Bài tập vận dụng

phẳng ( ACF ) vuông góc với mặt phẳng (SBC ) . Mặt phẳng ( AEF ) vuông góc với

mặt phẳng (SAC).

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ



BB ' và CC ' cùng vuông góc với mặt



phẳng ( ABC ) .

a) Chứng minh mặt phẳng ( ABB ') vuông góc với mặt phẳng ( ACC ').

b) Gọi AH , AK là các đường cao của tam giác ABC và AB 'C ' . Chứng minh rằng

(BCC ' B

')



và ( AB 'C



cùng vuông góc với mặt phẳng ( AHK ) [2,tr.134].



')



Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm I , có cạnh bằng a

và đường chéo BD = a . Cạnh SC =



a 6

vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Chứng

2



minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau [3,tr.136]

Bài 4: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có

SA = SB = SC = a . Chứng minh:

a) Mặt phẳng ( ABCD) ⊥ (SBD) .

b) Tam giác SBD là tam giác vuông tại S [3,tr.140]



Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a .

a) Chứng minh rằng đường thẳng



AC ' ⊥ ( A '

BD)



và mặt phẳng ( ACC ' A ') ⊥ ( A ' BD)



b) Tính độ dài đường chéo AC ' của hình lập phương đã cho [3,tr.140]



4.1.7 Quy trình VII: Tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về

tính khoảng cách trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng

các năm gần đây.

Để giải các bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng trong

không gian, ta cần nhớ lại khái niệm và các tính chất về khoảng cách từ một điểm

tới một mặt phẳng.

a) Khái niệm về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng



Trong không gian cho điểm O và mặt phẳng  , gọi H là hình chiếu vuông góc

của O trên  . Khi đó đọ dài đoạn OH được gọi là khoảng cách từ điểm O tới mặt

phẳng  . Kí hiệu d (O, ) = OH .

b) Tính chất



Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  là khoảng cách nhỏ nhất so với

khoảng cách từ O đến mọi điểm thuộc mặt phẳng ( ) .

Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  bằng 0 khi và chỉ khi O ∈ .

Từ khái niệm và các tính chất về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,

ta có thể nêu lên các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để

giải các bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng  trong

không gian như sau:

Đối với bài toán tìm khoảng cách từ điểm O đến mp (P) trong trường hợp đơn

giản có thể tính trực tiếp qua hai bước:

Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc H của O trên mặt phẳng mp (P)

Bước 2: Tính độ dài đoạn OH và kết luận d ( O, ( P ) ) = OH .

Đôi khi việc xác định hình chiếu vuông góc của O trên



mp (P) rất khó khăn nên ta



có thể xác định hình chiếu vuông góc H của O trên mặt phẳng mp P theo quy

( )

trình sau:

Bước 1:

+ Chọn trong mặt phẳng  một đường thẳng d .



+ Dựng mặt phẳng (P) qua O và vuông góc với d (nên chọn d sao cho dễ dựng).

Bước 2: Xác định đường thẳng c = ( ) ∩ (P) .

Bước 3: Dựng OH ⊥ c tại H .

+ Đường thẳng OH là đường thẳng qua O vuông góc với  .

+ Độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ O đến  . Hình 4.17

P



O



c

H

d







Hình 4.17



Chú

ý:



1) Trong bước 1, trước khi chọn d và dựng mặt phẳng



(P)



nên xem xét d và (P)



đã có sẵn trên hình vẽ chưa.

Khi bài toán không đơn giản như vậy, thường ta phải tính gián tiếp khoảng cách từ

một điểm đến mặt phẳng dựa vào các tính chất sau đây:

2) Nếu OA// (P) thì d (O,(P)) = d ( A,(P)) . Xem hình 4.18

3) Nếu có sẵn đường thẳng d ⊥ (P) thì ta chỉ cần dựng OH // d thì OH ⊥ (P) . Xem

hình 4.19

d

A



O



O



K



H



H



Hình 4.18



tại I thì

4) Nếu AB cắt (P)



K



P



P



Hình 4.19



d ( A, ( P ) )

IA



. Hơn nữa, nếu I là trung điểm AB thì



=



d ( B, ( P ) ) IB



A



d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) . Xem Hình 4.20

H



Hình 4.20



I



K



P



B



Đặc biệt: Phương pháp thể tích sau đây có thể được xem là phương pháp thường sử

dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Sử dụng phương pháp

thể tích để tìm d ( A, ( P ) ) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xét tứ diện ABCD có 3 đỉnh B,C, D ∈ mp ( P).

Bước 2: Tính VABCD và dt∆BCD , từ đó suy ra d ( A, ( P ) )

=



3VABCD

dt∆BCD



.



2. Ta biết rằng một quy trình tựa thuật toán chỉ là những gợi ý giải quyết vần đề

chứ không phải là thuật toán bảo đảm chắc chắn dẫn đến thành công. Vì vậy khi vận

dụng các quy trình đã nêu cần linh hoạt và mềm dẻo, biết điều chỉnh phương hướng,

thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a ;

SA = a 3



và SA ⊥ ( ABCD).



a) Gọi M là trung điểm của SC . Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp( ABCD) .

b) Xác định và tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) .

c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SBC).

d) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mp(SAC) .

Giải:

S



D



B



C



Hình 4.21



M



G

H

A



a) Xét tam giác SAC ta có MO là đường trung bình của tam giác SAC .



Nên



F



MO // SA







E



 ⇒ MO ⊥ ( ABCD)

SA ⊥ (ABCD)



O



Vậy d (M , ( ABCD)) = MO =



SA



=a 3 .

