Chương 4: XÂY DỰNG QUY TRÌNH TỰA THUẬT TOÁN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 228 trang )
Bên cạnh đó ta cũng có thể dùng tích vô hướng, định lí Cosin để tính góc của hai
đường thẳng trong không gian. Sau đây là ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a
a) Hãy tính góc (AB ', BC '); (AC ', CD ') .
b) Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC, C ' D ' . Hãy tính góc giữa
(MN , C ' D '); (BD, AD
'); (MN , AP) .
Giải:
B
N
C
M
A
D
B'
C'
P
A'
D'
Hình 4.1
• Vì BC ' // AD ' nên (AB ', AD ') = (B ' AD ')
Ta có: AB ' = B ' D ' = AD '
⇒ ∆AB ' D ' đều.
=a
2
Suy ra (B ' AD ') = 600 ⇒
(AB '; BC ') = 60 .
AC ' = AB + AD + AA '
• Ta có:
CD ' = BA ' = AA ' − AB
0
Mà:
AC '.CD ' = ( AB + AD + AA').(AA' − AB)
2
2
2
2
= AA '.AB + .AA '.AD + AA ' − AB + AD.AB + AA '.AB = a − a = 0
.
0
⇒ AC ' ⊥ CD ' ⇒ (AC ', CD ') = 90
b) + C ' D ' //
AB
+ BD // B '
D'
⇒ (MN , C ' D ') = (MN, AB) =
0
BMN = 45
⇒ (BD, AD ') = (B ' D ', AD ') =
AD ' B ' = 600
+ MN // AC ⇒ (MN , AP) = (AC, AP) =
CAP
Xét
∆CAP
có: AC = 2 , CP =
a
Trong ∆AA' P ta có:
a2
a2
4
=a 5 .
2
2
2
2
2
2
2
2
AP = AA ' + A ' P = AA ' + A ' D ' + PD ' = a + a
a
+
⇒ AP =
3a
.
2
2
= 9a
4
4
2
2
Theo định lí Cosin ta có:
2
2
2
2
2a +
2
AC + AP − CP
cosCAP =
2 AC.AP
9a
4
=
⇒ CAP = 45 ⇒
0
(MN , AP) = 45 .
0
2.
a
2
− 5a
3a
2. 2
4 =
2
3a
3a2 . 2
=2
2
Lời bình bài giải ví dụ 1.
Bài 1 có 2 câu, ở câu a) có 2 ý. Ý thứ nhất đề yêu cầu ta tính (AB ', BC ')
. Trong câu
này ta để ý thấy
AD ' đi qua điểm A∈ AB và BC ' // AD ' .
Nên chúng ta có thể suy ra được (AB ', BC ') = (AB ', AD ') =
(B ' AD ')
Ý thứ 2 của câu a) ta có thể áp dụng tích vô hướng của hai vectơ.
Câu b) có 3 ý, ý thứ nhất và ý thứ 2 hoàn toàn như ý thứ nhất của câu a) dễ dàng ta
có thể xác định được góc của chúng. Đối với ý thứ 3 của câu b) ta sử dụng định lí
Cosin trong tam giác mà chúng ta đã học trong Hình Học lớp 10.
Định lí Côsin trong tam giác như sau:
Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c,
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
ta có:
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
2
2
2
c = a + b − 2ab cos
C
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là hình thoi. SA =
AB
và SA ⊥ BC .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SD, BC) .
b) Gọi I , J lần lượt thuộc các đường thẳng SB, SD sao cho IJ // BD . Chứng
minh rằng:
(AC,
IJ )
không phụ thuộc vào vị trí của I và J [1,tr.117].
Bài 2:Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD.
a) Hãy tính
cos(AB,
DM ).
Biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a .
