B - Quan hệ song song

song với nhau.







a //



c



b // c



⇒ a // b



Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến

ấy



hoặc đồng quy



hoặc



đôi một song

c



R



song.



b



a



a



R



c



b



Q



P



Q



P



Hình 3.18



Hình 3.19



Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao

tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai

đường thẳng đó).

(P) ∩ (Q) = a '



 a // b và a ⊂ (P) , b ⊂

(Q)



⇒ a ' cùng phương với a, b



Q



b

P

a'



a



Hình 3.20



3. Góc của hai đường thẳng

3.1 Góc có cạnh song song:

+ Nếu hai góc có các cạnh song song và cùng chiều thì bằng nhau

+ Nếu hai góc có các cạnh song song và ngược chiều thì bằng nhau

+ Nếu hai góc có hai cạnh song song cùng chiều và hai cạnh song song ngược chiều

thì bù nhau.

3.2 Góc giữa hai đường thẳng

'



'



Góc của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cùng đi



qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1 và ∆2 .

Nhận xét:

+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng



∆1 và ∆2 , ta có thể lấy điểm O nói trên



thuộc một trong hai đường thẳng đó.

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900 .

 

 

+ Nếu u1, u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ∆1, ∆2 và (u1,u2 ) = 

thì góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ 2 bằng  nếu  ≤ 900 và bằng 1800 −

1



0

 > 90 .



nếu



II. Đường thẳng song song với mặt phẳng

1. Định nghĩa: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu

chúng không có điểm chung (hình 3.21).

a



Kí hiệu: d //



Hình 3.21







2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

2.1 Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là

đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào

đó chứa trong mặt phẳng (hình 3.22)

tức là:



∃b ∈(P)

a // (P) ⇔ 

a // b



a ⊄ (P)



a



Q

b

P



Hình 3.22



3. Các tính chất

3.1 Định lí 2:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)



thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a



mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song sonng với a .

a // (P)

a ⊂ (Q), (P) ∩ (Q) = b



Tức là 



⇒ a // b



Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song

với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Q

P

a



M

b



Hình 3.23



3.2 Định lí 3:

Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy



b'



a



P



nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b .

b



Hình 3.24



III. Hai mặt phẳng song song

1. Định nghĩa:



Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

2.1 Định nghĩa 1:

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt

phẳng (Q) thì (P) song song với (Q) (hình 3.25).



P



Tức là:

a ⊂ (P), b ⊂ (P)



a ∩ b ≠ ∅



a // (Q) , b // (Q)



⇒



( P) //

(Q)



a



b



Q



Hình 3.25



3. Tính chất

3.1 Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt

phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một

mặt phẳng (P) chứa a và song song với (Q) .



Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song



song với nhau.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P)



và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã



cho cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

Tức là:

 (P) // (Q)



 a = (P) ∩ (R)



 b = (Q) ∩ (R)



R



⇒ a // b



a



P

b



Q



4. Định lí Ta-lét (Thalès) trong không gian



Hình

3.26



a



a'



A'

A

P



4.1 Định lí 2 (Định lí Ta-lét)

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra



trên hai



cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.



B



B1



Q



C

C'



R



4.2 Định lí 3 (Định lí Ta-lét đảo)



Hình 3.27



Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a '. Lấy các điểm phân biệt



A ', B ', C ' trên a ' sao



cho



B'



A, B, C trên a và



AB

BC

CA

A ' B =' B 'C ' = C ' A .'



Khi đó, ba đường thẳng AA ', BB ', CC ' lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song,

tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng.

IV. Hình lăng trụ

1. Định nghĩa: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt

phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song

song với nhau (hình 3.28).

Hình lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D '

+ ABCD.A' B 'C ' D ' : đáy

+ ABB ' A'.BCC ' B ' : mặt bên

+ AA ', BB '... : cạnh bên



D'

A'

B'



C'



+ ACC ' A'.BDD' B ' : mặt chéo



D

A



Hình 3.28

B



C



Tùy theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác…



2. Tính chất

Trong hình lăng trụ:

+ Các cạnh bên song song và bằng nhau

+ Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành

+ Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

3. Hình hộp

+ Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp

+ Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình

hộp chữ nhật.

+ Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập

phương.

+ Trong hình hộp ABCD.A' B 'C '

D'



các đường chéo AC ', A 'C, BD ', B ' D cắt nhau tại



trung điểm của mỗi đường

B'



A'



C'



D'



A



D



B



C



a) Hình hộp



b) Hình hộpchữ nhật



c) Hình lập phương



V. Phép chiếu song song

l



M



1. Định nghĩa phép chiếu song song

Phép đặt tương ứng mỗi diểm M trong không gian

với điểm



M'

P



M ' của mặt phẳng (P) như trên gọi là phép



Hình 3.29



chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l .

2. Tính chất

2.1 Tính chất 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng Hệ

quả: Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, của một tia

một tia.



là



2.2 Tính chất 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai

đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

2.3 Tính chất 3: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng

nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau).

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Định nghĩa: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song

song của hình H trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Quy tắc: Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song

(hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm

trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này

còn phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H .

Hình biểu diễn của một đường tròn

Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường elip hoặc một đường tròn,

hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.

C - Quan hệ vuông góc

I. Hai đường thẳng vuông góc



a



1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc





Hình 3.30



giữa chúng bằng 90 (hình 3.30) a ⊥ b ⇔ 

(

0



b



0b



a, b) = 90



a



2. Tính chất:



 a // c



a⊥b



c



P



⇒ b⊥c



Hình 3.31



II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa

Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi

đường thẳng chứa trong mặt phẳng đó.

Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng  , ta còn nói  vuông góc với a và



kí hiệu là a ⊥  hay  ⊥ a .

2. Định lí cơ bản