2

2



BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (SBC) mà (SAB) ∩ (SBC) = SB

BC ⊥ SA

BC ⊂ (SBC)







b) Ta có



Trong mp(SAB) dựng AH ⊥ SB



thì AH ⊥ mp(SBC)



Vậy d ( A,(SBC)) = AH .

Xét tam giác vuông SAB :

1



=

2



AH



1



1



+

2



SA



1



=

2



AB



3a



Vậy d ( A,(SBC)) =



+

2



1

a



=



2



2



⇒ AH =



4

3a



2

a 3

3a ⇒ AH =



2



4



.



2



a 3

2



c) Ta có



AO ∩ mp(SBC) =

C



nên



d (O;(SBC))



OC 1

2

1 a 3

=

= ⇒ d (O;(SBC)) = d ( A;(SBC)) = .

=

a 43

d ( A;(SBC)) AC 2

3

2 2



d) Gọi E là trung điểm của AB . Khi đó G ∈ SE



kẻ EF ⊥ AC ta có:

EF ⊥ AC 

 ⇒ EF //

BD

BD ⊥ AC 



(1)



Ta cũng có: BD ⊥ AC 



 ⇒ BD ⊥

(SAC)

BD ⊥ SA 



(2 )



Từ (1) và (2) suy ra EF ⊥ (SAC) .

Vậy d (E,(SAC)) = EF

Xét tam giác ABO ta có EF là đường trung bình

Nên

Vậy



EF =



BO

2



=



BD



=a 2 .

4

4



d (E,(SAC)) =



a 2

.

4



Mặt khác ta có EG ∩ (SAC) = S

⇒



d (G;(SAC))

d (E;(SAC))



=



GS

AS



=



2

3



⇒ d (G;(SAC)) =



2

3



d (E;(SAC)) =



2 a 2 a 2

.

=

3 4

6



Ở câu a) ta áp dụng gián tiếp sẽ dễ hơn, theo đề bài ta đã có



SA ⊥ ( ABCD) ta chỉ



cần dựng một đường thẳng đi qua M và song song với SA thì đường thẳng đó

vuông góc với mp( ABCD) . Ta có MO là đường thẳng đi qua M và song song



sẽ

với



SA nên MO ⊥ mp( ABCD) . Vì vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABCD)



chính là MO . Nhưng đối với câu b) ta không thể làm gián tiếp được nên ta phải

làm trực tiếp.

Ta chọn đường thẳng BC



nằm trong mp(SBC). Vấn đề đặt ra là sao ta không chọn



đường thẳng SB, SC hay đường thẳng nào khác nằm trong mp(SBC) mà ta lại chọn

đường thẳng BC . Ta chọn BC vì lúc đó ta sẽ xác định được một cách dễ dàng một

mặt phẳng phụ đi qua điểm A và vuông góc với BC đó là mp(SAB). Khi đó ta sẽ có

hai mp(SAB) và mp(SBC) vuông góc với nhau và cắt nhau theo một giao tuyến là

SB . Theo tính chất của hai mặt phẳng vuông góc thì trong mặt phẳng phụ mp(SAB)



ta kẻ AH ⊥ SB tại H thì ta sẽ có AH ⊥ mp(SBC) . Khi đó độ dài đoạn AH chính là

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ABCD) .

Đối với câu c) việc tính khoảng cách từ điểm O đến



mp(SBC) rất khó khăn nếu ta



dùng trực tiếp nhưng nếu ta quan sát kĩ ta thấy được đường thẳng AO cắt



mp(SBC)



tại điểm C . Khi đó ta có thể tính một cách dễ dàng khoảng cách từ điểm O đến

mp(SBC)



thông qua khoảng cách từ điểm điểm A đến mp(SBC) đã được tính ở



câu b). Đối với câu d) việc tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến

mp(SAC) là hoàn toàn khó khăn, đối với các học sinh trung bình sẽ không thể nhận



ra được muốn tính khoảng cách đó ta phải dựa vào việc tính khoảng cách từ điểm E

đến mp(SAC) (với E là trung điểm của cạnh AB ). Việc tính khoảng cách từ E đến

mp(SAC) giống như câu a) còn việc tính khoảng cách từ



G đến mp(SAC) giống



như câu c) vì ta có EG cắt mp(SAC) tại S nên ta có thể áp dụng tỉ số khoảng cách

để tính khoảng cách từ điểm điểm G đến mp(SAC) một cách dễ dàng.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các cạnh bên

2



SA = SB = SC = SD =

a



. Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AD và BC .



a) Chứng minh rằng mp(SIK ) ⊥ mp(SBC) .

b) Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC) [3,tr.149].

Bài 2:(Khối D-2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt

phẳng ( ABC ) , ngoài ra

A đến (BCD) .



AD = AC = 4cm AB = 3cm BC = 5cm . Tìm khoảng cách từ



;



;



0

Bài 3: Cho hình chóp S.A BCD có đáy là hình thoi, A = 120 , BD = a , cạnh bên



SA



vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng đáy là 600 . Tính:

a) Đường cao của hình chóp.

b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB) [2,tr.126].

Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật



ABCD.A' B 'C '

D'



với AB = a, AD = b, AA ' = c . Hãy



xác định và tính:

a) Khoảng cách từ điểm A đến (BDD ' B ')



b) Tính khoảng cách từ điểm A' đến mặt đến ( ABC ' D ') .

c) Khoảng cách từ điểm A đến (BCD ' A ') .

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A' B 'C '

D'



khoảng cách từ điểm A' đến ( AB ' D ') .



có cạnh bằng a . Xác định và tính