A – Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 228 trang )
mệnh như thế gọi là tiên đề. Chẳng hạn ta thừa nhận tiên đề: "có một và chỉ một
đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước" hoặc tiên đề: "có một và chỉ một
mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước".
Mọi mệnh đề khác đều phải được chứng minh dựa vào các tiên đề và các mệnh đề
đã được chứng minh trước đó.
Chúng ta cần chú ý rằng tuy điểm, đường thẳng, mặt phẳng không được định nghĩa,
nhưng chúng buộc phải thỏa mãn các tiên đề. Cho nên có thể nói chúng được định
nghĩa một cách gián tiếp qua các tiên đề.
Trong hệ thống các tiên đề hình học có một tiên đề gọi là tiên đề Ơ-clit (nó
tương dương với tiên đề V trong tác phẩm Cơ bản của Ơ-clit). Tiên đề đó được phát
biểu như sau: "Cho điểm A không nằm trong đường thẳng b thì trong mặt phẳng
(A,b) chỉ có một đường thẳng đi qua A và không cắt b".
Trong lịch sử khi nghiên cứu các tiên đề của Ơ-clit, nhất là định đề V nói
trên, các nhà toán học đã nghi ngờ rằng có thể chứng minh được nó dựa vào các tiên
đề khác và nếu quả thật như vậy thì cần phải loại nó ra khỏi danh sách các tiên đề.
Nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Xác-kê-ri (Saccheri, 1667-1733), Lăm-be
(Lambert, 1728-1777), Lơ-giăng-đơ-rơ (Legendre 1752-1833),…đã tốn nhiều sức
lực và trí tuệ để tìm cách chứng minh định đề V Nhưng không thành công. Vào đầu
thế kỉ XIX, các nhà toán học: Gau-xơ (Gauss, 1777-1855), Bô-li-ai (Bolyai, 18021860), đặc biệt là nhà toán học Nga Lô-ba-sép-xki (Lobachevsky), trong quá trình
chứng minh định đề V của Ơ-clit, đã xây dựng một Hình học mới trong đó không
thừa nhận định đề V mà thừa nhận tiên đề phủ định định đề V: "Cho điểm A không
nằm trên đường thẳng b thì trong mặt phẳng (A,b) có ít nhất hai đường thẳng đi
qua A và không cắt b".
Ngày nay, người ta gọi hình học đó là Hình học Lô-ba-sép-xki (một
loại
hình học phi Ơ-clit).
Năm mươi năm sau khi Lô-ba-sép-xki công bố tác phẩm nói trên, người ta
chứng minh được rằng Hình học Lô-ba-sép-xki không hề có mâu thuẫn và như vậy,
tiên đề Ơ-clit đúng là một tiên đề.
Ngày nay, phương pháp tiên đề đã thâm nhập vào nhiều ngành toán học khác
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027
43
Lớp: SP Toán học K36
nhau và nó là một công cụ quan trọng trong việc xây dựng nên những bộ môn toán
học hiện đại [11,tr.81-82].
Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường thẳng và chỉ một mà thôi.
Tiên đề 2: Qua ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng có một mặt phẳng và
chỉ một mà thôi.
Tiên đề 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Q
A
a
B
a
P
A
Hình 3.1
Hình 3.2
Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có ít nhất
một điểm chung thứ hai.
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng a và mặt phẳng :
+ Đường thẳng a và mặt phẳng song song với nhau (hình 3.3):
a // ⇔ a ∩ = ∅
+ Đường thẳng a cắt mặt phẳng tại điểm A (hình 3.4) : a cắt ⇔ a ∩ = A
+ Đường thẳng a chứa trong mặt phẳng (hình 3.5): a ⊂ ⇔ a ∩ = a
a
a
Hình
3.3
Hình
3.4
A
a
Hình 3.5
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
3.1 Hai đường thẳng đồng phằng
+ Hai đường thẳng a và b song song với nhau (hình 3.6): a // b ⇔
a ∈ , b ∈
a ∩ b = ∅
+ Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại C (hình 3.7):
+ Hai đường thẳng a và b trùng nhau (hình 3.8):
a cắt b ⇔ a ∈ b ∈
,
a ∩ b = C
a≡b ⇔
a∩b=
a
b
b
a
Hình 3.6
a
(hoặc là b )
a≡b
C
Hình 3.7
Hình 3.8
3.2 Hai đường thẳng không đồng phẳng
Hai đường thẳng a và b chéo nhau (hình 3.9): a chéo b ⇔
a ⊂
,
b ∩ = B
a ∩ b = ∅
b
a
B
Hình 3.9
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Có hai vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng và
+ Hai mặt phẳng và song song với nhau (hình 3.10): // ⇔ ∩ = ∅
+ Hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến a (hình 3.11):
cắt ⇔
∩=d
Hình 3.10
5. Cách xác định một mặt phẳng
Có bốn cách xác định một mặt phẳng :
Hình 3.11
5.1 Biết ba điểm A, B, C không thẳng hàng của mp (hình 3.12):
A , B , C
5.2 Biết một điểm A và một đường thẳng b không chứa A của mp (hình 3.13):
A ∈ , b ⊂ , A ∉ b
5.3 Biết hai đường thẳng a, b cắt nhau của mp (hình 3.14)
5.4 Biết hai đường thẳng a, b song song của mp (hình 3.15): a ⊂ , b ⊂ , a //
b
A
Hình 3.12
b
A
B
b
Hình 3.13
C
a
Hình 3.14
a
A
b
Hình 3.15
6. Dựng hình trong không gian
Ta quy ước:
+ Các hình đã cho xem như dựng được.
+ Các đường thẳng và mặt phẳng được xác định xem như dựng được.
+ Các giao điểm và giao tuyến (nếu có) của các đường thẳng và các mặt phẳng
dựng được xem như dựng được.
+ Các hình dựng được trên mặt phẳng đã dựng được xem như dựng được.
B - Quan hệ song song
I. Đường thẳng song song
1. Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu
chúng đồng phẳng và không
có điểm chung ̣(hình 3.16)
a ∈ b ∈
a // b ⇔ ,
a ∩ b = ∅
b
a
Hình 3.16
2. Các tính chất:
+ Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đó.
A, b
⇒ ∃a ∋ A và a //
A∉b b
b
Hình 3.17
a
A
+ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song
a không trùng với b
song với nhau.
a //
c
b // c
⇒ a // b
