Tính chất của hai mặt vuông góc

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì

giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. (hình 3.41)

(P) ∩ (Q) = a



(P) ⊥ (R)



(Q) ⊥

(R)



Tức là:



⇒ a ⊥ (R)



Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất

một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) (hình3.42)

Q

a



a

O



P



b



Q



R



P



Hình 3.41



Hình 3.42



IV - Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng

Định nghĩa 1: Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P)



(hoặc đến đường



thẳng ∆ ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H



là hình chiếu của



điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆ ) .

M



M



H







P



Hình 3.43



H



Hình 3.44



2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng

song song

a) Khoảng cách gữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a

là khỏang cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).( hình 3.45)

Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phằng kia. (hình 3.46)



A



B

a



A



P



K

H



P



Hình 3.45



H

Q



B



K



Hình 3.46



3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

3.1 Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

3.1.1 Định nghĩa: AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

và b



 A ∈ a, B ∈ b

⇔

 AB ⊥ a, AB ⊥ b



a



a

A



b

B



Hình 3.47



3.1.2 Định lí: Hai đường thẳng chéo có một và chỉ một đoạn vuông góc chung.

3.1.3 Tính chất: Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo



nhau là đoạn



ngắn nhất nối liền hai điểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó.

1.3.4 Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài của đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

V - Hình lăng trụ

1. Định nghĩa: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng

song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với

nhau

Hình lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D '



D'

A'



+ ABCD.A' B 'C ' D ' : đáy



B'



C'



+ ABB ' A '.BCC ' B ' : mặt bên

+ AA ', BB '... : cạnh bên



D

A



+ ACC ' A '.BDD ' B ' : mặt

chéo

Tùy theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác…

2. Tính chất



B



C



Hình 3.48



Trong hình lăng trụ:

+ Các cạnh bên song song và bằng nhau

+ Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành

+ Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

3. Lăng trụ đứng. Lăng trụ đều





Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy

 Trong lăng trụ đứng:

+ Các cạnh bên cũng là đường cao

+ Các mặt bên là những hình chữ nhật nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.







Lăng trụ đều là lăng trụ dứng có đáy là đa giác đều.

 Trong lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau



a) Lăng trụ tam giác



b) Lăng trụ tứ giác đều



5. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần

Dện tích xung quanh, kí hiệu Sxq , là tổng diện tích tất cả mặt bên.

Diện tích toàn phần, kí hiệu Stp là tổng diện tích hai đáy và diện tích xung quanh.

 Công thức:



Sxq  pl



p : Chu vi thiết diện thẳng (thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với cạnh bên).



l : độ dài cạnh bên

Với lăng trụ đứng:



Sxq  ph



p : chu vi đáy ,



Với hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca)



h : chiều cao

a, b, c : 3 kích thước.



6. Thể tích





Thể tích hình lăng trụ:



V=



B : diện tích đáy

h : chiều cao







Thể tích hình hộp chữ nhật:



V = abc



(a, b, c : 3 kích thước)







Thể tích hình lập phương



V  a3



( a : cạnh)



V - Hình chóp

1. Định nghĩa

1.1 Hình chóp là một hình đa diện có một mặt là một đa giác còn các mặt khác đều

là những tam giác có chung một đỉnh.

1.2 Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng

S



nhau.



S



h

hd

A



D



D



C



H

C



B



O

A



Hình 3.49



a



B



Hình 3.50



2. Công thức

2.1 Diện tích xung quanh của hình chóp là tổng diện tích của các mặt bên.

2.2 Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy.

Stp  Sxq 

B



B : diện tích đáy



2.3 Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng một nửa tích của chu vi đáy với độ

dài của trung đoạn của hình chóp đó:



S 1 n.a.d

xq

2



n : là số cạnh

a : là độ dài cạnh đáy

d : là độ dài đường trung đoạn



2.4 Thể tích của hình chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao

V =



1



B : là diện tích đáy, h : là chiều cao



B.h



VI - Tứ diện

1. Định nghĩa





Tứ diện là một hình chóp tam giác. Đó là hình chóp duy nhất mà mọi mặt



đều có thể làm đáy.





Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc.







Tứ diện gần đều là tứ diện có các cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một.

V =



1



B : là diện tích đáy, h : là chiều cao



B.h



1



2. Ngoài ra ta còn có thể tính thể tích tứ diện theo công thức : V = a.b.d.sin

6



A



ha

hb



B



B'



A'

C



D



Hình 3.51



Trong đó a, b là độ dài hai cạnh đối, còn d và  là khoảng cách và góc giữa hai

cạnh đối đó.

3. Trong một tứ diện bất kì bẩy đoạn thẳng sau đây luôn đồng quy tại một điểm gọi

là trọng tâm của tứ diện:

+ bốn đoạn nối một đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện.

+ ba đoạn nối trung điểm hai cạnh đối

VII - Hình chóp cụt

1. Định nghĩa

1.1 Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm giữa đáy và một thiết diện song song

với đáy và cắt tất cả các cạnh bên.

1.2 Hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

2. Công thức

2.1 Diện tích xung quanh của hình chóp cụt bằng tổng diện tích của của các mặt

bên.

2.2 Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy:

Stp = Sxq + B + B '



với B, B ' là diện tích hai đáy.



2.3 Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều bằng diện tích của một nửa tổng hai

1 (na 

chu vi đáy với độ dài của trung đoạn:S

xq



na ').d



2



2.4 Nếu hình chóp cụt có chiều cao h , có diện tích hai đáy là B



và B ' thì thể tích



V của nó là:

V  1 h(B  B ' BB ') 3



SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027



72



Lớp: SP Toán học K36



Chương 4: XÂY DỰNG QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

=================

4.1 Một số quy trình cụ thể

4.1.1 Quy trình I: Xác định góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm góc giữa hai đường thẳng là một khái niệm khá trừu tượng trong chương

trình Hình học lớp 11. Vì vậy để giúp học sinh hình dung khái niệm này một cách dễ

dàng, em đưa ra một quy trình mang tính thuật toán để tính góc giữa hai đường

thẳng.

Để giải các bài toán về tính góc giữa



hai đường thẳng trong không gian, ta cần nhớ



lại khái niệm và các tính chất về góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

a) Khái niệm về góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng



∆1 và ∆2 là góc giữa hai đường thẳng ∆ 1′



và



∆ ′ cùng

2



đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1 và ∆2 .

b) Các tính chất

Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai

đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn

lại.

Nếu 



u1 và u2



uu 

lần lượt là vectơ chỉ phương của ∆1 và ∆2 và ( 1 ,2 )=  thì



góc



giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng  nếu  ≤ 900 và bằng 1800 −





nếu  > 900 .



Từ khái niệm và các tính chất về góc giữa hai đường thẳng trong không gian, ta

có thể nêu lên các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để giải

các bài toán về xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian như

sau:

Bước 1: lấy một điểm O nào đó (thông thường lấy



O ∈ a hoặc O ∈b ). Qua O



dựng a ' và b' theo thứ tự song song với a và b .

Bước 2: Kết luận góc nhọn hay góc vuông tạo bởi a ' và b ' là góc giữa a và b .



Bên cạnh đó ta cũng có thể dùng tích vô hướng, định lí Cosin để tính góc của hai

đường thẳng trong không gian. Sau đây là ví dụ minh họa.