán tương đương với bài toán đã cho phải là:

Tìm các giá trị của m để phương trình t 2 + mt − m + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thỏa

mãn điều kiện −1 ≤ t ≤ 1. Học sinh trên đã phạm sai lầm đánh tráo luận đề khi không

nói gì đến điều kiện của t.

2.6.3 Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một khả

năng, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu

nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào...

Muốn vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn suy

xét và tự trả các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa?

Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?



Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp,

các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham biến, những bài

toán đòi hỏi phải biện luận…