C - Quan hệ vuông góc

kí hiệu là a ⊥  hay  ⊥ a .

2. Định lí cơ bản



2.1 Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là

đường thẳng ấy vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (hình

3.32).



a



b

P



c



Hình 3.32



3. Các tính chất

3.1 Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P)



di qua một điểm O cho trước và



vuông góc vớ một đường thẳng a cho trước.

3.2 Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và

vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt

phẳng

4.1 Tính chất 3:

+ Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng

vuông góc với hai đường thẳng còn lại.

 a // b

Tức là:

(P) ⊥ a





⇒



a



(P) ⊥ b



+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một

mặt phẳng thì song song với nhau.



b



P



Hình 3.33



a ⊥ (P)



b ⊥ (P)



 a , b phân



⇒ a // b



biệt

4.2 Tính chất 4:

+ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng

vuông góc với mặt phẳng còn lại.



Tức là: (P) //

 (Q)



a ⊥ (P)



SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027



59



Lớp: SP Toán học K36



⇒ a ⊥ (Q)



+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với



SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027



60



Lớp: SP Toán học K36



Nhau:



⇒ (P) // (Q)



(P) ⊥

a



(Q) ⊥

a



(P) , (Q) phân biệt



4.3 Tính chất 5



song song với nhau. Đường thẳng nào



+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P)



a



.

P



vuông góc với (P) thì cũng vuông góc với a

Tức là:  a // (P)

 b ⊥ (P)





⇒ b⊥a



b



Hình 3.34



+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng

vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

Tức là:



a ⊄ (P)



a ⊥ b



(P) ⊥ b



⇒ a // (P)

O



5. Định lí ba đường vuông góc

5.1 Phép chiếu vuông góc



H



Định nghĩa 2: phép chiếu song song lên mặt phẳng

(P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng



(P)



gọi





Hình 3.35



là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) .

Phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

5.2 Đoạn vuông góc, đoạn xiên

+ Các định nghĩa

Cho mặt phẳng  và một điểm O không thuộc  . Gọi H là hình chiếu của O trên

 . Đoạn OH là đoạn vuông góc vẽ từ điểm O đến mặt phẳng  . Độ dài đoạn OH



gọi là khoảng cách từ điểm O đến  .

Kí hiệu d (O; )

Mọi đường thẳng cắt  và không vuông góc với  gọi là đường xiên. Gọi M là

một điểm bất kì trong  và khác với H . Đoạn OM là đoạn xiên.



OM trên mặt phẳng  . Kí hiệu là



HM gọi là hình chiếu vuông góc của đoạn xiên

HM = hc OM / 



O



5.3 So sánh độ dài đoạn vuông góc và các đoạn xiên.

Định lí:



O ∉ OH ⊥

,





(H ∈

),



A, B ∈



Đoạn vuông góc OH là đoạn ngắn nhất.

OA = OB



⇔



HA = HB



OA > OB



⇔



HA > HB



H



A



B







5.4 Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tập hợp những điểm cách đều các đỉnh của một tam giác là đường thẳng qua tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.

Đường thẳng này gọi là trục của tam giác

5.5 Định lí ba đường vuông góc

Định lí 2: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng

b nằm trong mặt phẳng (P) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a

b vuông góc với hình chiếu a ' của a trên (P) .



là



a

B



A



a'

B'



A'

b



P



Hình 3.37



5.6 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa 3: Nếu đường thẳng a



vuông góc với mặt phẳng (P)



thì ta nói rằng



góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình

chiếu a ' của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) .

Lưu ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 900 .

III. Hai mặt phẳng vuông góc

1. Nhị diện (hay góc nhị diện)1.1



Định nghĩa: Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng phân biệt cùng xuất từ một



đường thẳng. Hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của nhị

diện. Đường thẳng chung của hai mặt gọi là cạnh của nhị

diện.

O



Nhị diện có cạnh là đường thẳng c và hai mặt là  và 

được kí hiệu là ( , c,  ) . Nếu không sợ nhầm lẫn người ta

có thể gọi tắt là nhị diện ( ,  ) hay nhị diện (c) .



y



x

c









Hình 3.38



1.2 Góc phẳng của nhị, số đo nhị diện



1.2.1 Góc phẳng của nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện còn hai cạnh nằm

trong hai mặt và đều vuông góc với cạnh của nhị diện.

Hình 3.38 góc xOy là góc phẳng của nhị diện ( , c,  ) .

1.2.2 Số đo của nhị diên là số đo của của góc phẳng của nó

+ Nhị diện vuông là nhị diện có góc phẳng là góc vuông.

+ Hai nhị diện gọi là bằng nhau nếu các góc phẳng của chúng bằng nhau.

1.3 Mặt phân giác của nhị diện

+ Mặt phân giác của nhị diện là nửa mặt phẳng xuất phát từ cạnh của nhị diện và

chia nhị diện thành hai nhị diện bằng nhau.

+ Tập hợp các điểm ở bên trong của một nhị diện và cách đều hai mặt của nhị diện

là mặt phân giác của nhị diện đó.

2. Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa 1: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng đó (hay góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là một trong

bốn góc nhị diện mà chúng tạo nên)

Góc không tù giữa hai mặt phẳng  và  kí hiệu là ( ,  ) .

Chú ý: Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ , để tính góc giữa

chúng, ta chỉ cần việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với ∆ , lần lượt cắt (P) và

(Q) theo các giao tuyến p và



q. Lúc đó góc giữa (P)



và (Q) bằng góc giữa hai



đường thẳng p, q .

Định lí 1: Gọi S là diện tích của đa diện H trong mặt phẳng (P) và S ' là diện tích



hình chiếu H ' của H trên mặt phẳng (P ') thì S ' = S cos , trong đó  là góc giữa

hai mặt phẳng (P) và (P ')

S



A



C



H



B



Hình 3.39



3. Hai mặt phẳng vuông góc

3.1 Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng

0



90 .



3.2 Định lí 3: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng

này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.





 ⊥  ⇔ ∃a ∈ : a ⊥ 



a





c



Hình 3.40







Tính chất của hai mặt vuông góc

Định lí 3: Nếu hai mặt (P)



và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng



a



nào nằm trong (P) , vuông góc với giao tyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt

phẳng (Q) .

Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng



(P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một



nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với



trong (P) .



Tức là:



⊥ (Q)

(P)



A ∈(P)





a ⊥

 A ∈ a



⇒ a ⊂ (P)



điểm



(Q) sẽ nằm



Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì

giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. (hình 3.41)

(P) ∩ (Q) = a



(P) ⊥ (R)



(Q) ⊥

(R)



Tức là:



⇒ a ⊥ (R)



Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất

một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) (hình3.42)

Q

a



a

O



P



b



Q



R



P



Hình 3.41



Hình 3.42



IV - Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng

Định nghĩa 1: Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P)



(hoặc đến đường



thẳng ∆ ) là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H



là hình chiếu của



điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆ ) .

M



M



H







P



Hình 3.43



H



Hình 3.44



2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng

song song

a) Khoảng cách gữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a

là khỏang cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).( hình 3.45)

Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phằng kia. (hình 3.46)